级行列式的质PPT课件

1、1用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x(1)(2);212221121122211baabxaaaa ）（第1页/共116页12212 221121 1121122122111221221,.b aa bb aa bxxa aa aa aa a，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa原方程组有唯一解由方程组的四

2、个系数确定由方程组的四个系数确定第2页/共116页若记11212212 22221,ab aa bDabb1111 212122112,aa bb aDbba1112112212212122,aaa aa aDaa则当时该方程组的解为0D 1212,.DDxxDD第3页/共116页2在三元一次线形方程组求解时有类似结果NoImage即有方程组111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 当 时，有唯一解1112132122233132330aaaDaaaaaa312123,DDDxxxDDD第4页/共116页其中112

3、1312222333233,baaDbaabaa 1111322122331333,abaDabaaba 1112132122231323.aabDaabaab 11112211211222221122,( ).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？第5页/共116页历史资料历史资料：17世纪末，莱布尼兹在研究线性方程组的解时, 首先使用现在称为结式的一个行列式. 大约1729年，马克劳林开始用行列式方法解含2-4个未知量的线性方程组，克莱姆1750年给出行列式求解线性方程组的重要结论，即克莱姆法则. 这些早期

4、工作大都是为了研究方程组而利用行列式这一工具，以求得到方程组解的简洁表达式.对行列式的系统研究第一人是法国人范德邦,而行列式这一名词则由柯西给出，现今符号是凯莱1841年引进的.东方最早给出行列式概念的是日本人关孝和（早于莱布尼兹）.第6页/共116页为此，本章依次解决如下问题：2 2）n级行列式的性质与计算？级行列式的性质与计算？1 1）怎样定义）怎样定义n级行列式？级行列式？3 3）方程组）方程组( () )在什么情况下有解？在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？有解的情况下，如何表示此解？第7页/共116页第8页/共116页一、排列一、排列定义定义称为一个 级排列排列n由1，2，

5、n 组成的一个有序数组123，132，213，231，312，321如，所有的3级排列是共6=3！个.n!1 2(1)nnnnP ( (阶乘)注：注：所有不同级排列的总数是n第9页/共116页二、逆序逆序数二、逆序逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, , n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序. .定义定义一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序逆序；第10页/共116页 排列 123 称为标准排列，其逆序数为n注：

6、注： 排列 的逆序数常记为1 2().nj jj 1 2nj jj后面比 小的数的个数1 21()nj jjj 1j1nj 后面比 小的数的个数.1nj 2j 后面比 小的数的个数2j或前面比 大的数的个数1 22()nj jjj 2j3j 前面比 大的数的个数3j nj 前面比 大的数的个数nj方法一方法一方法二方法二第11页/共116页例1排列 31542 中，逆序有(31542)5 31， 32， 54， 52， 42的逆序数. . 例2求 级排列n135(21)(2 )(22)42nnn解：135(21)(2 )(22)42nnn121n 1n 方法一方法一12(1)(1)21(1)n

7、nn n 1第12页/共116页逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列三三 、奇排列、偶排列、奇排列、偶排列定义定义标准排列 123 为偶排列n注：注：练习练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性(1)321n n （1）(2 )1(21)2(22)3(1)nnnnn（2）第13页/共116页答案:2(1)(1)22n nn nn当 时为偶排列；4 , 41nkk当 时为奇排列.42, 43nkk当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列.方法一方法一方法二方法二(1)(1)(1)(2)212n nnn （2）第14页/共116页四四 、对换、对换1.定义

8、定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换第15页/共116页证明证明1) 特殊情形：作相邻对换特殊情形：作相邻对换mlbbabaa11对换 与abmlbbbaaa11除 外，其它元素所成逆序不改变.b,aab对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列2.定理定理1设排列为第16页/共116页当 时，ba ab所成逆序不变;经对换后 的逆序增加1个 ,经对换后 所成逆序不变 ， 的逆序减少1个.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111当 时

9、，ba 现来对换 与a.b2)一般情形一般情形第17页/共116页次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第18页/共116页所有 级排列中，奇、偶排列各半，n!2n均为 个. 设在全部 阶排列中，有 个奇排列， 个偶排列，下证 nstts 将 个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，ss 同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这 个偶排列全变成奇排列，并且

