绝对误差相对误差PPT课件

1、不同的置信区间有不同的置信概率 置信区间的表示或其它误差形式表达平均值的标准偏差x 平均值的算术平均偏差x 可以用第1页/共64页误差标准误差算术平均误差都称为绝对误差都称为绝对偏差 x x dx x 残差标准偏差算术平均偏差平均值的标准差平均值的算术平均偏差由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是误差第2页/共64页则是相对误差绝对误差与真值的比值相对偏差绝对偏差与近真值的比值是以直观报道测量精度 常用百分数表示常把相对偏差说成相对误差 第3页/共64页相对误差能直观报道测量精度举例某一物理量的一组测量结果的绝对误差是0.05mx1=0.05mx2=1m测篮球直径 测地球直径 另一物理量的一

2、组测量结果的绝对误差是1m 但不一定是后者的测量精度低这要看相对误差情况 因此, 相对误差也是测量结果所要报道的一个内容 第4页/共64页指测量不计系统误差并且测量数据的误差分布符合统计规律我们只要求掌握高斯分布近真值绝对误差相对误差置信概率测量次数因此报道测量的统计结果必须包含的相关信息是第5页/共64页测量的统计结果具体表达形式为 %100)(xxExxxx单位单位),( nP公认值 %10000| xxxExor采用不同的绝对偏差报道形式测量的统计结果表示的方法不一样 第6页/共64页1. 用测量列平均值的标准偏差x 作为绝对误差报道测量结果的表达形式 %100)683. 0()(xEP

3、xxxxx 单位单位意义真值落在 到的概率为68.3 )(xx )(xx 注这种结果表达形式最通用置信概率P0.683可以省略 即结果表式中没注明置信概率, 则绝对误差 是用平均值的标准差表示的 其中 niixxnnx12)() 1(1 第7页/共64页2. 用测量列平均值的算术平均偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式 x 其中 xx 7979. 0 niixxnn12)()1(17979. 0 %100)575. 0()(xEPxxxxx 单位单位意义 真值落在 到的概率为57.5 )(xx )(xx 从置信概率P0.575可知, 绝对误差是用平均值的算术平均偏差表示的 注第8页/共64

4、页3. 用测量列的标准偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式 x 其中 niixxxn12)(11 %100.)683. 0()(xEnPxxxxx 测量次数测量次数单位单位意义 n次测量得到n个数据,有68.3落在 到 范围内 )(xx )(xx 有测量次数和置信概率P0.683，便知绝对误差是指测量列的标准偏差 注第9页/共64页4. 用测量列的算术平均偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式 x %.).()(1001005755750 0 xEnPxxxxx 测量次数测量次数单位单位意义 niixxxn1 11 1| 其中 n次测量得到n个数据,有57.5落在 到 范围内 )(xx

5、)(xx 有测量次数和置信概率P0.575，便知绝对误差是指测量列的算术平均偏差 注第10页/共64页比如用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外还有其它多种则置信概率就应该写为 P0.997第11页/共64页以上多种结果表达形式本质上是一致的 不管用哪种形式报道测量的统计结果都是设想随机误差分布服从高斯分布因此目前第1种报道方式比较普及即用平均值的标准偏差表示绝对误差置信区间这样， 置信概率 P = 0.683 可以省去 较普及的报道方式 举例第12页/共64页测量长度L的原始数据如表0-2 不计系统误差，对一物理量实现多次等精度测量，应用格罗布斯准则剔除粗差，并报道测量的(统

6、计)结果结果表式举结果表式举例例第13页/共64页近真值 标准偏差 1 10 01 11 10 01 1iiLL niiLLL1 12 21 110101 1)( = 98.328cm = 0.227 cm 为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算LnGL LnGL 和第14页/共64页nnn格罗布斯系数表GnGnGn3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 22 25 301.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44 2.48 2.50 2.53 2.56

7、2.60 2.66 2.74 n=10，Gn=2.18 第15页/共64页近真值 标准偏差 L L 98.328cm 0.227 cm 为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算LnGL LnGL 和n=10，Gn=2.18 LnGL LnGL =97.833cm =98.823 cm 可见，第7次测量数据超出(97.833, 98.823)cm 范围应当剔除第16页/共64页98.328cm 0.227 cm n=10，Gn=2.18 LnGL LnGL =97.833cm =98.823 cm 可见，第7次测量数据超出(97.833, 98.823)cm 范围应当剔除剔除粗差后, n9 , 再计算

