结构动力计算多自由PPT课件

1、8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析12211122211221111121kkmkmk 212122212222111221kkmkmk 111111212111( )sin ()( )sin ()yttytt121222222222( )sin ()( )sin ()yttytt一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由振动的特点是：振动的特点是：1 1）体系上所有质量的振动频率相同。）体系上所有质量的振动频率相同。2 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，即振动形状

2、保持不变，将此振动形式称作即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型主振型，简称为，简称为振型振型（mode shapemode shape）。）。第1页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析运动方程的通解运动方程的通解1111222122( )( )( )( )( )( )y tAytByty tAytByt 四个积分常数A、B、1和2 ，可由运动的初始条件 、 （ ）确定。0(0)iiyy0(0)iiyy1,2i 第2页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8. 5. 2 频率和振型频率和振型12第一频率或基本频率第一频率或基本频率第二频

3、率第二频率基本振型或第一振型基本振型或第一振型第二振型第二振型体系的频率和振型是体系的体系的频率和振型是体系的固有属性固有属性（natural property），），与外界因素无关。与外界因素无关。振型向量量1112122122 ，22111122221211iiiiicckkmkmk第3页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析11112222112222101mmmm1111122222111222221()01()0mmmm1/21112221,211122211221221121()()24mmmmm m 11121122212211iiiiiccmmmm(1

4、, 2)i 柔度形式的方程柔度形式的方程21第4页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析特例：特例：刚度形式刚度形式112212,kkmmm1112111212,kkkkmm柔度形式柔度形式112212,mmm11112()m21112()m121112111211,()()mm第5页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析例题例题 8-15 试求图试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振所示两层刚架的自振频率和振型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量略不

5、计，横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度每层的高度5 m。解：解：两个自由度体系，设两个自由度体系，设m1的位移为的位移为y1，m2的位移为的位移为y2113312484EIEIkll12213312484EIEIkkll 223312726EIEIkll第6页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析213336012 17(60 12 17)EIEIEImlmlml223336012 17(60 12 17)EIEIEImlmlml13(60 12 17)10.050 8 (1/s)EIml23(60 12 17)32.418 8 (1/s)EIml11

6、2122212110.7808cckkm12222122222111.2809cckkm1.28091第二主振型10.7808第一主振型第7页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析例题例题 8-16 图图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相所示简支梁在三分点处有两个相等的集中质量等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。试用柔度法求其自振频率和振型。试用柔度法求其自振频率和振型。解：解：不计轴向变形，不计轴向变形，本例有两个自由度，设本例有两个自由度，设1 1、2 2两处质量的竖向位移分别两处质量的竖向位移分别为

7、为y y1 1和和y y2 2。331122122147243486EIEI31111215()486mmEI3222211()486mmEI第8页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析1131/5.69EIm2231/22EIm1111c2211c第一主振型(正对称)第二主振型(反对称) 利用对称性利用对称性对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度问题来解决问题来解决.正对称反对称第9页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8. 5. 3 振型的正交性及其应用振型的正交性及其应用两个自

8、由度体系有两个振型向量两个自由度体系有两个振型向量 ，存在着对，存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性（质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：）：对应不对应不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。1ii ,2 Ti Mj 0ijTi j 0ijK证明：证明：KM 202iiiKM2jjjKMTT2jijiiKMTT2ijijjKMTT2jijjiKM22jiijjiMMTT0220ijjiMT 22ij0jiMT T0jiK 第10页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物

9、理解释关于振型正交性的物理解释0jiMT20ijiMTsin ()(1,2)iiiitiY 2Isin ()(1,2)iiiiitiFM Iii FMYT2TIsin ()0(1,2)ijijiiitiFM第第i 阶振型产生的惯性力在第阶振型产生的惯性力在第j 阶振型的位移上所做的虚阶振型的位移上所做的虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功第11页/共67页3）振型正交性的利用振型正交性的利用（1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。例题例题 8-17 试检验例题试检验例题

10、 8-15所求得振型的正确性。所求得振型的正确性。11001mM348484872EIlKT110.780 8 T211.280 9 解：解： T1211110110.780 80.000 1270011.280 9mmm MT123334848110.780 80.004 324048721.280 9EIEIEIlll K由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第12页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自振频率。证

