二维随机变量的分布函数、边缘分布

1、3.1二维随机变量的分布函二维随机变量的分布函数、边缘分布数、边缘分布从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变

2、量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三三个坐标）来确定的等等个坐标）来确定的等等. 一般地，我们称一般地，我们称n个随机变量的整体个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为为n维随机变量或随维随机变量或随机向量机向量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .一、一、二维随机变量（二维随机变量（X,Y）的联合分布函数的联合分布函数),(),(yYxXPyxF, x y )()(xXP

3、xFx X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X,Xx Yy Xx Yy 表示表示 与的与的 积事件积事件分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点 (x, y) 表示二维表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x, y)xy联合分布函数的性质联合分布函数的性质),(xy(x, y)xy),(0( , )1F x y(,)lim( , )1xyFF x y (,)lim( , )0 xyFF x y xyxy( ,)lim( , )0

4、yF xF x y(, )lim( , )0 xFyF x y固定固定 x , 对任意的对任意的 y1 y2 , 固定固定 y , 对任意的对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续F (x, y1) F (x, y2)F (x1,y) F (x2, y)F (x2, y2) F (x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1) 0事实上事实上对于任意对于任意x1 x2 , y1 y21212,0P xXx

5、 yYyx1x2y1y2F (x2, y2) F (x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1)二、二、二维离散型随二维离散型随 机变量机变量,),(ijjipyYxXPi, j =1,2, ijijijpjip1, 2 , 1, 0X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 ,)(kkpxXPk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量X, 0kpkkp1k=1,2, X的概率函数的概率函数 为了直观，一般用表格表示联合分布律为了直观，一般用表格表示联合分布律1211112122122212jjjiiiijyyyxpppxpppxppp YX例例1把一枚均匀硬币抛掷三

6、次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数的概率函数 .解：（解：（ X, Y）可取值）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=3)=1/8列表如下列表如下P(X=1, Y=1)= (1/2)3=3/813cbadxxf)(连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的密度函数的密度函数1)(dxxf0)(xfbXaP三、三、二维连续型

7、随二维连续型随机变量机变量),(yxfX和和Y 的联合密度函数的联合密度函数dxdyyxfA),(),(AyxP定义定义 设二维设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对使得对于任意实数于任意实数 x , y 有有 xydvduvufyxF),(),(则称则称( X ,Y ) 为为二维连续型二维连续型 r.v. f (x,y) 为为( X ,Y ) 的的联合概率密度函数联合概率密度函数简称简称概率密度函数概率密度函数简记简记 p.d.f.联合密度的性质联合密度的性质),(2yxfyxF0),(yxf1

8、1),( dydxyxf2对每个变量连续对每个变量连续, , 在在 的连续点处的连续点处),( yxf3GdxdyyxfGYXP),(),(若若G G 是平面上的区域，则是平面上的区域，则4P( X = a ,- Y + ) = 0P(- X Y )(1)1),( dxdyyxf1),(Ddxdyyxf22211211121212114221xxxKx ydxdyKdxx ydyyKxdxK 214K 解解2yx1 12yxyx(2)1221()4DP XYx ydxdy2120214xxdxx ydy320例4 设设 r.v.( X ,Y ) 的联合的联合 d.f. 为为, 0,01,( ,

9、 )0,kxyxyyf x y 其其它它其中其中k 为常数为常数. 求求 常数常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5)y = x10 xy10,0),(yyxyxD解解 令D(1)1),( dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8kx+y=1y = x10 xy(2) ) 1(YXP15 . 018yyxydxdy56 y = x10 xy0.5)5 . 0(XP5 . 0018xxydydx716 0.5例4 设设 r.v.( X ,Y ) 的联合的联合 d.f. 为为(2)2,0,0( , )0,x yexyf x y其它

10、求求(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)解解当当x0 或或 y 2)解解 (1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2),()(xFxFX.,2arctan121xx),()(yFyFY.,2arctan121yy(3) 2(1) 2(XPXP22arctan1211.4/11(2)XF 例例7 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度）两个边缘密度.=5c/24=1,c =24/5100(2)xdxcyx dy ( ,)f x y dxdy

11、 解：解：(1)dxxxc10222/ )(xy01y=x24(2),01,0( , )50,yxxyxf x y 其其它它解解: (2) ( )( , )Xfxf x y dy ),2(5122xx10 x注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x024(2)5xyx dy 其它, 010),2(512)(2xxxxfX即即),2223(5242yyy124(2)5yyx dx 10 y注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x24(2),01,0( , )50,yxxyxf x y 其其它它解解: (2) ( )( , )Yfyf x y dx 其它, 01

12、0),2223(524)(2yyyyyfY即即 在求连续型在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限特别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布. 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf则称则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 向平面

13、上有界区域向平面上有界区域G上任投一质点，若质上任投一质点，若质点落在点落在G内任一小区域内任一小区域B的概率与小区域的的概率与小区域的面积成正比，而与面积成正比，而与B的形状及位置无关的形状及位置无关. 则则质点的坐标（质点的坐标（ X,Y）在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度2112221)()1 (21exp121),(xyxf)()(22222211yyx记作（记作（ X,Y）N( ),2121则称（则称（ X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121其中其中均为常数均为常数,且且, 0, 0211|,2121例例8 设设(X ,Y ) G 上的均匀分布上的均匀分布,10 ,0),(xxyyxG f ( x, y ) ; P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到在平面上的落点到 y 轴距离小于轴距离小于0