2020年中考数学压轴题热点专练附解答：圆的有关位置关系

1、热点专题 圆的有关位置关系G、H四棵树中需要被移除的为（)【考点点与圆的位置关系【考点2】直线与圆的位賈关系【考点3】切线的判定与性质的应用【考点4】三角形的内切圆与切线长定理典例剖析【考点1】点与圆的位置关系【例1】（2018浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A .点在圆内B .点在圆上C .点在圆心上D .点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一 种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.【解答】用反证法证明时，假设结论点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆

2、上 故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系【变式1-1 （2016湖北中考真题）在公园的 O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正 方形为边长均相等），现计划修建一座以 O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则A . E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点E、F、G在圆内，点H在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017 山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取

3、的格点中除点A外恰好有3个在圆内，贝U r的取值范围为（）A . . J- 、- B.厂 一 C. J. - D. -【答案】B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示.AB一_ =. , AC=AD=估：卜丁： =J , AE=X .- = . , AFm- =J-,AG=AM=AN=-=5, ；-J时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内故选B.jQ HsBBlh IdalIB mi CiBinBiiOmiIIiBi Jam Mll daak dm ma E G IliMiilfltoii IliIriHHllIia ili BillliAiiQiMiilIIi

4、JlIIi Hli dnil* QIli Riiidviii IlIk>PII 'i UN* >iU !l >IIIIH >>>" III4PIll MIl 4<ill> lll Hjpi IiCJ'考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题.【考点2】直线与圆的位置关系【例2】（2018黑龙江中考真题）已知直线y=kx（ k00经过点（12,- 5）,将直线向上平移 m个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_【答案】OVm V 2【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式

5、，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直 角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答.【详解】把点（12, - 5）代入直线y=kx得，-5=12k, k= - A ；12由y= - x平移12设直线I与X轴、m （m>O）个单位后得到的直线 I所对应的函数关系式为5y=x+m (m >0),12y轴分别交于点A、B,（如图所示）当 x=0 时，y=m ;12当 y=0 时，X= m,5.AZ 12 A ( m, O),512即 OA= m, OB=m ,5B (O, m),在 Rt OAB 中，AB= . OA2 OB212 一 m5213m m，5过点O

6、作OD丄AB于D,c11-OA?OB ,22.1131 12 OD? m = × IT× m,252 512T m> 0,解得 OD= m,1312 13由直线与圆的位置关系可知12m V 6,解得mV ,13 213故答案为0<m V .m的式子表示出原点到平移后的直线的【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含 距离是解题的关键本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了【变式2-1】（2019 广东中考真题）平面内， O的半径为1,点P到O的距离为2 ,过点P可作 O的 切线条数为（）A . 0条B. 1条C . 2条D .无数条

7、【答案】C【解析】【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作O的切线条数即可解答.【详解】 解：因为点P到O的距离为2,大于半径1 ,所以点P在圆外, 所以，过点P可作 O的切线有2条;故选C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键【变式2-2】（2019 浙江中考真题）如图，Rt ABC中，C 90 , AC 12 ,点D在边BC上，CD 5 ,BD 13.点P是线段AD上一动点，当半径为 6的圆P与 ABC的一边相切时， AP的长为.【答案】或3 132【解析】【分析】根据勾股定理得到 AB122 182 6 13， AD AC2 CD2 13，当。P于BC相

8、切时，点P到BC的距离=6,过P作PH BC于H ,则PH=6 ,当 P于AB相切时，点P到AB的距离=6 ,根据相似三角形 的性质即可得到结论【详解】在 Rt ABC 中， C=90 , AC=12 , BD+CD=18 , AB 一 122 1826.13，在 Rt ADC 中， C=90 , AC=12 , CD=5 , AD.AC2 CD2 13,当 P于BC相切时，点 P到BC的距离=6,过P作PH丄BC于H ,贝V PH=6 , C=90 , AC 丄 BC , PH / AC , DPH DAC ,.PD PH =DA ACPD 61312 PD=6.5 , AP=6.5 ;当

