化归法与递推法

1、化归法与递推法化归法与递推法 化化归思想及其应用归思想及其应用 一、化归原则一、化归原则 “化归化归”一词，从字面上看是转化和归结的意思。一词，从字面上看是转化和归结的意思。 数学中的数学中的“化归原则化归原则”，就是指未解决的或待，就是指未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种方法原则。方法原则。 例例5-1 明明原有的图书是亮亮的明明原有的图书是亮亮的6倍，如果两人倍，如果两人各再买各再买2本，那么明明所有图书是亮亮的本，那么明明所有图书是亮亮

2、的4倍。两人倍。两人原来各有图书多少本？原来各有图书多少本？明明明明亮亮亮亮6 倍倍2本本2本本4 倍倍12-2=10（本）（本）6-4=2倍倍4 倍倍1 倍倍 将原题化归成一个简单的将原题化归成一个简单的“差倍问题差倍问题”：已知：已知两数的差为两数的差为10，倍数差为，倍数差为2，求一倍数。，求一倍数。 例例5-2 甲站有汽车甲站有汽车192辆，乙站有汽车辆，乙站有汽车48辆，每辆，每天从甲站开往乙站的汽车有天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站辆，从乙站开往甲站的汽车有的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车是乙站的辆。几天以后甲站的汽车是乙站的7倍？倍？ 1、甲乙两站共有汽车（、甲乙

3、两站共有汽车（192+48）辆，当甲站）辆，当甲站的汽车是乙站汽车的的汽车是乙站汽车的7倍时，乙站有多少辆汽车？倍时，乙站有多少辆汽车？ 原问题可以分割成以下两道有连续性的简单应原问题可以分割成以下两道有连续性的简单应用题：用题：)()()(辆辆30301 17 74848192192 2、乙站原有汽车、乙站原有汽车48辆，每天从乙站开往甲站辆，每天从乙站开往甲站的汽车有的汽车有24辆，从甲站开往乙站的汽车有辆，从甲站开往乙站的汽车有21辆，辆，几天以后乙站还有几天以后乙站还有30辆汽车？辆汽车？)()()(天天6 62121242430304848 一、化归原则一、化归原则1、数、数学中学中

4、的的“化归原则化归原则”，就是指，就是指未解决的或待未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种的或易解决的问题，最终使原问题获得解决的一种方法原则。方法原则。（1 1）数学化原则数学化原则，即把生活中的问题转化为数即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法解决问题的方法（2 2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题的问题（3 3）简单化原则简单化原则，即把复杂的问题转化为

5、简单即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂不会解决，但解决的过程可能比较复杂。（4 4）直观化原则，）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体即把抽象的问题转化为具体的问题的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。数学的特点之一便是它具有抽象性。生疏的问题化归化归熟悉的问题解决熟悉的问题生疏的问题得到解决案例案例1 1：半径为：半径为1 1的圆内的圆内任意放任意放6 6个点，请你说个点，请你说明，其中必有两个点，明，其中必有两个点，它们的距离不大于它们的距离不大于1 1。 复杂的问题化归化归简单的

6、问题解决简单的问题复杂的问题得到解决 2、 数学中到处蕴涵着化归思想数学中到处蕴涵着化归思想 譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法是化归成乘法而完成的；异分母分数的大小比较及加是化归成乘法而完成的；异分母分数的大小比较及加减运算法则的基本思想，是借助通分将其化归为同分减运算法则的基本思想，是借助通分将其化归为同分母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分母分数的大小比较及加减运算，进而化归为整数（分子）的大小比较及加减运算。代数中，有理数的大小子）的大小比较及加减运算。代数中，有理数的大小比较与运算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大比较与运

7、算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大小比较与运算；整式的加减运算又是通过去括号、合小比较与运算；整式的加减运算又是通过去括号、合并同类项化归为有理数间的运算。并同类项化归为有理数间的运算。 一般的说，总是将一种新的、陌生的运算化为一般的说，总是将一种新的、陌生的运算化为已掌握的、熟悉的运算。已掌握的、熟悉的运算。 再譬如解方程。通过因式分解将一元二次方程的再譬如解方程。通过因式分解将一元二次方程的求解化归为解一元一次方程；通过降次将简单高次方求解化归为解一元一次方程；通过降次将简单高次方程的求解化归为较低次的方程；通过去分母将分式方程的求解化归为较低次的方程；通过去分母将分式方程的求解化归为

