利息理论复习资料

1、1利息理论利息理论2利息度量利息度量 （Measurements of interest）3累积函数累积函数 (Accumulation function) l累积函数是指期初的1元本金在时刻 t 时的累积值, 通常被记为a (t) 。 l性质：la (0) = 1；la (t) 通常是时间的递增函数；l当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。4金额函数（金额函数（Amount function）l当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k 个单位本金的原始投资在时刻 t 的积累值记为A (

2、t) ,称为金金额函数额函数。l性质lA (0) = k；lA (t) = ka(t), k 0, t 05利息（利息（interest）的数学定义）的数学定义l从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为 I(n) ，则l利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。( )( )(1), 1I nA nA nn6 实际利率实际利率（effective rate of interest）l实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息：l实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：(1)(0)iaa(1)(0)(1)(0)(1)(0)(

3、0)(0)aaAAIiaAA当期利息期初本金( )(1)( )(1)(1)nA nA nI niA nA n7 单利单利 (simple interest)l假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i ，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利单利，i 称为单利率。l单利的积累函数满足下述性质：(0)1(1)1( )1aaia tit 8l常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！1 (1)ini因此，实际利率是 n 的递减函数。( )(1)(1)na na nia n(1)1(1) 1(1)ini ni n单利与实际利率的关系：

4、单利与实际利率的关系：9复利复利 (compound interest)l考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1i;l余额1i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ;l在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3l一直持续下去，l对于整数时期 t，积累函数为( )(1)ta ti10l常数的复利率意味着实际利率也为常数(1) 11ii( )(1)(1)na na nia n11(1)(1)(1)nnniii复利与实际利率的关系复利与实际利率的关系11单利与复利之间的关系（下图）单利与复利之间的关系（下图）l单利

5、的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。l当 0 t 1时，复利比单利产生更大的积累值。l当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。00.511.511.522.533.544.555.512 单利累积函数：是一条直线 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。 两个交点：0和1。00.511.511.522.533.544.555.513贴现函数贴现函数l时刻 t 的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数。用 a-1(t)表示。14贴现函数贴现函数(discount function) l单利的贴现函数l复利的贴现函数111( )(1)1atitit11(

6、)(1)1ttatii15iv11ti)1 ( (1+ i) 累积因子： accumulation factor t年累积因子：t-year accumulation factor贴现因子： discount factorvt t年贴现因子： t-year discount factor几个术语：几个术语：16l实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末期末累积值之比：l利息按期初余额计算，在期末支付。l贴现按期末余额计算，在期初支付。l例：例：A向银行借100元，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A借出94元，一年后A还给银行100元。贴现率为6。当期利息实际贴现率期末累积值贴现率：贴现率：d实

7、际贴现率17l第 n 个时期的实际贴现率等于l当单利率为 i，单贴现率 是 n 的递减函数。l当复利率为 i 时，复贴现率( )(1)( )( )nnIA nA ndA nA n( )(1)(1)(1(1)( )11na na ni ni nida ni ni n 1( )(1)(1)(1)( )(1)1nnnna na niiida nii是常数。18一些重要的等价关系式：一些重要的等价关系式：li = d/(1-d)ld = i/(1+i) ld = iv ld = 1- v lv = 1- d li - d = id 0111+ ii1- dd1v11-v19l实际利率实际利率：在每个度

8、量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金。l名义利率名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。名义利率名义利率20l名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率。例如：l假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%12 = 12%。l如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%4 = 12%。21l年名义利率 i (m)（m 1，为整数）表示每年结转m次利息，即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。l例例： i (4)

9、= 8 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2。l例例： i (12) = 6 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5。l问题问题：三个月定期存款的年利率为1.8 ，含义是什么？l答案答案：表明i (4) 1.8%，三个月的实际利率为1.8%4，存1000元满3个月可得利息 1000 1.8 / 4 = 4.5 元。名义利率的定义名义利率的定义22名义利率与实际利率的关系：名义利率与实际利率的关系：l名义利率与等价的实际利率有如下关系： 或者 l由实际利率 i 也可以计算名义利率 i (m) ，即()11mmiim ()11mmiim()1/(1)1mmimi23l例例：

