线弹性断裂力学的基本理论

1、4.线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论 4.1 应力强度因子概念和能量释放观点的统一 4.2 柔度法4.2.1 恒载荷柔度法4.2.2 恒位移柔度法4.2.3 柔度法的标定进程如下 4.3 断裂判据 4.4 阻力曲线 4.5 应变能密度因子 4.6 复合型裂纹4.6.1 S因子判据4.6.2 最大周向应力理论4.6.3 最大能量释放理论 4.1 应力强度因子概念和能量释放观点的应力强度因子概念和能量释放观点的统一统一 前面已了解G和K。 如果不考虑塑性变形能、热能和动能等其他能量的损耗。则可通过能量原理来建立G和K之间的联系。 由前面的分析可知： 设裂纹向前扩展 长度，裂纹长度变

2、为 原坐标系下r处在新坐标下为(s-r)处，极坐标为(s-r)。该点的y方向的位移为 (s-r,) 作用力对裂纹上表面所做的功为： 按能量释放理论：rKrIy20 ,sassaIKrskrs221, Bdrrsrsy02,0 , BdrrsrBsGsysI002,0 ,2lim 当s0，有 E1= E 平面应力 平面应变 就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。该式基于裂纹沿原方向扩展的假设上。 对于型裂纹或型裂纹，若裂纹扩展方向也是正前方。则： 仅为近似估计IsaIKK281IIKkG1181Ek21EKGII21E21EKGII21EKG21EKG4.2 柔度法柔度法 Griffith

3、提出能量释放率G是对断裂力学的一大贡献，但在 提出以前，要计算含裂纹平板受载时的G是很不容易的。另一方面，计算出的K值不通过与G的联系，也很难验证其可靠性和适用范围。 柔度法： 通过柔度随裂纹长度而改变的特点，用测量的方法得到G。 通过G和K的关系求得K。 对I型裂纹， 是精确的，且I型裂纹加载容易。 柔度法一般只用在I型裂纹。 21EKGII21EKGII 设A为裂纹的面积，则 当边界条件是给定位移时，dW=0 恒位移时能量释放率的表达式 若边界条件是给定载荷。P=常数 作用点的位移： 恒载荷时能量释放率的表达式 柔度法通常用来做“应力强度因子的标定”。 单边裂纹应用方便，而板内部裂纹，应用

4、条件是两个裂端能量释放率相等。 dAUWdGdAdUGAAdAdPddU21PddW dUPddUdW21pdAdUGIGEK14.2.1 恒载荷柔度法恒载荷柔度法 P恒为某值，P的作用下， 当a0， 柔度C随a的变化而变化。 aaa aaaaaaaPPU221CPaCPaPPaCBPaCPBaUG221224.2.2 恒位移柔度法恒位移柔度法 由能量图可见，P与的关系必须符合线弹性假设。 12cUpaPBdAdUGc21CPCPcaCaPc1aCBGc1224.2.3 柔度法的标定过程如下柔度法的标定过程如下 （1）预制裂纹a1，记录下拉伸曲线； 预制裂纹a2，记录下拉伸曲线； 预制裂纹an

5、，记录下拉伸曲线； P与的关系保持为直线。 （2）由P-图求出斜率 ， ， 和 ， ， 用最小二乘法对C-a图上的数据进行拟合 （3）P-保持为线性时，上式与P值有关1k2knk111kC 221kC nnkC144332210habhabhabhabbBEChhabhhabhhabhbaCBE1413123423213423214321habhabhabbBEhaC34232122432122habhabhabbBEhBPaCBPG3423212243221habhabhabbPEhGB342321214322habhabhabbhBPEGK K随a的变化而变化。K与E有关系。 对于平面应变

6、问题： =0（平面应力问题）与 =0.33（平面应变问题）结果仅相差6%，从工程角度看，标定时取E代替E1是可取的。 21GEK4.3 断裂判据断裂判据 断裂进行区(fracture process zone) 断裂开始的极小区域，该区域的损伤达到了临界程度，区域内的力学性质由材料的微结构起决定影响。 K场区该区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量。 应力强度因子断裂判据成立的条件是：塑性区尺寸比K场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。 （高强度合金，工程材料发生脆断时，K场区强度是决定应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂评判。） 如果满足： 脆性材料 裂断塑性区的尺寸又相对较小 则