9、P于AB相切时，点P到AB的距离=6,过P作PG丄AB于G,则 PG=6,. AD=BD=13 , PAG= B, AGP= C=90 , AGP BCA , AP = PGAB AC， AP 6"6.13 12， AP=3 .13 , CD=5 V 6,半径为6的 P不与 ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3、13 ,故答案为6.5或3、13 .【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键.【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】(2019湖北中考真题)如图， ABC中，AB AC ,以AC为直径的 O交BC于点

10、D ,点E1为C延长线上一点，且CDE BAC .2(1) 求证：DE是 O的切线；(2) 若 AB 3BD, CE 2 ,求 O 的半径.fC£【答案】（1）见解析；（2） 7【解析】ODE为直【分析】（1） 根据圆周角定理得出ADC 90o ,按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明角即可；（2）通过证得 CDE DAE ,根据相似三角形的性质即可求得【详解】ADC 90 ,AD BC,QAB AC,1CAD BAD BAC ,21Q CDE BAC 2CDE CAD,Q OA OD ,CAD ADO ,Q ADo ODC 90 ,ODC CDE 90QDF 90又Q OD是

11、 O的半径DE是 O的切线；(2) Q AB AC, AD BC ,BDCD ,Q AB3BD ,AC3DC ,设DCX ,则 AC 3x ,ADAC2 DC22、2x，Q CDE CAD, DEC AED,CDE DAE，CEDCDE2XDEDEADAE，即DE2、2x 3x 2DE4、2,X143AC3x 14, O的半径为7 .【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形.【变式3-1】（2019辽宁中考真题）如图，在 Rt ABC中， ACB = 90°点D在AB上，以AD为直径的

12、 O与边BC相切于点E,与边AC相交于点G,且= ,连接GO并延长交 O于点F ,连接AG EGBF .(1)求证： Ao = AG .BF是 O的切线.(2)若BD = 6,求图形中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析；见解析；(2) S阴影='6 .2【解析】【分析】(1) 先利用切线的性质判断出 ACB = OEB ,再用平行线结合弧相等判断出 AOG = AGO ,即可得 出结论；先判断出 AOG是等边三角形，进而得出 BOF = AOG = 60°进而判断出 EOB = 60°得出 OFB OEB ,得出 OFB = 90 °即可得出结论；(2)

13、 先判断出 ABC = 30° 进而得出 OB = 2BE ,建立方程 6+r = 2r ,继而求出 AG = 6, AB = 18, AC = 9,CG = 3,再判断出 OGE是等边三角形，得出 GE = OE = 6,进而利用根据勾股定理求出CE= 3.3 ,即可 得出结论.【详解】 OEB = 90°连接OE, ACB = 90° ACB = OEB , AC / OE ,. GoE = AGo ,.? = ?'AG = EG， AOG = GOE , AOG = AGO , AO =AG;由知，AO = AG ,.AO = OG, AO = OG

14、 = AG , AOG是等边三角形， AGO = AOG = A = 60 , BOF = AOG = 60°,由知， GOE = AOG = 60°, EOB = 180° - AOG - GOE = 180° - 60° - 60° = 60° ° FOB = EOB ,.OF = OE , OB = OB, OFB OEB (SAS), OFB = OEB = 90° ° OF 丄 BF ,.OF是 O的半径， BF是 O的切线；(2)如图2,连接GE ,A /XFS3. A = 60&#

15、176; ° ABC = 90° - A = 30° OB = 2BE,设O的半径为r, OB = OD+BD , 6+r= 2r, r = 6, AG = OA = 6, AB = 2r+BD = 18,.1 AC = AB = 9, CG = AC AG = 3,2由(1)知， EOB = 60° OG = OE, OGE是等边三角形， GE = OE = 6,根据勾股定理得，CE = , GE2 CG2. 62 32 3 3， S阴影=S梯形GCEO S扇形OGE =(6+3) ×33260 ?6360530度角的直角三角形的性质，等边三