10、它们彼此不同，tt推论推论1证明证明.st.ts故!.2nst第19页/共116页一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列 都可经过123n排列的奇偶性相同3.定理定理2 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,因此知结论成立.证明证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）,第20页/共116页第21页/共116页一、行列式的定义一、行列式的定义1. 1. 二级行列式二级行列式11122122aaaa2. 2. 三级行列式三级行列式11221221a aa a 111213212223112233122331132132313233aaaaaaa a aa a aa a

11、aaaa132231122133112332a a aa a aa a a第22页/共116页323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 112332a a a 312213aaa 332112aaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 沙路法沙路法333231232221131211aaaaaaaaa对角线法对角线法第23页/共116页3. n 级行列式的定义级行列式的定义等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积(1)每一项（1）都按下列规则带有符号：111212122212nnnnnnaaaaaaaa

12、a1212njjnjaaa当 为奇排列时（1）带负号；1 2nj jj当 为偶排列时（1）带正号；1 2nj jjn 级行列式的代数和，这里 为的排列.1 2nj jj1,2,n第24页/共116页即1121 211121()212221212( 1)nnnnjjnjjnjj jjnnnnaaaaaaaaaaaa 这里 表示对所有1、2、 、 n的n级排列求和1 2nj jj 第25页/共116页2)中的数 称为行列式D处于111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa ija注注: :第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标， j 称为列指标.3) n级行列式定义展开式中共有n

13、！项1) 行列式 常简记为 或111212122212nnnnnnaaaaaaaaadet()ija.ija主对角线主对角线副对角线副对角线第26页/共116页例1计算行列式2143 1 2 32 1 33 2 1( 1) 4 2 6 12 1 18 12 9 4 2 ( 3) 第27页/共116页123456例2.1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 46! (1234)11223344( 1)a a a a (654321)162534435261( 1)a a a a a a 24 720 第28页/共116页一般地,1(1)2212( 1)n nnnddd ddd 12

14、12nnddd ddd 对角形行列式对角形行列式第29页/共116页类似可得：111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa 112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa 上三角形行列式上三角形行列式下三角形行列式下三角形行列式第30页/共116页例3. 已知 ,求 的系数 .112111( )3 211 1 21xxf xxx 3x由n级行列式定义， 是一个的多项式函数，( )f x且最高次幂为 ,显然含 的项有两项:3x3x与(1234)11223344( 1)a a a a (1243)11223443( 1)a a a a 即 与3x32x 中 的系数

15、为-1-1.( )f x3x解:第31页/共116页1 2121 211121()212221212( 1)nnnni iiniii ni iinnnnaaaaaaDa aaaaa 这里 表示对所有1、2、 、 n的n级排列和1 2ni ii 二、二、n n 级行列式的等价定义级行列式的等价定义第32页/共116页证明：证明：按行列式定义有记对于D中任意一项1121 2()12( 1)nnnjjjjnjj jjDaaa 1121()1121nnniiiii niiDa aa 112()12( 1)nnjjjjnjaaa 总有且仅有 中的某一项1D与之对应并相等; 112()121nniiiii

16、 na aa 第33页/共116页反之， 对于 中任意一项1D也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等于是D与1D中的项可以一一对应并相等,从而.1DD 112()12( 1)nnjjjjnjaaa 112()121nniiiii na aa 第34页/共116页1 21 21 12 2()()( 1)nnn ni iij jji ji ji jaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 类似地，有第35页/共116页第36页/共116页转置行列式转置行列式112111222212nnnnnnaaaaaaaaa 行列式111212122212,nnnnnnaaaaaaDaa

17、a 设称为D的转置行列式，记作 或.TDD 第37页/共116页行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1,DD 第38页/共116页记det(),ijDb 1 2121 2()12( 1)nnni iiiinii iiDb bb 另一方面，按行列式的等价定义可表成证：,1,2,ijjibai jn其中按行列式的定义1 2121 2()12( 1)nnni iiiii ni iia aa 1 2121 2()12( 1)nnni iiiii ni iiDa aa

18、 .DD 第39页/共116页行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外即111112111212121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 推论推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零 性质性质2或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式记为 或ikrikc第40页/共116页若行列式的某一行（列）的元素都是两数111211112112121212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabbbaaaaaa之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即性质性质311121112212nnnnnnnaaaabababaa