10、假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？存款利率（）存款利率（）活期定 期3个月6个月1年2年3年5年0.352.602.803.003.754.254.75问题问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，那个合算？当3个月期的利率为多少时，两种投资没有差异？ 分析：分析：l3个月的实际利率为2.6040.65，1年下来的累积值为l1年期存款的实际利率为3.00, 1年下来的累积值为1.03l结论：直接投资1年合算。4(10.65%)1.026255l如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有l由此可得4(4)113.00%4i(4)2

11、.9667%i26名义贴现率名义贴现率(nominal annual rate of discount) l名义贴现率 d (m) （m 1）l定义：名义贴现率 d (m) 是每1/m 时期之始支付一次贴现值。也就是每 1/m 时期的实际贴现率是d (m) / m 。l由等价的定义l重新整理得()11mmddm()11mmddm 11()1 (1)1mmmdmdmv27名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系l（1）一般情况l（2）mpl（3）如果把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 计息期内等价的实际利率和实际贴现率，则()()1(1)11(1)(1)mpmpid

12、idimp()()11mmmmidmm()()()()mmmmididmmmm28利息力利息力(force of interest)l定义定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。l假设 A (t) 为 t 时的金额函数，在时间区间 t, t + h 的实际利率为l年名义利率为（1年包含1/h个小区间）()( )( )A thA tA t()( )( )A thA thA t29l 为区间 t , th 的利息增长强度。 l 为在时刻 t 的利息增长强度（即 利息力）。l数学定义：设积累函数连续可导，则时刻 t 的利息力为0()( )( )lim( )( )hA

13、 thA tA thA tA t()( )( )A thA thA t( )( )( )( )tA ta tA ta t30累积函数和贴现函数的另一种表达式：累积函数和贴现函数的另一种表达式： 用 r 代替 t ，并将此式两边在0到 t 积分，得 从而有 ( )ln ( )( )ta ta ta t00ln ( )ln ( ) ttrdra rdra t0( )etrdra t01( )etrdrat因为31单利在单利在 t 时刻的利息力时刻的利息力l因为l所以时刻 t 的利息力为l单利的利息力是时间的递减函数。( )1a tit ( )a ti( )( )1ta tia tit32 l单贴现

14、的利息力是时间的递增函数。21( )(1)() ( )(1)ta tdtda tdt , 1ddt 01/td 单贴现在单贴现在 t 时刻的利息力时刻的利息力1 ( )(1)a tdt33复利在时刻复利在时刻 t 的利息力的利息力l因为 l所以时刻 t 的利息力为l复利的利息力是常数常数！与时间无关。 称为复利的利息力。( )(1)ta ti( )(1) ln(1)ta tii( )ln(1)( )ta tia tln(1) i34常数利息力常数利息力l从理论上讲，利息力是可以随时变化的。但实际中的利息力通常是常数，即 t在常数利息力下，累积函数可简化为tdseetat0)(tita)1 ()

15、()1ln(i1ei35l例：例： 已知金额函数为 并且 求 t1 / 2 时的利息力。l解：解：首先解出m、k、l，2( ),02A tktltmt(0)100,(1)110,(2)136AAA(0)100100100(1)1101108(2)136421362AmmAklmkAklml 36l从而，1/21/2( )( )tA tA t2( )82100A ttt21/21628210010103tttt37l例：例： 基金A以利息力函数 累积； 基金B以利息力函数 累积。 分别用 和 表示它们的累积函数。 令 ，计算使 达到最大的时刻T。1(0)1ttt24(0)12tttt( )Aat

16、( )Bat( )( )( )ABh tatat( )h t38l解解：由题设条件有l因此根据 h (t) 的定义得 h (t) = t 2t2， h (t) = 1 4t，因此当t 1/4 时，h (t) 达到最大。01( )exp()11tAatdsts 2204( )exp()1212tBsatdsts 391.10 利率概念辨析利率概念辨析l实际利率和名义利率实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。l用i表示名义利率，用r表示实际利率，用 表示通货膨胀率，则有 (1 + i) = (1 + r)(1