16、角【点睛】O的半径是解本题的关键.此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出【变式3-2】(2019湖北中考真题)如图，在 RtVABC中，ACB= 90 , D为AB的中点，以CD为直径e O的分别交AC, BC于点E, F两点，过点F作FG AB于点G .1试判断FG与e的位置关系，并说明理由.2 若 AC= 3, CD=2.5,求 FG 的长.【答案】(1) FG与e O相切，理由见解析；(2) FG【解析】【分析】1如图，连接OF ,根据直角三角形的性质得到 CD=BD ,得到 DBC= DCB ,根

17、据等腰三角形的性 质得到 OFC= OCF ,得到 OFC= DBC ,推出 OFG=90 ,于是得到结论；2连接DF ,根据勾股定理得到 BCAB2 AC2 4，根据圆周角定理得到DFC=90，根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】(1)相FG与e O切，理由：如图，连接OF,Q ACB= 90 , D为AB的中点,CD= BD,DBC= DCB,Q OF= OC,OFC= OCF,OFC= DBC,OF/DB,OFG DGF =180 ,Q FG AB,DGF=90,OFG=90 ,FG与e O相切；2连接DF ,Q CD=2.5,AB=2CD=5,BC AB AC 4Q CD为eO的直

18、径,DFC=90 ,FD BC,Q DB= DC,BF-BC22ACQ SinABCABHn 3FG即一52，6FG5【点睛】FGFB本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是 解题的关键.【变式3-2】（2019甘肃中考真题）如图，在Rt ABC中，C= 90 ,以BC为直径的 O交AB于点D ,(2)若 AD=8, DE =5 ,求 BC 的长.15【答案】(1)见解析；(2) BC -2【解析】【分析】(1) 只要证明 A+ B=90 , ADE+ B=90即可解决问题；(2) 首先证明 AC=2DE=10 ,在 Rt ADC 中，DC=

19、6 ,设 BD=X ,在 Rt BDC 中，BC2=2+62,在 Rt ABC中，BC2=( +8) 2-102 ,可得x2+62= (x+8) 2-102 ,解方程即可解决问题.【详解】ODE=90，ADE BDO=90 ,Q ACB=90 ，A B=90，Q OD= OB ,B= BDO ,ADE= A (2)解：连接CD .Q ADE= A,AE= DE ,Q BC 是 O 的直径，ACB= 90 ,EC是 O的切线，ED= EC ,AE= EC ,Q DE = 5,AC=2DE =10 ,在 Rt ADC 中，DC =6 ,设 BD= X,在 Rt BDC 中，BC2= 2 62 ,在

20、 Rt ABC 中，BC2=( X 8)2T02 ,X262=( X 8)-102，9解得X -,22"9152 T【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】(2019江苏中考真题)如图， PA、PB是e O的切线，A、B为切点，点C、D在 O上.若 P【解析】【分析】1连接AB ,根据切线的性质得到 PA= PB,根据等腰三角形的性质得到 PAB = PBA = (180° -102° =239 °由圆内接四边形的性质得到 DAB

21、 + C= 180 °于是得到结论.【详解】解：连接AB , PA、PB是 Q的切线， PA = PB, P= 102°1 PAB = PBA = - (180° -102° = 39°2 DAB + C= 180° PAD + C = PAB + DAB + C= 180° + 39° = 219° , 故答案为：219°本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式4-1】（2019山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德

22、欧拉（Leonhard EUler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理：在 ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径， O和I分别为其外心和 内心，则 OI 2 R2 2Rr .如图1 , O和 I分别是 ABC的外接圆和内切圆， I与AB相切分于点F,设 O的半径为R, I 的半径为r ,外心O （三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I （三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI = d,则有 d2= R2 - 2Rr .下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交 O于点D,过点I作 O的直径 MN ,连接DM , AN. D=