8、剔除粗差后, n9 , 重新计算98.257cm 6 61 110108 82 22 21 19 91 1iiiiLLLL)()(0.029 cm 近真值 L标准偏差 L L 0.010 cm LE9 9L LL 0.011 平均值的标准差相对误差第17页/共64页剔除粗差后, n9 , 重新计算0.029 cm 标准偏差 L 6 61 110108 82 22 21 19 91 1iiiiLLLL)()( LELL 0.011 相对误差 L 0.010 cm 9 9L 平均值的标准差98.257cm 近真值 L LE0.011 L 0.010 cm 98.257cm L因此该组测量的(统计)

9、结果为 %.).().(0110110 06836830 00100100 03283289898LEPcmL或省去置信概率 第18页/共64页7单次直接测量的误差估算单次直接测量的误差估算 某些物理量的测定往往不可能重复进行如测定某物在某时某地的速度对某物理量测一次就够了 另一些实验中精度要求不高单次测量的误差主要取决于仪器的误差实验者感官分辨能力观察时的具体条件等 因此单次测量的误差主要用仪器误差等来表达第19页/共64页仪器误差 可由说明书或相关资料查到 因此可用仪器最小刻度表示仪器精度 查说明书或相关资料由仪器的精度决定一般可用最小刻度表示仪器精度 如果没有说明书或相关资料 由于仪器精

10、度通常与最小刻度是一致的 视仪器刻度情况及个人分辨能力而定 单次测量的绝对偏差常取仪器最小刻度值的1/21/10无法估读的仪器取最小刻度 作为绝对偏差 在结果表达式中要注明绝对误差 取的是什么 第20页/共64页用米尺测直径, 单次, 观察值30.02cm测量结果可写成 举例 %.).(2 20 00202303005050 005050 002023030Ecmdd 取最小刻度的1/2第21页/共64页用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，单次，观察读数为34.58mm，则结果可写成： %.).(06060 05858343402020 002020 058583434EmmL 取卡尺的最小

11、刻度第22页/共64页单次测量值误差大小主要来自于测量仪器的精度这种误差不服从高斯分布 注意单次测量的误差不服从高斯分布 为与随机误差的绝对误差x区分用仪或(仪器) 或表示仪器误差 仪器误差也称为仪器的允许误差 或示值误差 比如 游标卡尺取最小刻度0.02mm表示仪器误差, 则其绝对误差可写为 mm02020 0. 游游mm0 02 20 0. (仪器) mm0 02 20 0. or第23页/共64页待测量 N 是直接测量量 A, B, C 的函数可测出 A, B, C 然后求出待测量N 8 间接测量的误差估间接测量的误差估算算),(CBAfN 会传递给间接测量值 各直接测量值存在测量误差间

12、接测量的结果也应表达为 间接测量值的误差估算，就是要求出上式中的绝对误差N %)()(100100NNEPNNNN单位单位第24页/共64页间接测量值误差的两种估算方法 也称为误差的传递公式误差的一般传递公式标准误差的传递公式 第25页/共64页一. 误差的一般传递公式 误差的传递公式),(CBAfN 求全微分 设各直接测量值的绝对误差分别为 CBA 、dCdBdA、用CBA 、代替则间接测量值N的绝对误差 为 N 为直接测量量的分误差 右端各项 dCCfdBBfdAAfdN CCfBBfAAfN最不利情况考虑，认为分误差将累加 这会导致间接测量值的误差偏大但不降低其置信概率 近真值 通常取）

13、、CBAfN( 相对误差 %100100 NNEN绝对误差第26页/共64页记录误差的传递公式 CCfBBfAAfN则),(CBAfN 如一误差的传递公式一误差的传递公式第27页/共64页误差传递公式的两个推论 记录1. 和与差的绝对偏差等于 各直接测量量的绝对偏差之和 即：如果 CBAN则 CBAN2. 积与商的相对偏差等于 各直接测量量的相对偏差之和 CBAN/ 即：如果 CCBBAANNEN 则 CBAEEE 误 差 传 递 公 式 的 两 个 推 论误 差 传 递 公 式 的 两 个 推 论第28页/共64页先算相对偏差，后算绝对偏差 误差传递公式的应用技巧当被测量为几个直接测量量的先

14、算绝对偏差，后算相对偏差和或差乘或除误 差 传 递 公 式 的 应 用 技 巧误 差 传 递 公 式 的 应 用 技 巧第29页/共64页误差传递公式的应用举例因尺子不够长, 分两段测一长度测得的结果分别为 cmLcmL).(;).(0 02 20 09 96 64 43 30 02 20 00 00 04 48 82 21 1 求被测长度 ? 2 21 1LLL L LLLEL %.).(05050 004040 096969191LEcmL故 2 21 1LL cm9 96 69 91 19 96 64 43 30 00 04 48 8. 2 21 1LL cm0 04 40 00 02