17、+ ) i = r + + r 此式可近似表示为 i r + 或 r i l即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率。40l利率和贴现率：利率和贴现率：在某些经济学文献中，利率和贴现率是使用频率很高的两个概念，但这两个概念也经常被混淆。尤其是在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率。l计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力等。 1( )(1)(1)ttatid-=+=-41第二章第二章 等额年金等额年金（Level Annuity）42年金的含义年金的含义l最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。l现在的含义：一系列的付款（或收款）。43年金的类型年金

18、的类型l按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以划分为确定年金(Annuities-certain)和风险年金。 l按照年金的支付期限长短，年金可以划分为定期年金和永续年金（Perpetuity） 。 l按照年金支付周期不同，可分为年付年金、季付年金、连续年金等l按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。 l按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年金和延期年金（deferred annuity） 。 l按照每次付款的金额是否相等，年金可以划分为等额年金(constant annuity)和变额

19、年金(varying annuity)。 44基本年金的含义基本年金的含义l确定：支付额是确定的l等额：每次支付相等金额l利率恒定：利率不会变化，且每个支付周期结转一次利息。451、 期末付年金期末付年金（Annuity-immediate） l期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。101123n-1n11146l的表达式的表达式ln期期末付年金的现值记为 ，a表示annuity，i表示每期的实际利率（可省略）。l在第1个时期末付款1的现值为 ，在第二个时期末付款1的现值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为 ，故na| n iav2vnv(1)1nvvv1nvvi

20、v2nnavvv1nvi期末付年金的现值期末付年金的现值47 期末付定期年金的现值期末付定期年金的现值 48l的表述式的表述式ln期期末付年金在 t 时的积累值之和记为 ， i 表示每期的实际利率（可省略）。l在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时期末付款1的积累值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的积累值为1。ns| n is1(1)ni2(1)ni11 (1)(1)nnsii 1 (1) 1 (1)nii(1)1nii期末付年金的累积值（终值）期末付年金的累积值（终值）49期末付定期年金的终值期末付定期年金的终值 50一些等价关系式一些等价关系式l（1） 含义：含义：初始投资

21、1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为 。在第n个时期末，收回本金1，其现值为 。l（2） 含义含义：积累值等于现值乘以积累因子。 1nniav(1)nnnsainianv1iii151l（3） 证明：证明：(1)(1)1nniiiii11nnias1(1)1nniiisi 11nniva(参见下页图示）521na0n11na1na1naiiiii+111ns1ns1ns1ns53l例例 ：有一笔1000元的贷款，为期10年，若年实质利率为9，试对下面三种还款方式比较其利息总量。l本金和积累的利息在第10年末一次还清；l每年产生利息在当年末支付，而本金

22、在第10年末归还。l在10年期内，每年末偿还相同的金额。54l解：解：（1）贷款在10年末的累积值为 利息总额为2367.36-10001367.36（2）每年的利息为90元，利息总额为 1090900101000 1.092367.3655（3）设每年的偿还额为R，则价值方程为 解得 故利息总额为155.82101000558.2 结论：结论：偿还越迟，利息总量越高。101000Ra155.82R 562、 期初付年金（期初付年金（annuity-due） l期初付年金的含义期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。 1 1 1 1 1 l 0 1 2 3 n-1 n 57期初

23、付定期年金的现值期初付定期年金的现值 58l记号 表示期初付年金的现值，i可省略l记号 表示期初付年金的积累值，i可省略| nia 11nnavv 111nnvvvd(1)1(1)(1)1niii1(1)1(1)nii(1)(1)nnsii(1)1nid| nis 59期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值60l 和 的关系 l（1）l（2）| na | ns |(1)nnnsai11nndas613、期初付年金和期末付年金的比较、期初付年金和期末付年金的比较l期末付年金：l期初付年金：1(1)1nnnnvaiisi1(1)1nnnnvadisd62l期末付年金与期初付年金的关系期末付年金与

24、期初付年金的关系（1）（2） |(1)nnai a1211()(1)nnnnavvvvvi av |(1)nnsi s1(1)(1)(1)1(1)(1)nnnnsiiiii s（参考下页图示）63different present values of a constant annuity|(1)nnai a|(1)nnsi s64|1|1nnaa 121|11 ()1nnnnavvvvva （3）（下页图示）（下页图示）说明说明: 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 (n 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n 1) 次付款的现值为 。na 1na65|1|1nnss1|

