2021年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版

1、2021年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版 2021年一般高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2021湖南，文1)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) a第一象限 b其次象限 c第三象限 d第四象限 2(2021湖南，文2)“1x2”是“x2”成立的( ) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件 3(2021湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的

2、产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n( ) a9 b10 c12 d13 4(2021湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于( ) a4 b3 c2 d1 5(2021湖南，文5)在锐角abc中，角a，b所对的边长分别为a，b.若2asin b ，则角a等于( ) a3 b4 c6 d12 6(2021湖南，文6)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x4x4的图象的交点个数为( ) a0 b1 c2 d3 7(2021湖南，文7)已知正方体的棱长为

3、1，其俯视图是一个面积为1的正方形， 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) 2 a b1 c d 8(2021湖南，文8)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满意|cab|1，则|c|的最大值为( ) a 1 b 1 d 2 9(2021湖南，文9)已知大事“在矩形abcd的边cd上随机取一点p，使apb的最大边是ab”发生的概 1ad，则( ) 2ab11a2 b4 c d 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 率为 10(2021湖南，文10)已知集合u2,3,6,8，a2,3，b2,6,8，则( u a)b_. x 2s 1 11(2021湖南，文11)在平面直角坐标

4、系xoy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： y s x at, (t为参数)平行，则常数a的值为_ y 2t 1 12(2021湖南，文12)执行如图所示的程序框图，假如输入a1，b2，则输出的a的值为_ x 2y 8, 13(2021湖南，文13)若变量x，y满意约束条件 0 x 4,则xy 0 y 3, 的最大值为_ x2y2 14(2021湖南，文14)设f1，f2是双曲线c：2 2 1(a0，b0)的两个焦点若在c上存在 ab 一点p，使pf1pf2，且pf1f230，则c的离心率为_ 15(2021湖南，文15)对于ea1，a2， ，a100的子集xai1，ai2， ，aik

5、，定义x的“特征数列”为x1，x2， ，x100，其中xi1xi2 xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0， ，0. (1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_； (2)若e的子集p的“特征数列”p1，p2， ，p100满意p11，pipi11,1i99；e的子集q的“特征数列”q1，q2， ，q100满意q11，qjqj1qj21,1j98，则pq的元素个数为_ 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(2021湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)cos xcos x . 3 2 (1

6、)求f 的值； 3 1 (2)求使f(x)成立的x的取值集合 4 17(2021湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱abca1b1c1中，bac90，abac aa13，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动 (1)证明：adc1e； (2)当异面直线ac，c1e所成的角为60时，求三棱锥c1a1b1e的体积 18(2021湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物依据历年的种植阅历，一株该种作物的年收获量y(单位：kg) 1米 (1)(2)48 kg的概率 19(2021湖

7、南，文19)(本小题满分13分)设sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1s1sn，n*n. (1)求a1，a2，并求数列an的通项公式； (2)求数列nan的前n项和 x22 20(2021湖南，文20)(本小题满分13分)已知f1，f2分别是椭圆e：y1的左、右焦点，f1，f2 5 关于直线xy20的对称点是圆c的一条直径的两个端点 (1)求圆c的方程； (2)设过点f2的直线l被椭圆e和圆c所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程 21(2021湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)(1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x

8、2)时，x1x20. 1 xx e. 1 x2 2021年一般高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷) 数 学(文史卷) 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案：b 解析：zi(1i)i11i，故选b 2 答案：a 解析：“1x2”能推出“x2”成立，但“x2”不能推出“1x2”成立，故选a 3 答案：d 解析：抽样比为 31 ，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，n13，故选d 6020 4 答案：b 解析：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2. f(1)g(1)4，即

9、f(1)g(1)4. 由得g(1)3，故选b 5 答案：a 解析：2asin b ，2sin asin b b sin b0，sin a ， 2 a.故选a 3 a 0, 6 答案：c 解析：利用图象知，有两个交点故选c 7 答案：d 解析：如图所示，正方体abcda1b1c1d1的俯视图为abcd，侧视图为bb1d1d 正方体的正视图应为aa1c1c又因ac 8 答案：c 解析：可利用特别值法求解可令a(1,0)，b(0,1)，c(x，y) 由|cab|1， 1， (x1)(y1)1. |c| 即为 22 ，可看成 m上的点到原点的距离，|c|max|om|1 1. 故选c 答案：d 解析：

