第一章希尔伯特空间

1、第一章 希尔伯特空间 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 高等量子力学主讲人：顾运厅参考教材：高等量子力学(其次版),喀兴林，高等训练出版社 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 第一章 希尔伯特空间本章争论量子力学的主要数学工具希尔伯特空间，即 满意肯定要求的多维矢量空间。 主要内容： 1 矢量空间 2 算符 3 本征矢量和本征值 4 表象理论 5 矢量空间的直和与直积 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 1 矢量空间主要内容：1-1 定义 1-2 正交性和模 1-3 基矢 1-4 子空间 1-5 右矢和左矢 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 1-1 矢量空间的定义我们争论的对象是很广泛的，

2、可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的很多数学对象满意下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。 我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 , , ,. ,在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规章，使得集合中任意给定两个矢 量 和 ,总有一个确定的矢量 与之对应，记成 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 加法规章视不同对象可以不同，但肯定要满意下列四个条件：条件(1) (交换律) 条件(2) ( )

3、( ) (结合律) 条件(3)集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满意 (加法单位元存在) 条件(4)对集合中任意矢量 ,都有矢量 存在，满意 (加法逆元存在) 我们把满意条件(4)的 记为同时把 ( ) 记为 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 数乘 集合内任意一矢量可以与数(实数或复数)相乘， 得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规章， 使任意矢量 和一个数 a,在集合内总有一个矢量 与之对应，记为 a a 称为 与 的乘积。 数乘要满意下列四个条件：条件(5) 1 : 条件(6) ( a)b (ab) : (结合律) 条件(7) (a b) a b : (第一安排律) 条件(8) ( )a

4、 a a : (其次安排律) 是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； 是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 内积 两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规章， 按肯定次序任取两个矢量 与 ,总有一个数 c 与之相对应，记作 ( , ) c在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数(复数)。内积与两个因子的次序有关，内积规章要满意 下列四个条件：条件(9) ( , ) ( , )* : ( c * 表示 c 的复共轭)(安排律) 条件(10)( , )=( , )+ ( , ) :条件(11) , , : ( , ) * ( , )

5、 条件(12) ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0 ,则必有 ： 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 具有加法与数乘两种运算并满意条件(1)(8)的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间， 而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。 在本章中， 矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。 空间的完全性的意义为空间中任何在 cauchy 意义下 收敛的序列 1 , 2 , 3 ,. 的极限也必需在本空间中。 cauchy 意义下收敛的意思是：对给定任意小的实数 0 ,有数 n 存在，当 m,nn 时，有 ( m n , m n) 在量子力学中所用到的

6、空间，就是复数域上的希尔伯特空间。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 下面我们举出矢量空间的一些简洁性质。 (1)在矢量空间中，零矢量是唯一的。 证明： 设在空间中有 1 和 2 ,对全部矢量 都满意 1 , 2 取第一式的 为 2 ,其次式中的 为 1 ,分别得 2 1 2 , 1 2 1于是，依据条件(1) , 2 2 1 1 2 1即 1 2 ,只有唯一的零矢量。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 (2)每个矢量的逆元是唯一的。 证明： 若 1 , 2 都是 的逆元，即 1 , 2 于是 1 1 1 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2证明白 1 2 ,即逆元是唯一的。

7、在上式中，第一步依据 条件(3) ,第三步依据条件(1) 。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 (3) 0 (4) ( 1) (5) (6)假如 ,那么 0 或者 证明： 0 时上式明显成立；当 0 时，必有 1 1 / 存 在。我们计算 ( ) 1 ,一方面依据(5) ,( ) 1 1 另一方面依据条件(6)和(5) ,有( ) 1 ( 1 ) 1 二式结合，证明白当 0 时， 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 (7) ( , ) * ( , ) (8) ( , ) ( , ) ( , ) (9) ( , ) 0 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 下面，争论几个矢量空间的例子。 第一个

8、例子 取数学对象为全部正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所 有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最终规定内积 为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢 量空间。由于有理数相加和相乘所得的 都是有理数， 这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。值得留意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间 之外。例如取以下序列：n 1 1 1 1 s0 1, s1 1 , s2 1 ,., sn 1! 1! 2! i 0 si ! 这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当n 的极限是 e=2.7182818,这是一个无理数，不在有理数空间中。 高等量子力学 第一章 希

9、尔伯特空间 其次个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引 出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢量全体。规定加法听从平行四边形法则；数乘 中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘以a;内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的 内积空间。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵： l1 l2 l l 3 l 4 加法，数乘和内积的定义分别为 l1 m1 l2 m2 l m l 3 m3 l m 4 4 l1 l 2 l l 3 l 4 * * * (l , m) l1* m1 l 2 m2 l3

10、 m3 l 4 m4 这是一个复数域上的内积空间。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 第四个例子 数学对象为在 a x b 区间定义的实变 量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可 积的。 所谓 “行为较好” 是指满意肯定数学要求， 如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去具体争论。规定加法 和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f (x) 和 g (x) 的内积为 f ( x), g ( x) ab f * ( x) g ( x)dx 这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是 b a f * ( x) f ( x)dx 高等量子力学 第一章 希尔

11、伯特空间 1-2 正交性和模假如两个矢量 和 的内积为零，即 , ) 0 ,我 ( 们说这两个矢量正交。矢量同它自己的内积 , ) 是一个大于零的实数， ( 称为矢量 的模方，记作( , ) 2 模方的正平方根称为模， 记作 , 又可称为矢量 的长度。 模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。下面我们证明两个与模有关的基本关系。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 schwartz不等式： 对于任意矢量 和 有( , ) (1.1) 证明： 给定 和 后，构造一个矢量 , ( , ) 2 作 的模方，它肯定大于或等于零：2 ( , ) * ( , ) * * ) ) ( , ) , ( ( , )

12、 ( , ( ,( , ) 0 , ) , ), 2 )2 ( , ) ( ( ( 2 2 2 2 * * * ( , )( 2 ( , ) , ( ( 1 ) ( , )( , ) , ) , * , ) ) , ) 2 ( ) 0 , ) , 2 , ) , ) 22 ( , ) ( ( ( , ) ( 0 ( ( , ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 , ) 2( , ) ( 2 由于 0 ,所以有 ( , ) 2 2 2 即 ( , ) 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 三角形不等式： 对于任意 和 ,有 (1.2) 证明：由于对任意复数 a 有 r

13、e a a ,取 的模方，利 用此关系和 schwartz 不等式，有( , ) re(, , 2 ( , ) 2 ( , ) ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 re( , ) 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 于是得 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 1-3 基矢1. 线性无关 矢量空间中有限个(n 个)矢量的集合 i ,若下式 ai 1 i n i 0 (1.3) 只有当全部复数 ai (i 1,2,3,., n) 都为零时才成立， 则这 n 个 矢量 i 是线性无关的。对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在 无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的， 则整个集合就是线性无关的。 高等量子力学 第一章 希尔伯特空间 完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性 无关的矢量集合 i ,这个空间中的每个矢量都能表为完 全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成 ai i