11、明：证明：KM 202iiiKM(1,2)i TT2iiiiiKM(1,2)i *2*iiiKM(1,2)i *iiiKM(1,2)i *TiiiM M (1,2)i 称为第第i 振型的广义质量振型的广义质量*TiiiKK (1,2)i 称为第第i 振型的广义刚度振型的广义刚度小结小结: :*,MK第13页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（ 3 ） 位移的分解位移的分解任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成其分解成2个振型的线性组合。个振型的线性组合。Y=21iii Tj M Y=Tj M21iii

12、Tj M Y=jjM j=MYjT / jM=jjjMMY TT 位移向量按振型的正则坐标变换位移向量按振型的正则坐标变换（normal coordinates transform），），组合系数组合系数 称为位移向量的称为位移向量的广义坐标广义坐标（generalized coordinates或称或称正则坐标正则坐标）i第14页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（ 4 ）将两自由度体系变成单自由度求解）将两自由度体系变成单自由度求解)2 , 1(0)()(jtKtMjjjj )(21tii21)(iit MiKi+=0)2, 1(0)()(2jttjjj 0

13、KYYM Y=21iii Tj两边同时左乘两边同时左乘21jjYj 第15页/共67页8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8. 5. 4 简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析0FKYYM tsin022)(FAKMKAMAKMB201201)(FKMFBAY=Atsin幅值方程幅值方程运动方程运动方程特解（稳态解）特解（稳态解）sin ()iit21iiCitsinY+A第16页/共67页02MK02MK)2 , 1( ii共振分析共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶

14、自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点振点。8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第17页/共67页02011211211222220211FFmkkkmkBAA211112221222kmkkkmB2112222212110kkmkmkB222212210mmB21222011202022210111102011()AkmFk FBAkFkmFB特例分析特例分析(1,2)ii8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第18页/共67页01022221FBmkA010212FBkA2222mk01A1201

15、2kFA 吸振原理吸振原理F01tsin002F222km01A022FAk2m128. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第19页/共67页m1EI1=m2k1k2sinFtEI1=hhkkk1112解解: (1)求刚度系数求刚度系数21122kkk kk222(2)求位移幅值求位移幅值例题例题 8-18 8-18 已知已知 。 试求：试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。EI mhmmm3124, 31224kkEI h由已知条件知由已知条件知:221111203221222320kmkEIBhkkm 8. 5 两自由度

16、体系的振动分析两自由度体系的振动分析第20页/共67页（3）计算惯性力幅值）计算惯性力幅值3211332223160.0751.2160.11.6EIFhmYFhEIEIFhmYFhEI （4 4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上， 按静力进行计算按静力进行计算32122201120203222101111020110.1F hAkmFk FBEIF hAk FkmFBEI 00=-0.075，8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第21页/共67页F. F1 2. F1 6. F1 2. F0 6. F1 2. F0

17、 6. F0 3. F0 3. F0 9. F0 9.Fh0 15.Fh0 45.Fh0 15.Fh0 458. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第22页/共67页12l/91M图图12l/92M图图m1m2l/3l/3l/3sinFt已知：已知：EI= =常数，常数，31120.63.415,.EI mlmmm 3311221221331P2P8748648687486486llEIEIFlFlEIEI解：解： (1)(1)求柔度系数和自由项求柔度系数和自由项F2Fl/9MP图图(2)(2)振幅振幅22212130.611.66EImmml8. 5 两自由度体系的振动分析两自

18、由度体系的振动分析第23页/共67页2211122102211122210.62471mmDmm 231P212122P2220.015721mFlDEIm 231111P221212P10.0144mFlDEIm 331212000.025160.02306DFlDFlYYDEIDEI2211 12220.29360.2689ImYFIm YF（3 3）动弯矩幅值）动弯矩幅值30.02516FlEI30.02306FlEI8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第24页/共67页F0.2934F0.2689F0.3173Fl0.2035Fl动弯矩幅值图动弯矩幅值图F29Fl荷载

19、幅值的静弯矩图荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0.611F动剪力幅值图动剪力幅值图2F/3F/3荷载幅值的静剪力图荷载幅值的静剪力图8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第25页/共67页（4 4）动力系数）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数多自由度体系没有统一的动力系数13011stp011st4,1.529243yF lAyEIy 10011st1st2,1.4289MFlMMEIM位移放大系数：位移放大系数：弯矩放大系数：弯矩放大系数：8. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第26页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分