8、解整式方程；通过去根号将无理方程程的求解化归为解整式方程；通过去根号将无理方程的求解化归为解有理方程；通过换元或其它途径将指的求解化归为解有理方程；通过换元或其它途径将指数方程、对数方程等超越方程的求解化归为解代数方数方程、对数方程等超越方程的求解化归为解代数方程。程。 数学家笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为数学家笛卡尔通过建立坐标系把几何问题化归为代数方程问题，开创了用代数方法研究几何问题的新代数方程问题，开创了用代数方法研究几何问题的新纪元。由此创设的解析几何被称为由初等数学阶段向纪元。由此创设的解析几何被称为由初等数学阶段向变量数学发展的第一个决定性步骤。变量数学发展的第一个决定性步

9、骤。二、化归原则的一般模式为：二、化归原则的一般模式为： 数数 学学 问问 题题 解解 答答 能够解决的，较为能够解决的，较为简单的问题（简单的问题（*） 解解 答答 问问 题（题（*）化化 归归 ？ 特点：具有较强的目的性、方向性和概括性。特点：具有较强的目的性、方向性和概括性。 基本原则：由未知到已知、由难到易、由繁到简。基本原则：由未知到已知、由难到易、由繁到简。 核心：如何实现由所要解决的问题向已经解决核心：如何实现由所要解决的问题向已经解决的或的或 较容易解决的问题转化。较容易解决的问题转化。 三、常用的化归法三、常用的化归法 1、 分割与叠加法分割与叠加法 如隧道面积的计算方法：如

10、隧道面积的计算方法： 一般的一般的, ,将原问题分成若干部分将原问题分成若干部分, ,以便以便“化整化整为零为零”，分散处理；然后再，分散处理；然后再“集零为整集零为整”，使原，使原问题获得解决。问题获得解决。 例例1、勾、勾股定理的证明。股定理的证明。acb图中面积为图中面积为c2的正方形被的正方形被分割成四个全等的直角三角形分割成四个全等的直角三角形及中间一个小正方形，据他们及中间一个小正方形，据他们的面积关系可得：的面积关系可得：2 22 22 22 22 21 14 4ba)ab()ab(c 例：笼例：笼中有若干只鸡与兔，他们共有个头中有若干只鸡与兔，他们共有个头和和只脚，问鸡兔各有多

11、少只？只脚，问鸡兔各有多少只？设想出一种奇特的现象，笼中鸡兔突然设想出一种奇特的现象，笼中鸡兔突然“全体肃全体肃立立”，每只鸡呈金鸡独立状，每只兔呈玉兔拜月状，每只鸡呈金鸡独立状，每只兔呈玉兔拜月状，这时脚只剩下只，头仍是个，而鸡的头数与这时脚只剩下只，头仍是个，而鸡的头数与脚数相等，每只兔的脚数比头数多。脚数相等，每只兔的脚数比头数多。因此，脚的总数与头数的差就是兔因此，脚的总数与头数的差就是兔子的数目，而鸡有只。子的数目，而鸡有只。注：这个解法简捷而巧妙。它是用可变的观点而注：这个解法简捷而巧妙。它是用可变的观点而不是静止的观点看问题，对问题已知的数量进行了特不是静止的观点看问题，对问题已

12、知的数量进行了特殊的分割殊的分割各取一半，使化归所得新问题中已知与各取一半，使化归所得新问题中已知与未知间的联系更明显。未知间的联系更明显。 、 换元法换元法 、 待定系数元法待定系数元法 1、化抽象问题为直观问题、化抽象问题为直观问题 案例案例1：1814121案例：案例： 一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要一条船从甲地沿水路去乙地，往返一共需要2 2小时，小时，去时顺水，比返回来每小时多航行去时顺水，比返回来每小时多航行8 8千米，且第二小时比第千米，且第二小时比第一小时少航行一小时少航行6 6千米，求甲、乙两地水路的距离？千米，求甲、乙两地水路的距离？ 顺航：顺航：3684 （小时）

