2020年赤峰市高三数学上期中模拟试题(带答案)

1、2020年赤峰市高三数学上期中模拟试题（带答案）一、选择题n 11.已知等比数列 an的前n项和为Sn ,且满足2Sn 2,则 的值是（）D.4A. 4B. 2C.2x 3y 3,2.设x, y满足约束条件x y 1,则z=x+y的最大值为(y 0,A. 0B. 1C. 2D. 33. ,3 a a 66 a 3的最大值为()A. 9B. -C. 32D.3.224.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得/ ABC=120 ,则A、C两地的距离为 （）A. 10 kmB. 3 kmC. 10.5 kmD. 107 kmx5.设z x y,其中实数x、y满足x02

2、y 0y 0 ,若z的最大值为6, z的最小值为（y kA. 0B. -1C. -2D. -36.中华人民共和国国歌有 84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式, 旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和30。，第一排和最后一排的距离为 10/2米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速7.等比数列anC.齿23D.8 323A. ±41中，科 ,q 2 ,则a4与a8的等比中项是（ 8B. 4D.8.当x1,2时，不等式x2 mx 2 0恒成立，则

3、m的取值范围是A.3,B.2.2,C.3,D.2、29.12,A.3xxx, y满足约束条件x，若目标函数z ax by(a 0,b0）的最大值为一 2 3则一的取小值为（a b25B.25610.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为C.25TD.a,b,c, S表示VABC的面积，若ccosB bcosCA. 90asinA, s m b2 a2 c2 ,贝Ub4B. 60C. 45D. 3011.已知等比数列等于（）an的前n项和为Sn, a1 1,且满足a,5 2,&1成等差数列，则a3A.B.1C, 1D 24412.如果等差数列an 中，a3 + a4 + a5 =12,

4、那么 a + a2+a7=()A. 14二、填空题B. 21C. 28D. 3513 .设等差数列 an的前n项和为Sn, Sm1m 2 ,则 m .14 .若直线y 2x上存在点（x,y）满足约束条件2, Sm 0, Sm1 3.其中 m N*且x y 3 0x 2y 3 0,则实数m的取值范围为x m15 .已知数列 an是等差数列，若a4 a7日。17,a4a5a6La.a13a1477 ,且ak13,则 k .16 .某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产 A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁 费为

5、200元，设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产品 140件，所需租赁费最少为 元.17 .如图所示，在平面四边形 ABCD中，ab J2 , BC 、/3 , AB AD ,AC CD , AD 3AC ,则 AC 18.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a,b,c成等比数列，且ac bc,贝U 的值为 bsin B19.在4ABC 中,BC 2,AC .7, B一,则 AB 3;4ABC的面积是20.已知数列an的通项an则其前15项的和等于解答题21.已知等差数列an 满足 aa3a§9a2 a4 a6 12,等比数列 bn

6、公比(1)求数列b4a20 , b3a8 .anbn的通项公式;(2)若数列,满足cn4nbn ,且数列bcn的前n项和为Bn,求证：数列的Bn前n项和Tn22 .如图，游客从某旅游景区的景点 A处下上至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行 到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游 客从A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50m/min .在甲出发2min后，乙从A乘缆 车到B ,在B处停留1min后，再从b匀速步行到C ,假设缆车匀速直线运动的速度为12,cosC130m/min ,山路 AC 长为 1260 m ，经测重 cos A 一13

7、(2)(3) 内？问：乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3min ,乙步行的速度应控制在什么范围23.已知an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数歹U, + b3= a3+ a4.且b1=a1=1, b3=a4, b1+b2(1)求数列an, bn的通项公式；(2)设cn=anbn,求数列Cn的前n项和Tn.24 .在 VABC 中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,且 J3acosC2b J3c cosA(I )求角A的大小；(n )若a 2,求VABC面积的最大值. 2一_*_ _25 .已知数列 an的刖n项和Snp

8、nqn p,q R,nN，且4 3,S424.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn 2an ,求数列bn的前n项和Tn .2126.数列an中，a11 ,当n 2时，其前n项和Sn满足02an(Sn-).2(1)求Sn的表达式；S(2)设bn =,求数列bn的前n项和Tn .2n 1【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. C解析：C【解析】【分析】利用Sn先求出an ,然后计算出结果.【详解】4根据题意，当n 1时，2sl 2al 4, a1 -,2故当 n 2 时，an Sn Sn 1 2n 1,Q数列an是等比数列，贝U a11,故4 1,2解得 2,故选C.【点睛】本