23、N , DMI= NAI（同弧所对的圆周角相等 ）， MDIANI ,.IM IDIA IN ， IA ID IM IN ，如图2,在图1（隐去MD, AN）的基础上作 O的直径DE ,连接BE , BD , BI , IF ,DE 是 O 的直径， DBE=90 , I 与 AB 相切于点 F, AFI=90° , DBE= IFA , BAD= E（同弧所对圆周角相等）， AIFEDB ,IA IF-, IA BD DE IF ，DE BD任务：（1）观察发现：IM R d , IN （用含R , d的代数式表示）;请判断BD和ID的数量关系，并说明理由;请观察式子和式子， 并利

24、用任务 ，的结论，按照上面的证明思路， 完成该定理证明的剩余部分;应用：若 ABC的外接圆的半径为 5cm ,内切圆的半径为 2cm ,则 ABC的外心与内心之间的距离为cm.【答案】(1)R-d ； (2)BD=ID ,理由见解析； 见解析；乜.【解析】【分析】(1) 直接观察可得；(2) 由三角形内心的性质可得 BAD= CAD， CBI= ABI ,由圆周角定理可得 DBC= CAD ,再根据三角形外角的性质即可求得 BID= DBI ,继而可证得 BD=ID ； 应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可【详解】(1) TO、I、N三点共线， OI+IN = ON ,IN

25、 = ON- OI = R - d,故答案为：R - d ；(2)BD=ID ,理由如下：T点I是厶ABC的内心， BAD= CAD , CBI= ABI ,t DBC= CAD , BID= BAD+ ABI , DBI= DBC+ CBI , BID= DBI , BD=ID ； 由知：BD=ID ,又 IA ID IM IN , IA BD DE IF , DE-IF=IM -IN , 2Rr (R d)(R d), R2 d2 2Rr d2 R2 2Rr ;由知：d2 R2 2Rr ,把 R=5, r=2 代入得：d2 52 2 5 2 5 , d>0, d 、5 ,故答案为：.

26、5.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键【变式 4-2】(2018湖南中考真题)如图，在厶ABC中，AD是边BC上的中线， BAD= CAD ,CE / AD ,CE交BA的延长线于点 E, BC=8 , AD=3 .(1) 求CE的长；(2) 求证： ABC为等腰三角形.(3 )求厶ABC的外接圆圆心 P与内切圆圆心 Q之间的距离.5【答案】(1) CE=6 ； (2)证明见解析；(3) ABC的外接圆圆心 P与内切圆圆心 Q之间的距离为上.2【解析】【分析】(1) 证明AD

27、BCE的中位线得到 CE=2AD=6 ;(2) 过B点作AC的平行线，并与 AD的延长线交于点 F,证明 ACDFBD ,从而得到AC=BF , CAD= BFD ,再结合 BAD= CAD ,得到BA=BF ,等量代换后即可证得结论;(3)如图，连接 BP、BQ、CQ,先利用勾股定理计算出 AB=5 ,设 P的半径为R, Q的半径为r,在25744Rt PBD中利用勾股定理得到 (R-3) 2+42=R2,解得R= ,则PD=,再利用面积法求出 r=,即QD=,6633然后计算PD+QD即可.【详解】(1) 解：r AD是边BC上的中线， BD=CD , CE / AD , AD BCE的中

28、位线， CE=2AD=6 ;(2) 证明：过B点作AC的平行线，并与 AD的延长线交于点 F,贝V ACD= FBD, ADC= FDB ,又 r BD=CD , ACD FBD , AC=BF , CAD= BFD ,又 r BAD= CAD , BAD= BFD , BA=BF, AB=AC,(3)如图，连接 BP、BQ、CQ ,设 P的半径为R, Q的半径为r,在 Rt PBD 中，(R-3) 2+42=R2,解得 PD=PA-AD= 25-3=-,6 6 SaABQ+S BCQ+SaACQ=S ABC ,.1111 × ×+ × ×+ ×

29、; ×= ×3 ×J ,解得22224即 QD= _ ,34r=,3 PQ=PD+QD=答： ABC的外接圆圆心 P与内切圆圆心5Q之间的距离为-2点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆【变式4-3】（2019湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为 A、B, PO交AB于点C,A . PA = PBF列结论不一定成立的是（B. BPD = APD C . AB 丄 PDD. AB平分PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理