10、如图，设ab2x，ad2y. 由于ab为最大边的概率是 11 ，则p在ef上运动满意条件，且decfx，即abeb或abfa 22 9222 2x 4x4yx， 472y272 即x4y，2 . 4x16y . x4 ad2yy又，故选d ab2xx4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10答案：6,8 11答案：4 解析：l1的一般方程为：x2y1，l2的一般方程为：xa y 1aa ，即x y ，a4. 222 12 答案：9 解析：输入a1，b2，不满意a8，故a3；a3不满意a8，故a5；a5不满意a8，故a7；a7不满意a8，故a9，满意a8，终止循环输出a9. 13

11、答案：6 解析：画出可行域，令zxy，易知z在a(4,2)处取得最大值6. 14 1 解析：如图所示， pf1pf2，pf1f230， 可得|pf2|c. 由双曲线定义知， |pf1|2ac， 222 由|f1f2|pf1|pf2|得 22222 4c(2ac)c，即2c4ac4a0， 2 即e2e20， e e 1. 15 答案：(1)2 (2)17 解析：(1)a1，a3，a5的特征数列为1,0,1,0,1,0， ，0，前3项和为2. (2)依据题意知，p的特征数列为1,0,1,0,1，0， ， 则pa1，a3，a5， ，a99有50个元素，q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1， ，

12、则qa1，a4，a7，a10， ，a100有34个元素， pqa1，a7，a13， ，a97， 共有1 97 1 17个 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解：(1)f 2 3 cos23 cos3 cos 3 cos3 2 1 1 2 4. (2)f(x)cos xcos x 3 cos x 1 cosx x 22 12cos2 x 2sin xcos x 14(1cos 2x) 4sin 2x 12cos 2x 13 4. f(x)14等价于12cos 11 2x 3 4 4， 即cos 2x 3 0. 于是2k22x32k3 2，kz. 解得

13、k512xk11 12，kz. 故使f(x)1 511 4成立的x的取值集合为 x|k 12 x k 12,k z . 17 (1)证明：由于abac，d是bc的中点， 所以adbc 又在直三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，而ad 平面abc，所以adbb1. 由，得ad平面bb1c1c 由点e在棱bb1上运动，得c1e 平面bb1c1c，所以adc1e. (2)解：由于aca1c1，所以a1c1e是异面直线ac，c1e所成的角，由题设，a1c1e60，由于b1a1c1bac90，所以a1c1a1b1，又aa1a1c1，从而 a1c1平面a1abb1，于是a1c1a1e. 故c1e

14、 ac11 cos60 ， 又b1c1 2， 所以b1e 2， 从而v1三棱锥c a1b1 e 1 3s112 a1b1ea1c1 3 2 2 3 . 18 解：(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株， “相近”作 物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下： 所种作物的平均年收获量为 51 2 48 4 45 6 42 3 15 102 192 270 126 15 69046. 15 (2)由(1)知， p(y51) 24，p(y48). 1515 242 . 15155 故在所种作物中随机选取一

15、株，它的年收获量至少为48 kg的概率为 p(y48)p(y51)p(y48) 19 22 解：(1)令n1，得2a1a1a1，即a1a1. 由于a10，所以a11. 令n2，得2a21s21a2. 解得a22. 当n2时，由2an1sn,2an11sn1两式相减得2an2an1an. 即an2an1. 于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列 n1 因此，an2. n1 所以数列an的通项公式为an2. n1 (2)由(1)知，nann2. n1 记数列n2的前n项和为bn，于是 bn122322 n2n1， 23n 2bn122232 n2. 得 2n1n bn122 2n2 nn21n

16、2. n 从而bn1(n1)2. 20 解：(1)由题设知，f1，f2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，圆c的半径为2，圆心为原点o关于直线xy20的对称点 y0 1, x0 2, x 设圆心的坐标为(x0，y0)，由 0解得 y0 2. x0 y0 2 22 所以圆c的方程为(x2)(y2)4. (2)由题意，可设直线l的方程为xmy2，则圆心到直线l的距离d 所以b 2 2 x my 2, 22由 x2得(m5)y4my10. 2 y 1 5 设l与e的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1y2 4m1 ，y. 1y2 22 m 5m 5 于是a 从而ab ，即m 故

17、当m3时，ab 最大，此时，直线l的方程为x2或 x2， 即x20，或x20. 1 xx 21(2021湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)e. 1 x2 (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20. (1)解：函数f(x)的定义域为(，) 1 x x1 xx e e22 1 x 1 x x2 2x 11 x x e 222 1 x 1 x f(x) x x 1 2 2x e. 22 1 x 当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0. 所以f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，) (2)证明：当x1时，由于 1 xx 0，e0， 2 1 x 故f(x)0； 同理，当x1时，f(x)0. 当f(x1)f(x2)(x1x2)时，不妨设x1x2， 由(1)知x1(，0)，x2(0,1) 下