第二讲证明不等式的基本方法(综合法与分析法)_第1页
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文档简介

1、第二讲证明不等式的基本方法(综合法与分析法) 证明不等式的基本方法 一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 作差法：a b a b 0,a b a b 0; a a 当b 0时,a b 1,a b 1; 作商法： b b 1、作差法作差变形 推断 (与？比较大小) 下结论 2、作商法作商 变形 判定 (与？比较大小) 下结论 例1、求证： x 3 3x2 例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b, 求 证 ： a m a b m b 例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b, 求 证 ： a b a b ab3 3 2 2 二、综合法

2、与分析法综合法 从已知条件动身,利用定义、定理、公理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合 法.由叫顺 推证法或由因导果法 则综合法用框图表示为:p q1q1 q 2q2 q3 qn q 问题： 已知a、b、c 0,且不全相等，求证 a(b + c )+ b(c + a )+ c(a + b ) 6abc2 2 2 2 2 2 问题： 已知a1 ,a 2 , a n r + ,且a1a 2 an = 1n 求证(1+ a1 )(1+ a 2 ) (1+ a n ) 2 利用综合法证明不等式 时, 应留意对已证 不等式的使用 , 常用的不等式有: (1)a 2

3、0; (2) a 0; (3)a 2 b 2 2ab; 它的变形形式又有 a b a b (a b) 4ab; 2 2 a b (4) ab; 它的变形形式又有 2 a b a b 2(ab 0); 2(ab 0) b a b a2 2 2 2 分析法 从要证的结论动身,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至所需条件为已知条件或一 个成立的事实(定义、公理、定理、性质或 以证明的命题)从而得出要证的命题成立,这 种证明方法叫做分析法. 特点：执果索因.用框图表示分析法的思索过程、特点.q p1p1 p2 p2 p3 得到一个明显 成立的结论 问题：求证 2 + 7 3 + 6 问题： a b +b c +c a 已知a、b、c 0,求证 abc a+b+c2 2 2 2 2 2 综合法已知条件 分析法待证结论 由 因 导 果 定义、公理、 定理性质 推理、论证 执 果 索 因 充分条件定义、公理、 定理、性质 命题成立 明显事实 分析法利于思索，综合法宜于表达， 两者“联袂”,效果尤佳. 例4 若a,b,c 为互不相等的正数 , 且 abc=1,求证: 1 1 1 a + b+ c + + a b c 例5 若a0,b0,且a+b=1,求证:1 1 a+ + b+ 2 2 2 例6、设实数x, y, m, n满意：x y 3,2 2 m n

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