2018期初江苏省南师附中等四校联考数学试题(解析版)

1、 南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后请将答题卡交回2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚4如需作图须用2b铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔必做题部

2、分参考公式棱锥的体积公式棱锥，其中为棱锥的底面积，为棱锥的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，且，则实数的值是 答案：3解析：点评：考查集合的运算，属于容易题.2.已知复数，其中是虚数单位，则的实部是 答案：解析： 点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 答案：42解析： 先判断，后执行，易得s=42点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第4题图）（第3题图）4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内

3、日销售量100个到200个的天数为 答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 答案：解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题.6.已知，则的值为 答案：-2解析：点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于的齐次式，属于容易题.7.设数列为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，则= 答案：解析： 代入基

4、本量运算，可得点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为 答案：16解析： 渐近线方程为：，由垂直得点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题.9.高为的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 答案：解析：设四棱锥斜高为底面边长为点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题.10.设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中若，则的值是 答案：1解析：点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数在上单调递减，则的取值范围是 答案：解析

5、： 易得在-1，1上恒成立，所以点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题.12.如图，在四边形中，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为 答案：0解析：点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆：，为圆上的两个动点，且，为弦的中点，当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为 答案：或解析： 由m点的轨迹方程为圆，要使得始终有为锐角，则以cd为直径的圆与圆外离，所以点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知，则的最小值为 答案：6

6、解析：令，有，点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）在中，角的对边分别为已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长解析：（1）在abc中，由正弦定理及，得sin acos bsin bcos a2sin ccos c， 即sin c2sin ccos c， 2分因为c(0，)，所以sin c0， 4分所以cos c，所以c. 7分（2） 又c，所以 ， 9分由已知及余弦定理得 故 ，从而 12分所以的周长为6. 14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余

7、弦定理，属于基础题16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，,平面平面，分别为中点（1） 求证：平面；（2） 求证：平面平面 解析：证明：（1）因为d，e分别为ac，bc中点所以deab， 2分又deË平面pab，abÌ平面pab，所以de平面pab.5分（2）因为papc，d为ac中点，所以pdac，6分又平面pac平面abc，平面pac平面abcac，pdÌ平面pac，故pd平面abc， 因为bcÌ平面abc，所以pdbc 9分因为abc90°，deab，因此debc 11分 因为pdbc，debc，pdded，pd，deÌ平面

8、pde， 所以bc平面pde， 又bcÌ平面pbc， 所以平面pbc平面pde 14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地，米 ，米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着、修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，且线段与线段在圆心和连线的同侧已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米（1）若米，

9、则检票等候区域（图中阴影部分）面积为 多少平方米？（2）试确定点的位置，使得修建费用最低解析：（1）如图，米，米，梯形的面积为平方米矩形的面积为4800平方米，扇形和扇形的面积均为平方米，所以阴影部分面积为平方米 5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为平方米6分（2）设，则，修建费用9分，令，则，所以，当时，即，修建费用最低 13分答：当为时，修建费用最低 14分点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中18.（本小题满分16分）已知椭圆的方程:，右准线方程为，右焦点，为椭圆的左顶点（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆在轴上方一点，点在右准线上且满足且,求直

10、线的方程解析：（1）， 4分（2） 设， 8分而，又 10分又 12分 14分 16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中19.（本小题满分16分）已知函数，（是自然对数的底数）（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围解析：（1）设切点，则，（*） 又，代入（*）， 3分（2）设，当单调递增时则，又， 当单调递减时综上单调时， 6分（3），令，当时，1） 当，即时，在上无极值点。7分2） 当即时，i) 当 递

11、增， ，在上递增，在上无极值点。9分ii) 当 ， ，在上有一个极小值点。 11分3） 当时，又，无极值点。 13分4） 当时，在递增，使得，当时，当时，令，下证，即证，又，即证，所以结论成立，即，为的极小值。15分综上，或，在上有极值点。 16分点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，绝对值函数，第（1）（2）两问比较基础，第（3）问难度较大20.（本小题满分16分）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通

12、项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，设，证明：解析：解：（1）数列为“数列”，则故，两式相减得：，又n=1时，所以，故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为 4分（2）假设存在这样的数列，则有，故有两式相减得：，故有同理由是“数列”可得：，所以对任意恒成立 6分所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列” 10分（3）因为数列为“数列”，所以所以故有，又n=1时，故，满足：所以对任意正整数n恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8,12分故所以，两式相减得：=，显然，故，即16分点评：本题考查数列的递推关系，等比

13、数列，数列与不等式的综合应用附加题21.选做题在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内.a. 选修4-1：几何证明选讲如图，d为abc的bc边上的一点，o1经过点b，d，交ab于另一点e，o2经过点c，d，交ac于另一点f，o1与o2交于点g求证：（1）bacegf1800； （2）eagefg解析：（1）连结gd交ab于h,由b、d、e、g四点共圆， 可得eghb，（第21a题图） 同理fghc， 5分 故bacegf=bacb+c1800；（2）由（1）知e、g、f、a四点共圆，故eagefg10分b. 选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵的特征值所对

14、应的一个特征向量.（1）求矩阵；（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程解析：（1）依题意,得 即，解得，； 5分 （2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点，则，即， ，整理得，曲线的方程为 10分点评：考查矩阵的基本运算，难度一般c. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线(为参数)和曲线(为参数)相交于两点，求两点的距离解析：曲线的普通方程为 2分 曲线的普通方程为，4分 两方程联立得，8分 ab10分 点评：考查曲线的参数方程和普通方程的相互转化，难度一般d. 选修4-5：不等式选讲 已知均为正数，且，求证：解析：证明：因为x0，y0，xy0， 5分 =， 当且仅

15、当xy=1取等号所以 10分 必做题第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题卡指定区域内.22.如图，已知长方体 ，直线与平面所成角为，垂直于点，为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.解析：由,得 与面所成角为，,由（1）以为正交基底建立平面直角坐标系，则，设面的一个法向量为 3分 答：与面所成角的正弦值为5分 （2）令，则设设面的一个法向量为， 7分 化简得 9分 答：存在点，为的中点. 10分 点评：考查空间向量角度的基本运算，属于中等难度23. 如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点a出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点a的概率（1）分别写出的值；（2）设顶点a出发经过n步到达点c的概率为，求的值；（3）求解析：（1）， 1分 2分 （2）由于顶点a出发经过n步到达点c的概