30、得到 PA = PB, APD = BPD ；再根据等腰三角形的性质得 OP丄AB ,根据菱形的性质, 只有当AD / PB, BD / PA时，AB平分PD,由此可判断 D不一定成立.【详解】 PA, PB是 O的切线， PA = PB,所以A成立； BPD = APD ,所以B成立； AB丄PD ,所以C成立； PA, PB是 O的切线， AB 丄 PD ,且 AC = BC ,只有当AD / PB, BD / PA时，AB平分PD,所以D不一定成立，故选D.【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键压轴精练、单选题1 . （ 2019浙江中考

31、真题）如图，等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边 AB ,3【答案】A【解析】【分析】连接Ao , OE ,根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解【详解】设eO与AC的切点为E，连接AO，OE ,等边三角形ABC的边长为8, AC 8, C BAC 60 ,圆分别与边 AB , AC相切，1BAO CAO 丄 BAC 30 ,2 AOC 90 ,1 OC -AC 4,2 OE AC , OE 3OC 2 3 ,2 eO的半径为2 3 ,C此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解2.（ 2019黑龙江中考真题）如图，PA.P

32、B分别与eO相切于A. B两点，点C为e O上一点，连接AC .BC ,若 P 50 ,贝U ACB的度数为（）A . 60 ；【答案】DB. 75 ;C. 70 ;D. 65【解析】【解析】【分析】AOB的度数，根据圆连接OAOB ,由切线的性质可知 OAP OBP 90 ,由四边形内角和可求出周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知ACB的度数.【详解】解：连接OAOB , PA . PB分别与e O相切于A.B两点， OA PA , OB PB , OAP OBP 90 , AOB 180 P 18050130 ,1 1 ACB 丄 AOB 丄 13065 .2 2O

33、于点 A ,若 A=25° ,本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键3. （ 2019辽宁中考真题）如图，CB为 O的切线，点B为切点，CO的延长线交O30 °【答案】DC. 35 °D. 40【分析】 连接OB , CB与 O相切于点B ,得到 OBC=90 ,根据条件得到 CoB的度数，然后用三角形内角和求 出 C的度数即可.【详解】 A= OBA , A=25 , COB= A+ OBA=2 A=2× 25° =50° , AB与O相切于点B, OBC=90 , C=90 - BOC=9

34、0 -50 °=40° .故选：D.【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出 COB的度数，然后在三角形中求出 C的度数.正确作出辅助线是解题的关键.4. （2019江苏中考真题）如图，AB为e O的切线，切点为 A ,连接AO、BO , BO与e O交于点C,延长BO与e O交于点D ,连接AD ,若 ABO 36° ,则ADC的度数为（）A . 54°B. 36°C. 32°D. 27°【答案】D【解析】【分析】ADC110 ,A. 55B. 60【答案】A【解析】【分析】C. 65D. 70连接AC,根

35、据圆内接四边形的性质求出 DAB ,根据圆周角定理求出 ACB、 CAB ,计算即可.【详解】由切线性质得到 AoB ,再由等腰三角形性质得到OADODA ,然后用三角形外角性质得出【详解】切线性质得到BAO 90°AOB 90°36°54°QOD OA OAD ODAQ AOB OAD ODAADC ADO 27°故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键5.（2019江苏中考真题）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC CB 若 C则 ABC的度数等于（）四边形ABCD是半圆的内接四

36、边形, DAB=180 - C=70 ,V DC CB，1 CAB= DAB=35 ,2V AB是直径， ACB=90 , ABC=90 - CAB=55 ,故选A.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.6. （ 2019浙江中考真题）如图，已知 O上三点A , B, C,半径 0C=1 , ABC=30° ,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为（）【答案】BC. 2【解析】【分析】 连接OA ,由圆周角定理可求出 AOC=60 ,再根据 AOC的正切即可求出 PA的值.【详解】连接OA ,v ABC=30 , AOC=60