15、20 00 02 20 0. %.05050 09696919104040 0 误差传递公式的应用举例误差传递公式的应用举例第30页/共64页用天平称得质量为 Vm 求固体密度 =?用量筒测得体积为 E %./).(2 20 00040040 07287281 13 3 EcmgVm3 37 72 28 81 13 36 62 22 26 64 43 38 8cmg/. VVmm E3 30040040 07287281 12 20 0cmg/.%. %.2 20 03636222202020 06565383805050 0 3 302020 036362222cmV).( gm).(0 0

16、5 50 06 64 43 38 8 第31页/共64页直接测量量 )()()(CCCBBBAAA 、求间接测量量 BCAN NEN、 的DAN CCBBDD BCD 令DAN 则DCCBBD )(BCCCBBAN )(BCCBA CBABCCBANNEN 第32页/共64页二标准误差的传递二标准误差的传递公式公式二. 标准误差的传递公式 2 22 22 22 2BANBfAf 称为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成 ),(CBAfN 如果则证明第33页/共64页 dCCfdBBfdAAfdN设在实验中对各直接测量量作了n次测量则可算出n个N值。每次测量, N 的误差为 ),(CBAfN

17、 两边平方 iiidBBfdAAfdN22证明第34页/共64页 2 22 22 22 22 2iiidBBfdAAfdN )( iidBdABfAf2 2 iiidBBfdAAfdN22将 n 次测量的相加 2 2)(idN niiiniiniiniidBdABfAfdBBfdAAfdN1 11 12 22 21 12 22 21 12 22 2)(第35页/共64页 niiiniiniiniidBdABfAfdBBfdAAfdN1 11 12 22 21 12 22 21 12 22 2)( niidN1 12 2)( niidBBf1 12 22 2+ niiidBdABfAf1 12

18、2+由于 A , B , C都是独立变量因此dA , dB , dC 可正可负依据随机误差的公理 大小相等负号相反的误差出现的机会相等 因此上式交叉乘积项的和将等于零 = 0因此 niidN1 12 2)( niidAAf1 12 22 2两边微分号换为误差(残差)符号 即 dxi 换成 xxi niiniiniiBBBfAAAfNN1 12 22 21 12 22 21 12 2两边除以n(n-1) ，再开方 )()()(1 11 11 11 12 22 21 12 22 21 12 2nnBBBfnnAAAfnnNNniiniinii第36页/共64页 2 22 22 22 2BANBfA

19、f N 2 2A 2 2B )()()(1 11 11 11 12 22 21 12 22 21 12 2nnBBBfnnAAAfnnNNniiniinii此式即为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成 第37页/共64页标准误差传递公式的两个推论记录标准误差传递公式的两个推标准误差传递公式的两个推论论1. 和与差的绝对偏差等于 各直接测量量绝对偏差的方和根 CBAN 2 22 22 2CBAN 2. 积与商的相对偏差等于 各直接测量量相对偏差的方和根 CBAN/ 2 22 22 2CBANEEEE第38页/共64页特别注意方和根之前需先对同项合并BAN2 2 BAAN 如果把写成则从第二条

20、推论的字面上理解2. 积与商的相对偏差等于 各直接测量量相对偏差的方和根 相对偏差的结果似乎应该为2 22 22 2BAANEEEE 2 22 22 2BAEE 但这是错误的结果 在方和根的方之前, 需先对同项合并 各直接测量量的相对偏差有三项 BAAEEE、同项合并，则变为两项 BAEE 、2 2同项合并后才可进行方和根 NBAEEE 2 22 22 2第39页/共64页特别注意方和根之前需先对同项合并又比如 BAN 3 3BAAAN 可写成各直接测量量的绝对偏差为四项 BAAA、 合并同项后变为两项 BA、 3 3同项合并后才可进行方和根 NBA 2 22 23 3)()(第40页/共64

21、页标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用标准误差传递公式的应用技巧技巧先算相对偏差，后算绝对偏差 当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差和或差乘或除与误差传递公式的应用技巧一致第41页/共64页前面给出了平均值的标准偏差关系式 (0-15)式 nxx 平均值的标准偏差关系式的平均值的标准偏差关系式的证明证明现在用标准误差的传递公式证明之 证明关系式等精度测量列的平均值 由标准误差传递公式可得 )(niniixxxxnxnx 2 21 11 11 11 1, 恒有 nxxi1 1 x为各个 xi 的函数 2 22 22 22 21 11 1nxnxxxxxx 2 22 2