9、题主要考查了等比数列前 n项和&的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.2. D解析：D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数 z x y经过A(3,0)时z取得最大值，故Zmax 3 0 3 ,故选 D.点睛：本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应 的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是 求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图 形确定目标函数的最值取法或值域范围.3. B解析：B【解析】根据3 a a 69是常数，可利用用均值不等式来求最大值因

10、为6 a 3, 所以3 a 0,a由均值不等式可得:(3 a)(a6)当且仅当3'时，等号成立,2故选B.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题4. D解析：D【解析】 直接利用余弦定理求出 A, C两地的距离即可.【详解】因为A, B两地的距离为10km, B, C两地的距离为20km,现测得/ ABC=120°,则 A, C 两地的距离为： AC2= AB2+CB2 - 2AB?BCcosZ ABC = 102+202-“12 10 20700.2所以 AC = 10 7J km.故选D.【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力.5. D解析：D【解析】作出

11、不等式对应的平面区域，由 z=x+y,得 y=-x+z,平移直线y=-x+z ,由图象可知当直线 y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大, 此时z最大为6.即x+y=6.经过点B时，直线y=-x+z的截距最小，此时 z最小.x y 6由' 得 A(3,3), x y 0;直线y=k过A , /. k=3.工y k 3由，解得 B(-6,3).x 2y 0此时z的最小值为z=-6+3=-3 ,本题选择D选项.点睛：求二元一次函数 z= ax+by(abw0的最值，将函数 z= ax+by转化为直线的斜截式:y x ,通过求直线的截距 -的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边

12、界取a bb得.6. B解析：B【解析】【分析】如解析中图形，可在HAB中，利用正弦定理求出 HB,然后在Rt HBO中求出直角边HO即旗杆的高度，最后可得速度.【详解】如图，由题意 HAB 45 , HBA 105，.一 AHB 30 ,在HAB中,HBABsin HAB sin AHB,即sin 4510点,HB 20. sin 30ii旗杆OH HBsin HBO20sin 6010&,v必1 5il （米/秒）.4623故选B .【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用 恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件.7. A解析：A【解析

13、】【分析】利用等比数列 an的性质可得a2=a4a8 ,即可得出.【详解】设a4与a8的等比中项是x .由等比数列 an的性质可得a；=a4a8,x a6 .15. a4与a8的等比中项xa6- 24.8故选A .【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题.8. D解析：D【解析】22.x 取得最大值2J2,m2J2 , m的取由x 1,2时，x2 mx 2 0恒成立得m x 一对任息x 1,2恒成立，即 x2- -一m x - ,Q当x/时, xmax值范围是2J2,，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理

14、解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正 是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定 和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否 在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立).9. A解析：A【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数z ax by(a 0,b 0)何时取最大1 23八器严3b)，化2值，进而找到a, b之间的关系式2a 3b 6,然后可得2 a不等式组表示的平面区域如图，由简变形用基本不等式即可求解。3x y 6 0一得点B坐标为x y 2 0B (4,6).由图可知当直线 z ax

15、by经过点B (4,6)时，Z取最大值。因为目标函数z ax by (a 0,b 0)的最大值为 12,所以 4a 6b 12,即 2a 3b 6,231 23小1 6a6b、1 /1O o 6a6b、25所以一1-(-)(2a3b) -(13 )-(13 2J-)不。a b 6 a b6 b a 61 b a 66a 6b, ,一 6当且仅当ba即a b 一时，上式取“二”号。52a 3b 65所以当a b 6时，？。取最小值空。5 a b6故选A。【点睛】 利用基本不等式a b 2,0b可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等"。当a, b都取正值时，（1）若和a b取定值，

16、则积ab有最大值；（2）若积ab取定值时, 则和a b有最小值。10. D解析：D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=1,即A = 900,由余弦定理、三角形面积公式可求 角C,从而得到B的值.【详解】由正弦定理及 ccosB bcosC asinA,得sinCcosB sinBcosC sin2A,2sin C B sin A sinA 1,因为 00 A 180°,所以 A 90°由余弦定理、三角形面积公式及 s Y3 b2 a2 c2,得1 absinC 巫2abcosC ,424整理得 tanC B 又 00 C 900，所以