7、只需一个力学参量就已足够。“K” K与G有关。 根据G的定义和Irwin能量平衡理论 失稳时： 或 推论：对于某一型裂纹： 如I型裂纹： 随构件大和厚而降低，但当降到某一值后厚度再增加 保持不变。 这时的 称为 断裂判据： 2GcrGG crKK crKcrKcrKIcKIcIKK 4.4 阻力曲线阻力曲线 G(能量释放率) 裂纹扩展的倾向力，以称为裂纹扩展力。 裂纹扩展力能量释放率。 亚临界裂纹扩展当扩展力稍稍稍稍启裂点时，往往有一段稳定扩展。 裂纹扩展阻力 常数 （平面应变脆性断裂） 非常数（厚度小于平面应变所需厚度时） IcK 以Griffith裂纹为例： 裂纹扩展力 当一定时，G随a增

8、加而增加。 裂纹扩展阻力 (厚度满足平面应变条件) 当裂纹尺寸为a1时， 当原始裂纹尺寸为a2时，只有当 ，才能产生裂纹扩展a，由此可求出 当板厚较薄不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力随a的增加而增加。 12EaG21IcIcKGE2121GG IcKRG24.5 应变能密度因子应变能密度因子 考虑二维裂纹问题，受到、种载荷中的多种载荷作用。裂纹前缘是平直的整个前缘各点的应力强度因子值相同。 23cos2cos22sin223sin2sin12cos221rkrkx23cos2cos2sin223sin2sin12cos221rkrkyzyx= 0 平面应力 平面应变23sin2sin12co

9、s223cos2cos2sin221rkrkxy2sin23rkxz2cos23rkyzIKk 1Kk 2Kk 3 应变能密度 将上述表达式代入得： 应变能密度是个单参量，但能代替两个以上的应力强度因子。 应变能密度因子： (1) 裂纹扩展方向为S的一个局部极小值的方向。 (2) 当这个极小值达到或超过一临界值 时，就会发生失稳断裂。 2222222121zxyzxyxzzyyxzyxEEdVdU233322222112211121kakakkakardVdU2333222221122111020kakakkakadVdUrSrcrS00S0022S4212minIccrkSS4.6 复合型裂

10、纹复合型裂纹 裂纹可能不再是单独型裂纹，而是复合型裂纹。 例如：压力容器内壁表面裂纹与轴向成交角，在内压作用下是、型复合型裂纹。 如果用应力强度因子进行判断： 不方便，且不知开裂角为多少。 需要寻找一个物理意义清楚，且与实验结果符合的判据。 IcIKK cKK4.6.1 S因子判据因子判据 用于脆性断裂，复合型裂纹（、型） 断裂判据： 2222211221112kakkakaS00S0022S220222101221011min2kakkakaS2min2211IccrkESS4.6.2 最大周向应力理论最大周向应力理论 假设：裂纹是沿着裂端区圆形损伤核周界的最大周向应力所处的位置的方向开裂。

11、 求出： sin232cos2cos21221kkr1cos3sin2cos2121kkrr 令 (或 )可确定开裂角 。 ，正好是裂纹面，不是开裂角。 代入 （都与有关） 对于不同角的开裂角 可见下表，结果与S因子理论相差不多。 1cos3sin2cos24321kkr00r001cos3sin2cos02010kk00, 02cos01cos3sin0201kk21,kkctgctg00cos3sin0304050607080-60.2-55.7-50.2-43.2-33.2-19.3S因子-63.5-56.7-49.5-41.5-31.8-18.3max 失稳断裂判据可采用损伤核周界的最大周向应力大于或等于临界值 ，即： （在损伤核周界） 或 实验证明： 临界值= 断裂判据为： crcrmax临界值max02limrrIcKIckkk020210sin232cos2cos4.6.3 最大能量释放理论最大能量释放理论 复合型裂纹 设 为真正的能量释放率，G只是个参数。 恒载荷时 单边裂纹 对称中心裂纹 指原裂纹向真正扩展方向延长的扩展量 maxGauBG1daUWdB1daUWdB21G=da 释放方向 失稳断裂判据