37、,V PA是圆的切线， PAO=90 ,PAV tan AOC =SOA , PA= tan60 ° ×=亦.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出题的关键7.（ 2019湖南中考真题）如图，边长为 2 3的等边 ABC的内切圆的半径为（） AOC=60是解答本A . 1B.3C. 2D. 2、3【答案】A【解析】AO平分 BAC ,再,然后利用正切的定【分析】连接AO、CO, CO的延长线交AB于H,如图，禾U用内心的性质得 CH平分 BCA ,1根据等边三角形的性质得 CAB=60 , CH丄AB ,则 OAH=30

38、, AH=BH= AB=32义计算出OH即可.【详解】设 ABC的内心为O,连接AO、BO , CO的延长线交AB于H ,如图， ABC为等边三角形， CH平分 BCA, AO平分 BAC , I ABC为等边三角形， CAB60 ,CHAB , OAH30 ,AHBH1 -AB23,在 Rt AoH中， tanOAHOHtan30AHA OH -33 1,3即 ABC内切圆的半径为1.本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点 的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质.8.（2019山东中考真题）如图,0的直径AB=2,点D在AB的延长线上

39、，DC与O相切于点C,连接AC.若 A=30 °B.【答案】D【解析】 【分析】先连接BC, OC,由于AB是直径，可知 BCA=90 ,而 A=30° ,易求 CBA ,又DC是切线，利用弦切 角定理可知 DCB= A=30° ,再利用三角形外角性质可求 D,再由切线的性质可得 BCD= A=30° , OCD=90 ,易得OD ,由勾股定理可得 CD .【详解】 如图所示，连接 BC, OC, BCA=90 ,又 A=30 , CBA=90 -30 ° =60°,DC是切线， BCD= A=30 , OCD=90 , D= CBA

40、- BCD=60 -30 ° =30°, AB=2 , OC=I , OD=2 , CD= . OD2 OC222 I23，故选D.【点睛】考核知识点：切线性质定理作好辅助线是关键9. （ 2019重庆中考真题）如图， AB是 O的直径，AC是 O的切线，A为切点，若 C 40 ,则DB的【答案】BC. 40D. 30【解析】【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求 ABC = 50°【详解】解：I AC是 O的切线， AB AC ,且 C 40 , ABC 50，故选：B.【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键

41、.10. （2019云南中考真题）如图， ABC的内切圆 O与BC、CA、AB分别相切于点 D、E、F ,且AB=5, BC = 13, CA = 12,则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A . 4B. 6.25C. 7.5D. 9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断 ABC为直角三角形，且 BAC=90 ,继而证明四边形 AEOF为正方形，设 O的半 径为r,利用面积法求出r的值即可求得答案【详解】 AB=5 , BC=13 , CA=12 , AB 2+AC 2=BC2, ABC为直角三角形，且 BAC=90 , O ABC 内切圆， AFO= AEO=90 ,且 AE=A

42、F ,四边形AEOF为正方形，设 O的半径为r, OE=OF=r, S 四边形 Aeof =r2,连接 AO, BO, CO,° SaABC =S AOB +s AOC +s BOC,1 1（AB AC BC）r -AB AC ,2 2 r=2 , S 四边形 AEOF=r2=4,故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键如图，AD是圆O的直径,BC是弦，四边形OBCD是平行四边形,AC 与 OB11. （2019湖北中考真题）2OPC. OB ACD. AC平分OB【答案】A【解析】【分析】 利用圆周角定理得

43、到 ACD = 90°再根据平行四边形的性质得到 CD / OB , CD = 0B ,则可求出 A = 30° 在Rt AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系，可对 A选项进行判断；利用 OP/ CD , CD丄AC可 对C选项进行判断；利用垂径可判断 OP ACD的中位线，则CD = 20P ,原式可対B选项进行判断；同 时得到OB = 2OP,则可对D选项进行判断【详解】 解： AD为直径,ACD 90o,四边形OBCD为平行四边形, CD/OB , CD OB ,在 Rt ACD 中，Sin ACDADA 30o，在 Rt AOP 中，AP3OP ,所以A选项的