19、a第41页/共116页1112111221222122aabbaabb思考：思考：1111121221212222abababab ？第42页/共116页如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为0（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）性质性质4设行列式11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa 证：中第 i 行与第 k 行相同，第43页/共116页,1,2, ,ijkjaajn1121 2()12( 1)ikniknnjjjjjjijkjnjj jjDaaaaa 即，1121 2()12( 1)ikniknnjjjjj

20、jkjijnjj jjaaaaa 1121 2()12( 1)kinkinnjjjjjjijkjnjj jjaaaaa 1121 2()12( 1)kinkinnjjjjjjijkjnjj jjaaaaa D 0.D于是，第44页/共116页行列式中两行（列）成比例，则行列式为0. .证：由性质2 2、性质4 4即得把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变. .记为 或证：由性质3 3、性质5 5即得性质性质5性质性质6性质性质7对换行列式中两行（列）位置，行列式反号记为 或ijrkr ijckc ijrrijcc第45页/共116页1112111121121122121212

21、12nniiinikikinknkkknkkkniknnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarraaaaaa 6 6性质证：第46页/共116页11121121212nknkniiinnnnnaaaaaaaaaaaa 1112111112nikinknkiiinnnnnaaaaaaarraaaaa 6 6性质11121121212nkkknikiiinnnnnaaaaaarraaaaaa 6 6性质第47页/共116页例1. 计算行列式311 2513420111533D 说明：说明：计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形

22、或下三角形，从而算得行列式的值上三角形或下三角形，从而算得行列式的值第48页/共116页例2. 计算行列式231503 201 298523D 解：231503 201 298523D 2315003 2001 3002523 2312 31500 200 3003125235230（-70）-70）=-70=-70第49页/共116页nabbbbabbDbbabbbbba 例3. 计算行列式解：12(1)(1)(1)nnanb bbanb abDcccanb ba 第50页/共116页11(1) 11bbbabbanbbabbba 1000(1) 0000000bbbabanbabab 1(

23、1)()nanb ab 第51页/共116页例4. .若 n 级行列式 满足nijDa 证明：当 n 为奇数时，0.nD 的每行提取- -1，得nD证：,jiijaa 由有0,1,2, ,iiain ,1,2,jiijaai jn 设1211221200,0nnnnnaaaaDaa 第52页/共116页( 1)nnD 当 n 为奇数时，,nnDD 1211221200( 1)0nnnnnnaaaaDaa 1211221200( 1)0nnnnnaaaaaa 0.nD 故( 1)nnD 第53页/共116页第54页/共116页一、矩阵一、矩阵1.定义定义由sn个数排成 s 行 n 列的表1112

24、12122212nnsssnaaaaaaAaaa 称为一个 sn 矩阵矩阵，j为列指标. .().ijs nAa 简记为数 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素元素，其中i为行指标，ija第55页/共116页v若矩阵(),1,2, ,1,2,ijs nijAaaPisjn 则说A为数域 P 上的矩阵v当 s=n 时， 称为n级方阵()ijn nAa v由 n级方阵 定义的 n 级行列式()ijn nAa A称为矩阵A的行列式，记作 或detA 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 第56页/共116页2.2.矩阵的相等,1,2, ,1,2,ijijabisjn则称矩阵A与B相等

25、，记作 A=B(),(),ijs nijs nAaBb设矩阵如果第57页/共116页1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；kP 2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行， ；3) 互换矩阵中两行的位置注意：二、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等行变换1.定义定义数域P上的矩阵的初等行变换是指：矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地ABikrijrkr ijrr第58页/共116页如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的2.2.阶梯形矩阵阶梯形矩阵 第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为阶梯形矩阵阶梯形矩阵 012112112101*000100102021.0

26、00000023003，例第59页/共116页任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵性质性质1 111121212221112112,3nnnsssnaaaaaaAaaaaaa证：设 若第一列元素有一个不为零，用初等变换 总可使第一列的第一个元素不为零从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，使第一列除去第一个元素外全为零，即明明/11121222/22211/2/20.0nnnssnssnaaaaaaaAJJaaaa对于中右下角的一块再重复以上的作法，如此作下去直到变成阶梯形为止；如果原来矩阵A中第一列元素全为零，则依次考虑它的第二列的元素.第60页/共116页例： 1