17、C 600，故 B 300.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题.11. C解析：C【解析】试题分析：由Sn,Sn 2,Sn 1成等差数列可得，Sn 2 & Sn 1 Sn 2 ,即1 1.an 1 an 2an 2 ,也就TE an 2- Hn 1 ,所以等比数列 Hn的公比q 一 ,从而2221、21a3 aq1 （ 一） 一，故选 C.24考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n项和.12. C解析：C【解析】试题分析：等差数列an中，a3a4a5123a412a44,则7

18、a a77 2a4a a? L a77a4 2822考点：等差数列的前 n项和二、填空题13. 5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】 因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活 运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项 解析：5【解析】【分析】设等差数列的Sn An(n m),再由Sm12, Sm 1 3 ,列出关于m的方程组，从而得到m .【详解】因为Sm 0,所以设Sn An(n m),因为 Sm 12 , Sm 1 3,A(m 1) ( 1) 2, m 1 2二m 5.A(m 1) 1 3, m 1 3故答案

19、为：5.【点睛】本题考查等差数列前 n项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要 充分利用等差数列的前前 n项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减 少.14.【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约 束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划解析：(，1【解析】y 2x试题分析：由题意，由,可求得交点坐标为(1,2),要使直线y 2x上存在x y 3 0x y 3 0,点(x, y)满足约束条件x 2y 3 0,如图所示，可得 m 1,则实数m的取值范围x m,(,1.A二加-3考点：线性规划.15. 18【解析】观察下标发现47

20、10成等差数列所以同理解析：18【解析】a4a7 a1o 17 ,观察下标发现4, 7, 10成等差数列，所以3a7 a4a7 a1017 ,17a7同理11a93,2.dak a9 13316. 2300【解析】a4a57 66【分析】a63【详解】a12 ai3a1477 ,a97k 9 9 18设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产 AB两类产品的情况为下表所示：产品设备A类产品（件）（50 B类产品（件）（140解析：2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产 上天，乙种设备需要生产J'天，该公司所需租赁费为h元，则z 200x 3

21、00y ,甲、乙两种设备生产 A,B两类产品的情况为下表所示产品 设备A类产品（件）（50B类产品（件）（140租赁费（元）甲设备510200乙设备6203006y50x65y2y1020y140 即： x14 ,0,y00.y0xx5x则满足的关系为10x作出不等式表示的平面区域/ 叼*妖03»”四6 5y2y10-,一的交点(4,5)时，目标函数14在ABC中，由余弦定理cos BACAB2 AC2 BC22AB ACx2 12、，2x '由于 BAC CAD -,所以cosBAC sin CAD ,x当z 200x 300y对应的直线过两直线xz 200x 300y取得

22、最低为2300元.17. 3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理 得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角解析：3【解析】分析：详解：设 AC x,AD 3x,在直角 ACD中，得CD JAD2 AC2 2J2x，所以sin CAD 型 巫 ,AD 30,解得x 3.Rn x2 12,2/口2即广一,整理信3x 8x 32.2x 3点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或

23、边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理； 以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18.【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定 理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】二成等比数列.又二二在中由余 弦定理因.由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题解析：211利用a,b,c成等比数列得到c2 b2 a2 bc ,再利用余弦定理可得A 60 ,而根据正弦c 1定理和a,b,c成等比数列有 ，从而得到所求之值bsin B sin A【详解】 a, b,c 成等比数列，. b2 ac.又a2 c22

24、.22在 ABC中，由余弦定理cos A c-b2bcac bc, 1- c2 b2 a2 bc.12因 A 0, A 60由正弦定理得cbsin BsinC sin Csin Bsin B sin2 B '因为 b2ac ,所以 sin2 B sin Asin C ,故 sin C sin C 12、3sin2 B sin Asin C sin A 3故答案为在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件， 如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理 化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系

25、式转化为角 的关系式或边的关系式.19.解析:【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式3.32【解析】试题分析：由余弦定理得 AC2AB2 BC2 2AB BCcos60°,即217 AB 4 2AB 2 ,得 AB2 2AB 3 0, AB 汕 1(舍)， 2S 1AB BCsin 600 1 3 2 -3 3-3.2222考点：余弦定理，三角形面积公式 .20.【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解