20、析振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于多自由度体系。多自由度体系。8. 6. 1 无阻尼自由振动分析无阻尼自由振动分析n个自由度体系无阻尼自由振动方程为个自由度体系无阻尼自由振动方程为 0MYKY振型或幅值方程为振型或幅值方程为2 0MK 频率方程为频率方程为20KM1,2,iin1,2,iinn个主振型个主振型对应的频率对应的频率通解为通解为YniiC1i sin ()iit第27页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多

21、自由度体系的振动分析例题例题 8-20 8-20 已知条件如图已知条件如图8-39所示，试求结构的频率和振型。所示，试求结构的频率和振型。解解：(1)(1)频率计算频率计算110001.50001.5mM1110132024.5k K21112211112111031.520024.51.5kmkkkmkkkmKM211mkKM 20110131.520024.51.5第28页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析2172031033113253346221113198 10 N/m1180.756 s180 10 kg3km-1113.445 s6221223198

22、 10 N/m3908.678 s180 10 kg5km-1230.144 s6221333198 10 N/m42 177.233 s180 10 kgkm-1346.661 s第29页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析(2)振型计算123110013 1.520024.51.50iiiiii 1121310.66810012.50220024.0020 11213112 31 31222320.66910010.49720021.9970 12223212 31 31323332.99910012.99920021.4990 132333134 11i（归一

23、化）（归一化）第30页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析例题例题 8-21 8-21 已知例题已知例题8-20所示体系的第一、二两振型分所示体系的第一、二两振型分别为；别为； 。试求。试求结构的频率。结构的频率。T112/31/3 T212/32/3 解：解：110001.50001.5mM1110132024.5k K(1)求第三振型求第三振型3 23331T130M12233332133mmmT230M12233332233mmmT3134 设设第31页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析(2)求广义质量求广义质量 T*iiiM M

24、T*iiiK K*3153910 kN/m9K *32343010 kN/m9K *3315092 10 kN/mK *4133 10 kgM *4242 10 kgM *636.93 10 kgM (3)求广义刚度求广义刚度(4)求各振型频率求各振型频率314(539/9) 10 kN/m113.472 33 10 kgs 324(3430/9) 10 kN/m130.123 42 10 kgs 33415092 10 kN/m146.667 693 10 kgs 32kN10 kg m/s（注意： ）第32页/共67页8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析例题例题 8-22

25、 8-22 设有一位移向量设有一位移向量 ，试用例题，试用例题8-208-20的振型向量将其进行分解。的振型向量将其进行分解。T135aa解：解：j=MaTj / / jM=jjj MMaTT； ) 3 , 2 , 1( jT3116.51170 10 kgama MaT32171260 10 kgama MaT33117.53150 10 kgama Ma13.54545a1113.54545 2/332/30.4545531/32/34aa23a 30.45455a广义坐标广义坐标第33页/共67页8. 6. 2 无阻尼受迫振动分析无阻尼受迫振动分析振型分解法振型分解法 1niiittY

26、E11nniiiiiitttttMYKYMKF*( )( )( )1,2,.jjjjjMtKtFtjn2*1( )( )( )1,2,.jjjjjttF tjnM 1,2,3,.jtjn关于正则坐标关于正则坐标 n n个独立运动方程，解个独立运动方程，解答可由单自由度的杜哈梅积分给出。答可由单自由度的杜哈梅积分给出。jM=Tj Mj ，jK=Tj Kj ,*( )jFt=Tj EtF 1,2,jn8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第34页/共67页*01( )( )sin()d(1,2,., )tjjjjjtFttjnM*01( )sin()( )sin()d 1,2,tj

27、jjjjjjjtatFtjnM 1njjjttY振型分解法振型分解法（mode analysis method）或振型叠加法振型叠加法（mode superposition method）。主要核心是：主要核心是：把位移向量按振型进行分解，利用振型的正交把位移向量按振型进行分解，利用振型的正交性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程。8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第35页/共67页振型分解法按以下步骤进行：振型分解法按以下步骤进行：（1 1）求体系的）求体系的自振频率自振频率和对应的和对应的振型振型。（2