22、1 11 1nxxn x 第42页/共64页2 22 21 11 1nxxn x 一个测量列中, 单次观测值xi 的平均值就是其本身 x 就是测量列的标准偏差xxxxni 1 1即 因此 2 21 1xnn 因此单次观测值 xi 的平均值的标准偏差ix nx x 证毕第43页/共64页三. 误差估算的目的 及其对实验的指导意义 三三. 误差估算的目的及其对实验的指导误差估算的目的及其对实验的指导意义意义估算误差通常可以解决两方面问题 判断实验结果的可靠程度 合理选择仪器、确定实验方案举例第44页/共64页举例单摆法测重力加速度要求测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式合理选择测量仪器和

23、测量方法 224Tlg glT 2 第45页/共64页224Tlg TTllgg 2误差传递公式误差均分原则(等精度原则)右两项应当具有同样的准确度 TTll 2即各直接测量的物理量的测量精度应该相等的原则, 称为误差均分原则, 也称为等精度原则 0.2%4 . 0 gE根据 要求, 可知 第46页/共64页TTll 2 0.2%4 . 0 gE根据 要求, 可知 当摆长 l 在60100cm以内时用米尺测 l 即可达到 l 0.1cm从而使 El 0.2% TTll 2 0.2%4 . 0 gE根据 要求, 可知 摆长的测量方法选用米尺，摆长取60cm以上周期的测量方法若用最小刻度为0.1s

24、的机械秒表测 秒表一次测量的误差约为0.2s 计时开始到停止计时是一次时间测量开始揿表和停止计时揿表的误差各为0.1s 摆长在1m附近时周期约2s 则 %1022 . 0 TT远远不能满足要求 %1 . 0 TT解决的办法 测量多个周期的时间求周期 例：测100个周期时间 若用精度为0.001s的数字毫秒计测测一个周期 即可第47页/共64页8 有效数字及其运算 8 有效数字及其运有效数字及其运算算一. 有效数字的概念 下列数字是几位有效数字？0.0011.00011.0000.00101.111 1.001 0.111 3100 . 1 31011. 1 能够正确而有效地表示测量和实验结果的

25、数字，叫做有效数字通常由准确数字和一位欠准数字构成第48页/共64页因此，这个数字47.3是有效的 测读数据为47.3mm 例3是估读的是欠准的但毕竟有一定的参考意义比之不估读要更接近实际情况第49页/共64页二. 测量和数据处理中 有效数字处理的基本原则 处理有效数字的原则处理有效数字的原则有效数字的位数反映了测量中仪器的精度情况1. 有效数字的位数不能任意增减有效数字的位数是不能任意增减 因此例 6.36m6360mm应写成标准式6.36m =6.36103mm测同一长度，量具不同会得到不同结果 米尺 L = (7.320.02)cm4位有效数字游标尺 L = (7.3100.006)cm

26、3位有效数字千分尺 L = (7.31020.0002)cm5位有效数字可见有效数字反映了仪器的精密程度 第50页/共64页2. 有效数字和小数点的位置无关最左数字前的零不是有效数字数字写成标准式，有效数字位数不变4.18cm =0.0418m=41.8mm300800g =3.00800102 kg都是3位有效数字都是6位有效数字第51页/共64页一般情况下有效数字中保存一位欠准数字 若干个有效数字进行运算后不因运算而增加结果的准确度但又不损害测量的精密度总则3. 有效数字的运算规则 第52页/共64页(1) 四舍五入法则 3. 有效数字的运算规则 舍去多余的欠准数字时大于5进小于5舍等于5

27、使前位成偶数记成四舍六入五配偶3541. 5541. 56541. 5641. 55541. 5641. 55641. 5641. 55941. 5042. 55041. 5041. 5 041. 5042. 5641. 5641. 5641. 5541. 55041. 55941. 55641. 55541. 56541. 53541. 5四舍五入四舍五入第53页/共64页(2) 加减运算结果以参与运算的有效数字小数点后位数最少的为标准多余的四舍五入例 11.111+1.1欠准数欠准数与准确数相加后的数字为欠准数字 11.111+1.10 011221.=12.211=12.221 .947

28、6 . 82 .17938. 1 973 .121 又如4 .121 第54页/共64页(3) 误差的有效数字一般取一位由于误差本身是可疑的数字所以表示误差一般取一位在误差中，对有效数字的取舍采用进位法，而不用四舍五入法因为误差是作最坏估计，最多取二位0.0044= 0.004= 0.005四舍五入进位法多余的采用进位法进位引起的附加误差在整个误差中占的百分比过大时应多保留一位有效数字即误差至多取两位有效数字= 0.2差不多误差扩大了一倍进位法取一位0.1112宜多取一位：0.1112 = 0.12第55页/共64页1 12 21 134342 2. 2. 3 4 12.1 4321284 6+(4) 乘除运算1614 9.= 4. 9161= 4. 9可见积或商的有效位数，一般应与参与运算的数中有效位数最少的一个相同多余的四舍五入9 91 12 26 63 37 79 95