26、析：3【解析】【分析】将1一尸通过分母有理化，化简得出加，再利用裂项相消法求出前,n 1 .n15项的和.【详解】1. n 1 n -利用分母有理化得an -j=一尸 一-一；= Vnl Jn, ,n 1- n % n 1. n Y n 1 n设数列an的前n项的和为Sn,所以前15项的和为：SI5 a1 a2 L a15、5 1.3、5 L 15.141615,16 14 1 3即：§53.故答案为：3.【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21. (1) an n, bn 2n； (2)证明见解析【解析】 【分析】(

27、1)设等差数列an的公差为d ,由等差中项的性质可得出a3 3,可计算出a1和da4 4的值，利用等差数列的通项公式可求出an,根据题意得出n与q的方程组，结合条件q 1 ,求出bi和q的值，利用等比数列的通项公式可求出bn ；(2)利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出Bn2n 12 2n 1 1,可得出殳3Bn 2 2n【详解】12n 1 1,然后利用裂项法可求出Tn,3即可证明出Tn一2(1) Qai由等差中项的性质得3a39,a33,同理可得a4设等差数列an的公差为da4 a31,a1a3 2d 31,由题意得b2b4b1q 12q25q1,解得(2)QCn4nQ Bn41bnBn

28、Tnb1q20.212n 1bn4n2nb12,4n2n,2_ 242 22212n 12n 122n 1 13n 1n .21212n2n 12220,两个等式相除得n 1因此，bn bq4n 2n2n2n 11 2n2n33 2n2 2n 12n12n 12n122 1122 1123 112n 14n 1432n1 2n 112n 1 12n132n 1 12【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解, 分组求和法，考查计算能力，属于中等题 .数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与_351250 625、，、22. (1) AB=1040m (2) 35 (3)乌50 625(单位：

29、m/min)3743 14(1)在ABC中，因为123cos A , cosC 一 , 135所以sin A5.,sin C13从而sin B sin(AC)sin( AC) sinAcosC sinCcosA 2 3 卫 f 竺13 5 13 5 65由正弦定理ABsin CACsin B至 sinC sin B(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为 d ,离 A 处 130t m ,所以由余弦定理得1260"IF6545 1040 (m) .甲行走了 (100 50t)m ,乙距d222_(100 50t)(130t)2 130t (100 50t)1213200(37t

30、2 70t 50),由于故当t 竺min37时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BCsin AACsin BAC/日BC信 sin Bsin A12605乙从B出发时,甲已走了63655013(2 8设乙步行的速度为 vm/ min ,500(m) .1)由题意得550 (m),还需走710m才能到达C . 500 7103 一v所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过50咫 /口 12506253 ,解得v ,43143min ,乙步行的速度应控制在10400 t 1040，即 0 t 8, 1301250 625%依田一, (单位： m/min)氾围内.4314考点：正弦、余弦定理

31、在实际问题中的应用.【方法点睛】考查了考生分析问题和利用所学知本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用,识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.n 123. (1) ann,bn 2； (2) Tn= (n1) 2n+1.试题分析：(1)设数列an的公差为d , bn的公比为q,运用等差数列和等比数列的通项公式, 可得d,q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；n 1(2)求得Cn

32、 anbn n 2 ,运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简 整理即可得到所求的和.试题解析：设数列an的公差为d, bn的公比为q,依题意得:解得d=1, q = 2.ll+(f+=2 + 5d,所以 3n=1+(n-1) M = n, bn= 1 X2nT=2nT.(2)由(1)知 Cn= anbn= n 2n 1,则Tn= 1 20+ 2 21+3 22+ + n 2厂1,2Tn= 2 20+ 2 22+ + (n1) 2n 1 +n 2n,得：Tn=1+21 + 22+ 2nTn 2n1- (12fl)=n 2n=(1n) 2n1,所以 Tn=(n-1) 2n+ 1.24. (I)(n) 2 曲.【解析】分析：(1)由正弦定理进行边角互化得J3sinB 2sinBcosA .(2)由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA结合基本不等式进行求解.详解：(I)由正弦定理可得：.13sinAcosC 2sinBcosA 3sinCc