27、3(1,2)2 1+4 0 011 2 1 41 0 2 1 41 0 2 0 011 214 21 014 21 0 2 8 1 10 2 8 1 10A 行行上(- ) 行行上 233 241 34141 02141 02141 020 01120 011 20 01120 0 11 20 0 02 40 0 02 40 0 3 140 0 02 20 0 002 行行上行行上行行上 第61页/共116页性质性质2 2 n阶矩阵A的三个初等行变换使 Ak J（0k ） ， 其中J是阶梯形矩阵 , J是上三角形行列式. 证明： 据性质1，n阶方阵A经过一系列的初等行变换可变成阶梯形n阶方阵J

28、 J是n阶上三角形行列式. 现考察矩阵三类初等行变换对行列式值得影响： 1) 第一类初等行变换：( 0)hAJ 某行1(0)AJk Jkh； 2) 第二类初等行变换：cAJ 某行+另一行上 AJ； 3) 第三类初等行变换：AJ 交换两行 AJ. 第62页/共116页 例1 计算行列式 251319 137315528710 三、行列式的计算三、行列式的计算方法：阶梯阵，从而算得行列式的值对行列式 中的A作初等行变换，把它化为A第63页/共116页1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列；kP 2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列， ；3) 互换矩阵中两列的位置四、矩阵的初等列变换四、矩阵的初等列变

29、换定义定义数域P上的矩阵的初等列变换是指：ikcijckc ijcc矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换第64页/共116页注意：注意：把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值计算行列式 时，也可对A作初等列变换，A也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样可使行列式的计算更简便第65页/共116页第66页/共116页引入引入,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa

30、2223113233aaaaa 可见，三级行列式可通过二级行列式来表示2123123133aaaaa 2123133133aaaaa 第67页/共116页一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式定义定义在 n 级行列式 中将元素 所在的ijadet()ija第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置2(1)n 次序构成一个 级的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素 的余子式余子式, ,记作 ijMija第68页/共116页( 1)ijijij

31、AM 令称 之为元素 的代数余子式代数余子式ijaijA注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素 的余子式和代数余子式与 的大小ijaija第69页/共116页元素除 外都为 0，则ija.ijijDa A 1.1.引理引理二二 、行列式按行、行列式按行( (列列) )展开法则展开法则若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有det()ija第70页/共116页证：证： 先证的情形，即ijnnaa 111,111,11,11,00nnnnnnnnnaaaDaaaa 由行列式的定义，有11211 2()121,( 1)nnnnjj

32、jjnjnjj jjDaaaa 1112111()121,( 1)nnnjjnjjnjnnjjnaaaa 111111()11,( 1)nnnjjnnjnjjjaaa 第71页/共116页111,11,11,1nnnnnnaaaaa .nnnnaA nnnna M 结论成立。一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa第72页/共116页111,11,1111,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1,1( 1)(

33、 1)0000jjnjiijijinijn injiijijinijnn jn jnnnjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ( 1)ijijija M 2()( 1)nijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 结论成立。111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1( 1)0000jjjniijijijinn iiijijijinnn jnjn jnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 第73页/共116页2.2.定理定理行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122jjjjnj

34、njDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则第74页/共116页证：证： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 第75页/共116页例1. .计算行列式 311 2513420111533D 解：解： 11130153

35、D 511 0005 11 51111 1155 0 51162055 0 1 362( 1)55 40 第76页/共116页例2. .证明范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnaaaaaaaaDaaaaaa 第77页/共116页证：用数学归纳法. . 时， 211211.aaaa2n 01 假设对于 级范德蒙行列式结论成立即1n 02结论成立121222121111222121111()nnnijj i nnnnnaaaaaaDaaaaa 第78页/共116页把 从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的nD倍，得na12122211221

36、11212121122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaDaaaaaaaaa 下证对于 n 级范德蒙行列式 结论也成立.nD第79页/共116页1212221112211121212112211( 1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaaaaaaaaaa 1212221121121222121111( 1)()()()nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 第80页/共116页1212221211212221211 11()()()nnnnnnnnnna aaaaaaaaaaaa

37、aa 1()ijj i naa 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等120,nnDa aa注：12111()()()()nnnnijj i naaaaaaaa 1nD 第81页/共116页3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij11220,ijijinjna Aa Aa Aij第82页/共116页证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得换成换成把把), 1(n