25、11 (1)(1)1(1)(1)nnnnsiiiis （4）1111n期1664、延期年金、延期年金（deferred annuity） l延期年金的含义延期年金的含义：经过一个推迟的时期后才开始付款的年金。l从现金流来看，一个推迟了m个时期并在推迟时期后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。l延期年金现值为|mnm nmv aaa675、任意时期的年金值、任意时期的年金值l例：例： 考虑一种年金，它共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。68年金的现值等于27|9|2|v aaa也等于37|10|3|v aaa69

26、此年金在第12期的积累值等于37|10|3|(1)siss也等于27|9|2|(1)siss706、永续年金、永续年金（Perpetuity） l永续年金永续年金：可以永久支付下去的年金，没有结束日期。l记号记号 表示永久期末付年金的现值。l永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期将利息 支付，本金继续进行投资。23|avvv|a1i11ii11vvvivi|11limlimnnnnvaii71l记号 表示永久期初付年金的现值之和。|a2|1avv |limnna111 vd1limnnvd1d72l例：例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人B，第二个10年将每年的

27、利息付给受益人C，二十年后将每年的利息付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7，确定三个受益者的相对受益比例。73l解解：10万元每年产生的利息是7000元。lB所占的份额是 lC所占的份额是 lD所占的份额是 10|70007000(7.0236)49165a20|10|7000()7000(10.59407.0236)24993aa|2017000()7000(10.5940)258420.07aa74l从现值的角度看，B、C、D受益比例近似为49，25和26。l注：注：D的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于201100000258421.0775 期末付年金期末付年

28、金：每年支付m次的期末付年金如下图：假设每次的付款为1/m元，从而每年的付款是1元。每年支付每年支付 m 次的期末付年金次的期末付年金76()()|1mmnnavi 支付支付n年，每年支付年，每年支付m次，每次支付次，每次支付1/m元，每年总共支付元，每年总共支付1元。其现值为：元。其现值为：()()1/11(1)1mmmmiimimi 名义利率与实际利率的关系：77()()1nmmnvai要求每次的付款额为1/m ，即每年的付款总额为1元。是以每年的付款为单位每年的付款为单位1计算的。需要已知年实际利率和名义利率。应用上述现值公式的注意事项：应用上述现值公式的注意事项：例例：10年内每月末支

29、付400的现值？例例：5年内每4个月末支付200的现值？(12)1012 400a(3)53 200a78l上述年金的累积值可表示为 l 的关系： ()()()()|1(1)1(1)(1)nnmnmnmmnnvisiaiii()|,mnnss()()()()|(1)1(1)1nnmmmmnniiiissiiii例例：10年内每季度末支付400的累积值？例例：5年内每4个月末支付200的累积值？(4)104 400s(3)53 200s79l例例：某投资者在每月末向一基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末可以积累到多少？l解：解：这是一项每年支付12次的期末付年金

30、，每年的支付额为1200元。因此，根据题意有 (12)(12)5|5|1200= 1200= 6781.37 issi（元）1(12)1/12555% (1)12(1)1(1)1iviiiisi-=+=+-+-=80l期初付年金：期初付年金：每年支付m次的期初付年金如下图。每年支付每年支付m次的期初付年金次的期初付年金 81121()|1(1)nmmmmnavvvm1111nmvmv111 (1)nmvmd()()1 nmmnvad()()|1nmmnvai 请比较每年支付m次的期初付年金的现值为：()1/1(1)mmdmd=-82l期初付年金的累积值可表示为l )()|(|(1)nnmnmi

31、as)()(|(1)1nmnmdsi()|, mnnnsss 和 的关系()1(1)nnmvid()(1)1nmid()|/(1)mniisd()(1)1nmdidd()|mndsd|()1nmsidi()|mnisd（先请大家写出）83永续年金：永续年金：每年支付m次的永续年金的现值如下()()()|)|1limlim1nmmnnnmmavadd()()()|()1liml1immnmmnnmnaivai()1()|1)mmmaia（两个年金相差1/m个时期）84l例例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？l解：解：m = 12