28、2）计算）计算广义质量广义质量和和广义荷载广义荷载。（3 3）杜哈梅（）杜哈梅（DuhamelDuhamel）积分积分求解正则坐标求解正则坐标（4 4）计算体系的）计算体系的位移响应位移响应向量向量（5 5）如果是非零初始条件，则确定）如果是非零初始条件，则确定积分常数积分常数。（6 6）由体系的位移响应进一步求）由体系的位移响应进一步求其他动力响应其他动力响应。8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第36页/共67页 例题例题 8-23 8-23 分析图分析图8-40(a)所示静止的结构，在质点所示静止的结构，在质点2处处受突加荷载作用时的位移响应。已知受突加荷载作用时的位移

29、响应。已知 , 荷载为荷载为 ，EI=常数。常数。12mmm P0000tFtFt解：解：1348615EIml23486EIml(1)自振频率和振型自振频率和振型111 (2)计算广义质量计算广义质量*1011 1201mMmm *20111201mMmm211 8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第37页/共67页(3)计算广义荷载计算广义荷载*1020PP00( )1 1( )11( )( )F tFF tFF tF t (4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为正则坐标的解答（杜哈梅积分）为*01111*01111( )( )sin ()(1 cos )2tFtFtdtMm

30、*01111*01111( )( )sin ()(1 cos )2tFtFtdtMmY)(1t1 +)(2t2 )()()()(2121tttt(5)两个自由度的位移向量解答两个自由度的位移向量解答8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第38页/共67页11220112120121( )( )( )(1 cos )(1 cos )2(1 cos )0.066 7(1 cos )2y tttFttmFttm2122011212( )( )( )(1 cos )(1 cos )2y tttFttm0121(1 cos )0.066 7(1 cos )2Fttm注意：注意：动力位移一

31、般主要由前几阶较低频率的振型组成，动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少数几个振型进行计算。在求位移的幅值时，不能可只取少数几个振型进行计算。在求位移的幅值时，不能简单地由各振型幅值叠加。简单地由各振型幅值叠加。8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第39页/共67页8. 6. 3 有阻尼受迫振动分析有阻尼受迫振动分析1多自由度体系的阻尼问题多自由度体系的阻尼问题 EtMYCYKYF C为阻尼矩阵阻尼矩阵（damping matrix）。在粘滞阻尼假设下，在粘滞阻尼假设下，阻尼矩阵元素的物理意义为：第个位移方向有单位速度阻尼矩阵元素的物理意义为：第个位移方向有单位

32、速度（其他质量位移方向的速度为零）所引起的第个位移方向（其他质量位移方向的速度为零）所引起的第个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数（的阻尼力，称为阻尼影响系数（damping influence coefficient）比例阻尼比例阻尼（proportion damping也称Rayleigh阻尼阻尼），其表其表达式为达式为C=aM+b K第阶振型的广义阻尼系数第阶振型的广义阻尼系数(generalized damping coefficient)*jC=Tj ( a M+b K )j =*jjbKaM 8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第40页/共67页*2*jjjKM*

33、2jjjjcM1()2jjjab1212212221221122212()2()ab 第第 j 阶振型的广义阻尼比阶振型的广义阻尼比(generalized damping ratio)120.0512120.1a 120.1b钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构实验测得的实验测得的阻尼比来计阻尼比来计算算a、b的值的值8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第41页/共67页2有阻尼受迫振动分析有阻尼受迫振动分析Y=nii1)(ti jjM *)(t+nii1)(tTj Ci +jKj)(t=)(*tFj nj,.2 , 1*( )( )( )( )1,2,.jjjjjjjMtCtKt

34、Ftjn*2*( )( )2( )( )1,2,.jjjjjjjjFttttjnM ()*d*0d1( )( )sin()d(1,2,., )jjttjjjjjtF t etjnM 1njjjttY8. 6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第42页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法能量法求基本频率和迭代法求前几阶较低的频率及其相能量法求基本频率和迭代法求前几阶较低的频率及其相应的振型应的振型8. 7. 1 能量法求基频能量法求基频变形能+动能=const.1单自由度体系单自由度体系( )sin()y tAt( )( )cos()v ty tAt22