38、kaaikjk 第83页/共116页11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同11220,ijijninja Aa Aa Aij11220.ijijinjna Aa Aa A 当 时, ,ij 同理可证, ,第84页/共116页 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：第85页/共116页例3. .设 求 35211105,1 3132413D 解：11121314AAAA111111051 3132413 4. 和11213141.MMMM 11121314

39、AAAA 第86页/共116页11213141MMMM11213141AAAA15211 10513131413 0. 第87页/共116页例4. .证明： 111111111111111111110000kkrkkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb 对k用数学归纳法第88页/共116页第89页/共116页一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念设线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 非齐次线性方程组非齐次线性方程组若常数项不全为零，则称为简记为mi

40、bxanjijij, 2 , 1,1mbbb,21第90页/共116页10,1,2,.nijjja xim 则称为齐次线性方程组齐次线性方程组 111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax 若常数项 即120,mbbb简记为第91页/共116页11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb (1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组(m=n时的情况时的情况)111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax (2

41、)齐次线性方程组齐次线性方程组(m=n时的情况时的情况)第92页/共116页线性方程组（1）(2)的系数行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211第93页/共116页对于齐次线性方程组除零解外的解（若还有的话）称为非零解注：注：120nxxx一定是它的解，称之为零解111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax 第94页/共116页二、克莱姆法则二、克莱姆法则定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 则方程组()有唯一解1212,nnDDDxxxDDD0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD第9

42、5页/共116页其中是把行列式中第 列(1,2, )jDjn Dj所得的一个 n 阶行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 第96页/共116页资料：资料： 克莱姆是瑞士数学家，克莱姆是瑞士数学家，1704年年7月月31日生于日生于日内瓦，日内瓦，1752年年1月月4日去世于法国塞兹河畔的巴日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒尼奥勒.早年在日内瓦读书，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加年起在日内瓦加尔文学院任教，尔文学院任教，1734年成为几何学教授，年成为

43、几何学教授，1750年年任哲学教授任哲学教授. 他一生未婚，专心治学，平易近人，他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员院和法国、意大利等学会成员. 1750年，他在专著年，他在专著线性代数分析导论线性代数分析导论中提出了克莱姆法则中提出了克莱姆法则.(其实莱布尼兹（其实莱布尼兹（1693年）年）和马克劳林（和马克劳林（1748年）也给出了该法则，但他们年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来的记法不如克莱姆，故流传下来).第97页/共116页例例： (P87 例题) 解线性方程

44、组 123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx 解： 系数行列式 1215181511306930627081,0212521214760476dd 234285121812158190613961309108,27,27051202520215107614061470ddd 123412343,4,1,1ddddxxxxdddd . . 第98页/共116页定理 5 10 (1, 2, )nijjja xin的0A 方程组仅有零解. 齐次线性方程组有非零解 0A (逆否命题) . 证明证明： 据 Cram er法则，该方程组的解为(1, 2, , )

45、jjdxjnd，因jd中有一列元素为 0，故0jd 0 (1, 2, )jxjn. 例： 121200 xxxx，具何条件，该线组有非零解. 解： 要有非零解, 211011 , 经验证1 ， 线组确有非零解. 第99页/共116页注：注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即即111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax 有非零解 det()0.ija第100页/共116页例2：问 取何值时，齐次线性方程组有非零解? 1231213(5)2202(6)02(4)0 xxxxxxx 解:522

46、260(5)(2)(8)0204D 若方程组有非零解，则 当 时，方程组有非零解2, 5, 8 第101页/共116页评论： cramer法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序在计算机上进行计算. 但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，要计算n+1个n阶行列式，计算量较大.另一方面该公式对n个未知量，m个方程的一般线性方程组的求解就无能为力。第102页/共116页第103页/共116页拉普拉斯（749-1827）：法国数学家，物理学家,16岁入开恩大学学习数学，后为巴黎军事学院教授.曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑革职.也曾担任过法兰西学院院长.写了天体力学（共5卷）,关于几率的分析理论的不朽著作，赢得“法兰西的牛顿”的美誉.拉普拉斯的成就巨大，现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年，他的最后一句话是我们知之甚少，不知道的却甚多.第104页/共116页一、一、k k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 ( ) )