13、甲甲乙乙顺水顺水3 3千米千米前一小时里逆航：前一小时里逆航：31144 （小时）逆行速度为每小时：逆行速度为每小时： 162124（）（千米）甲、乙两地水路的距离是：甲、乙两地水路的距离是： 112(1)154 （千米） 通过对线段图的观察、分析，可以发现，顺水通过对线段图的观察、分析，可以发现，顺水只比逆水多航行了只比逆水多航行了6千米。故，实际顺水航行只航千米。故，实际顺水航行只航行了四分之三小时。行了四分之三小时。 这不就是我们所熟悉的线段图吗？线段图，这不就是我们所熟悉的线段图吗？线段图，就是把问题中抽象的、复杂的数量关系对应到具就是把问题中抽象的、复杂的数量关系对应到具体的、简单的

14、线段上。小学生形象思维要强于抽体的、简单的线段上。小学生形象思维要强于抽象思维，数量关系形象化，抽象问题具体化，对象思维，数量关系形象化，抽象问题具体化，对于小学生来说，就是一种由复杂向简单的转化。于小学生来说，就是一种由复杂向简单的转化。 在小学数学解题中，一般都是把问题中的数在小学数学解题中，一般都是把问题中的数量关系映射到图形上，然后，通过对图形的观察、量关系映射到图形上，然后，通过对图形的观察、分析获得问题的解决。分析获得问题的解决。 2 2、化繁为简的策略、化繁为简的策略 案例案例2 2：把：把186186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分的两个

15、自然数乘积最大？能使拆分的两个自然数乘积最大？187187呢？呢？ 案例：你能快速口算案例：你能快速口算 858585=85=，959595=95=，105105105=105=吗？吗？ 3、化实际问题为特殊的数学问题、化实际问题为特殊的数学问题案例案例4：某旅行团队翻越一座山。上午：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，时上山，每小时行每小时行 3千米，到达山顶时，休息千米，到达山顶时，休息1小时。下山小时。下山时，每小时行时，每小时行4千米，下午千米，下午4时到达山底。全程共行时到达山底。全程共行了了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？千米。上山和下山的路程各是多少千米？案例案例5：李阿

16、姨买了：李阿姨买了2千克苹果和千克苹果和3千克香蕉用了千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和千克苹果和2千克香千克香蕉，用了蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱？元。每千克苹果和香蕉各多少钱？ 4、化未知问题为已知问题、化未知问题为已知问题案例案例6：水果商店昨天销售的苹果比香：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的蕉的2倍多倍多30千克，这两种水果一共销售了千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？千克。销售香蕉多少千克？ 水果商店昨天销售的苹果必香蕉的水果商店昨天销售的苹果必香蕉的2倍少倍少30千克，千克，这两种一共销售了这两种一共销售了1

17、80千克。销售苹果多少千克？千克。销售苹果多少千克？ 水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多30千克，这千克，这两种水果一共销售了两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？千克。销售苹果多少千克？水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少30千克，这两千克，这两种水果一共销售了种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克？千克。销售苹果多少千克？水果商店昨天销售的苹果是香蕉的水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍。销售的梨倍。销售的梨是香蕉的是香蕉的3倍。这三种水果一共销售了倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉千克。销售香蕉多少千克？多

18、少千克？ 水果商店昨天销售的苹果是香蕉的水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨倍，销售的梨是苹果的是苹果的2倍。这三种水果一共销售了倍。这三种水果一共销售了120千克。销售香蕉千克。销售香蕉多少千克？多少千克？ 练习练习 1、不能被、不能被6整除的三位数有多少个？整除的三位数有多少个？ 2、n是具有下列性质的最小正整数，它是是具有下列性质的最小正整数，它是15的倍数，且每个数字都是的倍数，且每个数字都是0或或8，试求，试求n/15的值。的值。 递推法递推法 例例1 1、平面上的、平面上的6 6条直线最多有几个交点？条直线最多有几个交点？直线的条数直线的条数 2 23 34 45 56 6交点最多的个交点最多的个数数 1 1 1+21+2 3+33+36+46+410+510+5例例2 2、根据各数间的关系在括号里填上一个恰当的数、根据各数间的关系在括号里填上一个恰当的数（1 1）1 1，2 2，6 6，2424，（，（ ），），72