32、，每年领取的金额为1200元。假设年实际利率为i，则： ()1120020000mi85l将名义利率用年实际利率表示，则有l解此方程可得年实际利率为1121200= 2000012(1)1i 6.1678%i 86利息问题求解的四要素利息问题求解的四要素l本金(present value/Principle)l利率(interest rate)期初/期末计息：贴现率/利率计息方式：单利/复利利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力l时间(time)l积累值（终值）(accumulated value/future value)l注：注：其中任何三个的值都可以决定第四个的值。871、价值方程（、

33、价值方程（equation of value）l问题：问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如何比较它们的价值？l货币具有时间价值。l不同时刻的货币量是无法直接比较大小的，必须将其调整（积累或贴现）到某一共同时刻（比较日）进行比较。l将现金流调整到比较日的方程称为“价值方程价值方程”。88l比较日的选择：比较日的选择：l期初和期末是两个特殊的比较日。其它中间时刻也可以作为比较日。l采用复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。l但采用单利计算，比较日的选取将直接影响计算结果。89l例例： 某人愿意立即支付100元，第5年末支付200元，第10年末再支付X 元。作为回报，他在第8年末得到600元。假

34、定半年结转一次的年名义利率为8。请计算第10年末他应该支付多少？l解法一：解法一：时间单位半年。取期初为比较日。则半年的实际利率为4，贴现因子为 ，价值方程为1(10.04)v102016100200600vXvv10005108200X60090l解得16020600100200vvXv600 0.53391 100200(0.67556)186.760.45639912、未知时间问题、未知时间问题 (unknown time)l例：例： 假设有两种投资方式 方式一：方式一：分别于 投入 ； 方式二：方式二：在时刻 t 一次投入 元。l若这两种的投资价值相等，求时刻 t。12, ,nt tt

35、12,ns ss12nssst1t2t3tns1s2s3sn12nssst92l解法一解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的价值方程为 得精确解为 121212()nttttnnsss vs vs vs v121212lnln( )ntttnns vs vs vssstv93l解法二解法二（等时间法）：作为近似，t 常用各个付款时间的加权平均来计算，1 12 21112n nnnns ts ts tsstttsssss943、未知利率问题、未知利率问题(unknown interest rate)954、年金的未知时间、年金的未知时间l任何一个年金问题都包含下述三个变量：（1）年金的现值或

36、终值；（2）年金的支付次数 n；（3）利率 i。l问题: 已知年金的现值 A（或终值S）以及利率 i，需要计算年金的支付次数 n。l由于期初付年金的现值和终值都可以表示为期末付年金的现值和终值，所以，下面假设已知的是期末付年金的现值A 和终值 S。96l当已知年金的现值为 = A，利率为i时，计算未知时间 n的方程为l上式经过变形，很容易求得关于未知时间的解析表达式 l当已知年金的终值为 = S，利率为i时，计算未知时间n的方程为 l由此可见，未知时间问题都可以通过解析方法解决。iiAann)1 (1|)1ln()1ln(iiAn)1ln()1ln(iiSnnanS97l根据上述方法求出的时间

37、 n 未必是整数。这就意味着经过整数个时期的付款之后，还需进行一次额外的付款。l譬如，如果 n = 4.5年，那就意味着在经过4年的正常付款之后，在第5年中期还需支付一笔小额付款。98l例例：假设某投资人的原始投入为500，他想每年末得到100的回报，年利率为3，请问年金的付款次数是多少？l若年金为5年期，则年金的现值为457.97，小于500。l若年金为6年期，则年金的现值为541，大于500。500100 =5.498nan99l解决方案解决方案：1. 分五次付款，前4次每次付款100元，最后一次付款额为X，价值方程为 X = 148.7254|100(1.03)500aX2. 分六次付款

38、，前5次每次付款100元，最后一次付款为X，价值方程为 X = 50.18 65|100(1.03)500aX100变额年金变额年金 （Varying Annuities）1013.1、递增年金、递增年金l含义：含义： 假设在第一期末支付1元，第二期末支2元，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的年金。l如果用 表示其现值，则有l上式两边同时乘以(1 + i)则有|)(nIannnvvvvIa32|32)(121|321)(1 (nnnvvvIai102l 用第二式减去第一式则有 l所以递增年金的现值为231|()(1)nnniIavvvvnv invaIannn|)( |nnan