44、结论错误; OP/CD , CD AC , OP AC ,所以C选项的结论正确; AP CP , OP为ACD的中位线， CD 2OP ,所以B选项的结论正确； OB 2OP, AC平分OB ,所以D选项的结论正确.故选：A.【点睛】 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理和平行四边 形的性质12. （2019甘肃中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，e O经过点A、C、D ,与BC相交于点E ,连接AC、AE .若D 80 ,则EAC的度数为

45、（A. 20B. 25C. 30°D. 35【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质求出 ACB=50 ,由边形 AECD是圆内接四边形可求出 AEB=80 ,然后利用三角形外角的性质即可求出 EAC的度数.【详解】四边形ABCD是菱形，D 80 ,11 ACB DCB 180 D 50 ,22四边形AECD是圆内接四边形， AEBD 80 , EACAEB ACE 30 ,故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质圆内接四边形的性： 圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于它的内对角，圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积13. （201

46、9四川中考真题）如图，等腰ABC的内切圆 O与AB , BC , CA分别相切于点 D , E , F ,则DE的长是（A .迈103、55655【答案】D【解析】【分析】如图，连接OA、OE、OB , OB交DE于H ,先证明点A、O、E共线，即AEBC ,从而可得BE CE 3 ,在Rt ABE中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长,设 O的半径为r ,则OD OE r , AO 4 r ,在Rt AOD中，利用勾股定理求得3',在Rt BOE中，求得OB= 3卫，再证明OB垂直平分DE ,22利用面积法可得1HE OB2-OE BE,求得HE长即可求得

47、答案2【详解】连接OA、OE、OB , OB交DE于H ,如图，Q等腰 ABC的内切圆O O与AB , BC , CA分别相切于点 D , E , FOA 平分 BAC , OEBC ,OD AB, BE BD ,Q ABAC ,AOBC ,点A、O、E共线，即AEBC ,BECE 3,在RtABE 中，AE 、52324,Q BDBE 3,AD2 ,设O O的半径为r=则ODOEr , AO 4 r ,在RtAOD 中，r2 22(4 r)23,解得r2在RtBOE 中，QB 、 32(3 )2= 35 一 ?V22Q BEBD , OE=QD ,OB垂直平分DE ,DHEH,OBDE ,1

48、Q丄HEQB-Ql BE22O 3HEOEBE3 23 ”5OB3“55 ,DE 2EH M ,本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键 14.（2019广西中考真题）如图，在 ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的e O与AC相切于点D , BD平分 ABC , AD 3OD , AB 12, CD的长是（）A . 2 .3B. 2C. 3、3D. 4.3【答案】A【解析】【分析】由切线的性质得出 AC OD,求出 A= 30 ,证出 ODB= CBD ,得出OD/BC ,得出C= ADO= 90

49、 ,由直角三角形的性质得出ABC = 60 , BC= -AB= 6, AC= 3bC=6-.3 ,得出2CBD=30 ,再由直角三角形的性质即可得出结果.【详解】 解：eO与AC相切于点D,AC OD,ADO = 90 ,Q AD= 3OD,tanA= OD =2AD 3A= 30 ,Q BD平分ABC,OBD =CBD,Q OB= OD,OBD =ODB,ODB =CBD,OD /BC,C= ADO= 90 ,ABC=60 , BC= 1AB=6, AC= . 3BC = 6.3, 2CBD = 30 ,CD=-BC=乜 6= 2.3；33【点睛】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD/BC是解题的关键.15. （2019湖北中考真题）如图，AB是e的直径，M、N是弧AB （异于A、B ）上两点，C是弧MN上一动点,ACB的角平分线交eO于点D ,BAC的平分线交CD于点E .当点C从点M运动到点N时，贝U C、E两点的运动路径长的比是（）A.2B. 2【答案】A【解析】【分析