35、maxmax1122VkykA222maxmax1122TmymAmaxmaxTV2max12TmA2maxmaxTV2maxmaxVTmaxmaxVT能量法能量法（energy method）或称为瑞利法瑞利法(Rayleigh method第43页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法 2. 多自由度体系多自由度体系*T2*TiiiiiiiKMKMT,max12iiiVKT,max12iiiTM*T,max2iiiiKVK *T,max2iiiiMTM ,max2,maxiiiVTT1,max112VY KYT1,max112TY MY1,max211,max

36、VT 第44页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法例题例题 8-24 用能量法求两层刚架的基本频率。图中刚架用能量法求两层刚架的基本频率。图中刚架各立柱的抗弯刚度各立柱的抗弯刚度 ，横梁的质量，横梁的质量m1、m2均均为为5000 kg，立柱的质量忽略不计，每层的高度立柱的质量忽略不计，每层的高度 。626.0 10 N mEI 5 ml 解法一：解法一：在质量在质量m1上沿运动方向作用一个单位力上沿运动方向作用一个单位力322124lAkEI2233*11,max01.51321.51.001.024424mllMTmmEIEI33312113244848ll

37、lAAkEIEIEI31121.51.024AlAEIY31,max1131296lVAEI 213314411.07713EIEImlml110.312(1/ ) s基本频率为10.050(1/s), 其误差为2.6%第45页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法解法二：322212mgmglAkEI3331215124848mgmglmglmglAAkEIEIEI31121.251.0012AmglAEIY2233*11,max01.254121.251.001.0121612mmglmglMTmmEIEI31.max1211922812mglVmgAmgAm

38、gEI213343210.53641EIEImlml110.057(1/ ) s将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，误差仅为误差仅为0.07%第46页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法8. 7. 2 迭代法求频率和振型迭代法求频率和振型0MYKY2MKD211DKMM动力矩阵动力矩阵（dynamic matrix）任意假设一个经过标准化（例如取第一个元素为任意假设一个经过标准化（例如取第一个元素为1 1）的初始）的初始迭代向量，将其按振型分解可得迭代向量，将其按振型分解可得01niiiA1011111nnni

39、iiiiiiiiii ADAD标准化标准化11111niiiiA第一次迭代第一次迭代第47页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法221212111niiiiaADAA22121121()niiii A1111211mmnimiimmim DAA11112mm mA第二次迭代第二次迭代第第m m次迭代次迭代11mi第48页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法111121mm 1112mm 1 1 1mAm A1m11m当当m足够大时足够大时第49页/共67页用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：用迭代法可求得第一频率和振

40、型，具体的计算的步骤为：（1 1）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；（2 2）由柔度（或刚度）和质量矩阵生成体系动力矩阵）由柔度（或刚度）和质量矩阵生成体系动力矩阵D；（3 3）假设第一振型的初始迭代向量）假设第一振型的初始迭代向量A0 ；8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法（4 4）由）由 用用 求迭代值并进行标准化（例如取求迭代值并进行标准化（例如取第一个元素为第一个元素为1 1），得），得 ；110ADA0A111A、11m1mA（6 6）由）由 计算第一频率，计算第一频率， 即为第一振型。即为第一振型。11A0A

41、（5 5）用）用 代替代替 ，重复（，重复（4 4）进行反复迭代，直到）进行反复迭代，直到满足精度要求为止满足精度要求为止; ;第50页/共67页迭代结果总是收敛于第一振型。迭代结果总是收敛于第一振型。如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分，如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分， ，结果收敛于第二主振型。结果收敛于第二主振型。如果如果 ，结果将收敛于第三主振型。，结果将收敛于第三主振型。要想求出体系的高阶振型和频率，就必须在所假设的振要想求出体系的高阶振型和频率，就必须在所假设的振型迭代向量中将低阶主振型的分量消除。这个步骤称为型迭代向量中将低阶主振型的分量消除。这个步骤称为清型清型或或

42、滤型滤型。8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法2. 迭代法求高阶振型和频率迭代法求高阶振型和频率10120第51页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法01niiiAT0*iiiM MA20011T1001*1T110*1MMAA MAA MIAT111*1M MQI2010AQ A一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵为了避免在迭代的过程中由于舍入误差而引入第一主振为了避免在迭代的过程中由于舍入误差而引入第一主振型的分量，必须在每次迭代前都重复进行上述的滤型过程，型的分量，必须在每次迭代前都重复进行上述的滤型过程，以保证迭代过程能收敛于第二主振型。以保证

43、迭代过程能收敛于第二主振型。第52页/共67页T2111*1T111*1MM MDDQD I MDT32222*2M MDDT1111*1ppppppMMDD经过滤型后的求经过滤型后的求第二主振型所需第二主振型所需用的动力矩阵。用的动力矩阵。8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法第53页/共67页8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法3. 迭代法算例迭代法算例例题例题 8-25 试用迭代法求图试用迭代法求图8-42(8-42(a)a)所示简支梁的第一频所示简支梁的第一频率和振型。率和振型。3911711 16117687119lEI0002000mmmM

44、392271132117687229mlEIDT0121AT13176860 8660mlEIA3160768mlEIT111 1.4331A解：解：第54页/共67页3347.416768mlEIT311 1.42771A13376816.1947.416EIEImlmlT11 1.42771T33176847.41667.68947.416mlEIAT23176847.52667.85647.526mlEIA3247.526768mlEIT211 1.42781A231.197 022 3260.280 622 46-0.802 977 674-0.140 311 220.189 955

45、33-0.140 311 22768-0.802 977 6740.280 622 461.197 022 326mlEID求第二主振型所需的动力矩阵如下：求第二主振型所需的动力矩阵如下：8. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法第55页/共67页8. 7 结论与讨论结论与讨论8. 8. 1 结论结论(1)(1)我国是地震多发国家，在当前综合国力条件下，对我国是地震多发国家，在当前综合国力条件下，对一般结构的抗震设计原则为一般结构的抗震设计原则为“小震不坏、中震可修、大震不小震不坏、中震可修、大震不倒倒”，为此，为此掌握结构动力学基本知识十分重要掌握结构动力学基本知识十分重要。

46、(2)(2)随时间变化的荷载作用是否作动力学问题分析，要随时间变化的荷载作用是否作动力学问题分析，要看结构在这种荷载作用下所产生的惯性力大小。看结构在这种荷载作用下所产生的惯性力大小。对于不同结对于不同结构受同一荷载作用，结论可能是不同的。构受同一荷载作用，结论可能是不同的。(3)(3)实际结构都是无限自由度的，一般可用实际结构都是无限自由度的，一般可用集中质量法集中质量法将其简化为有限自由度问题进行分析。将其简化为有限自由度问题进行分析。(4)(4)体系的自由度数目既和体系的质量数目有关，又不体系的自由度数目既和体系的质量数目有关，又不完全取决于质量数目，自由度还和体系的可能变形状态有关，完

47、全取决于质量数目，自由度还和体系的可能变形状态有关，因此因此要根据具体问题要根据具体问题“按自由度数定义按自由度数定义”分析确定分析确定。第56页/共67页(5)(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法动静法，这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻尼力后转化为尼力后转化为瞬时平衡问题瞬时平衡问题。(6)(6)直接平衡法直接平衡法有两种建立方程的方法：有两种建立方程的方法：刚度法刚度法和和柔度柔度法法。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设在体系上。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的

48、阻尼假设在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。(7)(7)动力自由度数动力自由度数是确定质量空间位置的独立坐标（参是确定质量空间位置的独立坐标（参数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。应系数之间也没有关系。(8)(8)集中质量多自由度体系的集中质量多

49、自由度体系的质量矩阵质量矩阵是是对角矩阵对角矩阵，其，其元素为各自由度方向的总质量。元素为各自由度方向的总质量。刚度矩阵元素刚度矩阵元素为为“仅仅j j自由自由度发生单位位移时，度发生单位位移时，i i自由度方向所需施加的（附加）约束自由度方向所需施加的（附加）约束反力反力”，根据反力互等定理，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的刚度矩阵是对称的。8. 7 结论与讨论结论与讨论第57页/共67页(9)等效干扰力向量的元素可由等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移刚度矩阵乘荷载位移向量计算向量计算”，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附加约束上的反

50、力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是加约束上的反力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是等效干扰力。等效干扰力。(10)单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念必须深刻理解、熟练掌握。必须深刻理解、熟练掌握。(11)利用使结构产生初位移或初速度来获得自由振动记利用使结构产生初位移或初速度来获得自由振动记录，从而可用式（录，从而可用式（8-

51、31a）由实测得到阻尼比。这是最常用由实测得到阻尼比。这是最常用方法之一。由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一方法之一。由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一般可忽略。般可忽略。(12)在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减少阻尼，看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减少阻尼，而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。8. 7 结论与讨论结论与讨论第58页/共67页(13)对于线性体系利用冲量叠加建立了对于线性体系利用冲量叠加建

52、立了Duhamel积分公积分公式，利用式，利用Duhamel积分可获得结构在各种动荷载作用下的解积分可获得结构在各种动荷载作用下的解析或数值响应。析或数值响应。(14)利用利用Fourier 级数展开，可将任意周期荷载变成常级数展开，可将任意周期荷载变成常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。量荷载和一系列简谐荷载的叠加。(15)对于各种短期荷载作用，可以不考虑阻尼的影响，对于各种短期荷载作用，可以不考虑阻尼的影响，关键是要分时段进行分析。关键是要分时段进行分析。(16)不管运动方程用那种方法建立，多自由度体系自由不管运动方程用那种方法建立，多自由度体系自由振动最终归结为求解频率和振型方程，从数学上说

53、属矩阵特振动最终归结为求解频率和振型方程，从数学上说属矩阵特征值问题。征值问题。(17)多自由度体系的自振频率取决于结构的刚度矩阵多自由度体系的自振频率取决于结构的刚度矩阵（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为： 02MK 或 M 0 I（21）8. 7 结论与讨论结论与讨论第59页/共67页(18)(18)一般工程结构作多自由度无阻尼自由振动分析时，一般工程结构作多自由度无阻尼自由振动分析时，其自振频率个数等于自由度数，且各不相等。其中最小频率其自振频率个数等于自由度数，且各不相等。其中最小频率称为基本频率，简称为称为基本频率，简称为基频基频。全部频率由小

54、到大排列的序列，。全部频率由小到大排列的序列，称为体系的称为体系的频率谱频率谱。如果相邻频率间隔较小，称为。如果相邻频率间隔较小，称为密集型频密集型频谱谱。否则，称为。否则，称为稀疏型频率稀疏型频率。不同频率谱的结构受动荷载作。不同频率谱的结构受动荷载作用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。(19)(19)将频率代入振型方程，可求得每一个自振频率对将频率代入振型方程，可求得每一个自振频率对应的应的振型向量振型向量，它反映了结构以该自振频率振动时所固有的，它反映了结构以该自振频率振动时所固有的变形形态。振型向量可用令向量中某个元素为一

55、给定值（一变形形态。振型向量可用令向量中某个元素为一给定值（一般取为般取为1 1）进行）进行规格化规格化。(20)(20)不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是都是正交正交的。的。8. 7 结论与讨论结论与讨论第60页/共67页阻尼是一个复杂的问题，为简化一般结构的动力分析，阻尼是一个复杂的问题，为简化一般结构的动力分析，常用常用RayleighRayleigh比例阻尼，也即阻尼矩阵比例阻尼，也即阻尼矩阵 ，显然，显然这时振型对阻尼也将是正交的。这时振型对阻尼也将是正交的。其中其中a、b由已知的任意两频率及对应的阻尼比确定，由已知的任意两频率及对应的阻尼比确定，对钢筋混凝土结构，一般假设第一和第二振型阻尼比都为对钢筋混凝土结构，一般假设第一和第二振型阻尼比都为0.050.05，由此可求得各振型的阻尼比。，由此可求得各振型的阻尼比。abCMK(21)(21)多自由度体系可产生多种频率下的共振。简谐荷多自由度体系可产生多种频率下的共振。简谐荷载作用下非共振的稳态位移响应，可通过求解如下幅值方程载作用下非共振的稳态位移响应，可通过求解如下幅值方程得到得到式中，式中， 为等效干扰力向量的幅值。实质为转换成线为等效干扰力向量的幅值。实质为转换成线性代数方程求解问题。性代数方程求解问题。E012)(FMKA； ttsin)(AY