39、v103递增年金分解表递增年金分解表时期时期 0123 n 1 n递增年金递增年金123 n 1n等等额额年年金金111 1111 111 11 111递增年金 = n 年定期年金 + 延期1年的 (n 1) 年定期年金 + 延期2年的 (n 2) 年定期年金 + + 延期 (n 1) 年的1年定期年金104l将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为 | 11| 1|)(avavaIannnn 11111nnnvvvvviii 211nnnvvvviinvann| 11nnnnvviivvvi105l根据现值求得其累积值为()(1) ()(1)nnnnnnanvIsiIaii()(1)()

40、nnnnanvIai Iad() = (1 + )()nnnIsiIsnsndnsni期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式，其他可以推出。建议：只记忆期末付年金的现值公式，其他可以推出。|()nnnanvIai106l当 时，还可以得到递增永续年金的现值为l在计算上述极限时， |()lim()nnIaIa|()lim()limnnnnnanvIaIadnlimlim0(1)nnnnnnvi|limnnnanvi1di21d1111idii 11(1)ii21(1)i107l 一般递增年金一般递增年金：例例设A表示此年金的现值，则1 ()nnAP aQ v

41、Ia108l例例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？l解：解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900元）和100项递增年金的和，即1000110018001900900900900900100200 900100010|10|900100() = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ()aIa元109时期时期 0123 n 1 n递减年金递减年金nn 1n 2 21等等额额年年金金111 11111 1111 111111l含义含义：假设在第一期末支

42、付 n 元，第二期末支付 n 1元，第 n 期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的年金。 3.2、递减年金、递减年金110l因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现 值之和，即：11()nnnDaaaa1111nnvvviii1() = nnnvvvi = nnai111l递减年金的其他公式：|() = (1 + )()nnDai Da| =nnad|() = (1) ()nnnDsiDs|(1)nnnisd|(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDaiii|()nnnaDai例：投资者A拥有一份10年期递增期末付年金，第一年末支付100，以后每年递增50；投资

43、者B拥有一份10年期递减期末付年金，第一年末支付X，以后每年递减X/10。年实际利率为5%，两项年金的现值相等。计算X。112113l例：例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？12nn-11|1|()()nnnIavDa114| 1|)()(nnnaDvaI|1|+(1)nnnnnaivnvai1|1|11()nnnnnnnvnivvv aa1|1|1(1)nnnnav avi 1|1(1)(1)nnvai|nnaa1153.3、复递增年金、复递增年金 （compound inc

44、reasing annuity） l含义含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 l期末付复递增年金 ：假设一项年金在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利增长，直到第 n 年末支付。116l上述年金的现值：l变形可得：l定义 ，则现值为： 2231(1)(1)(1)nnve ve vev22331(1)(1)(1)(1)1nne ve ve ve ve2311()11nn juuuuaee(1)ue v11uj其中111iejue l 注：若 e = i, 则现值为n/(1+e) 117l例：例：小王拥有一项10年期期末付的复递增年金，第一年末付1000元，此后的给付金额按5的复利递

45、增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。 l解解：本例年金的现金流如下图所示：118 l现值：l其中l因此该项年金的现值为： 10111000100011.05n jjaae0.1130.050.06110.05ieje1010 6%111 1.06100010007009.611.051.050.06a119l期初付复递增年金期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第 n 年初给付金额为 元。1(1)ne120l此项年金的现值表达式：l令 ，可将上式化简为：22111 (1)(1)(1)nne ve vev(1)ue v211nn

46、juuua 1ieje 其中 l 注：若 e = i, 则现值为 n121l例：例：小李拥有一份20年期的期初付复递增年金，该年金在第1年初给付200元，以后给付金额按10的复利递增，假设年实际利率为16.6%，请计算此项年金在时刻零的现值。l解：解：本例年金的现金流如下图所示：122l此项年金的现值为：l其中l因此，此项年金的现值为：20200ja 0.1660.10.06110.1ieje2020 6%1 1.062002002431.620.06/1.06a123收益率 (Yield Rate)124 投资收益的评估投资收益的评估问题：问题：如果有一组现金流Ct或Rt，如何评估项目收益的

47、好坏？方法一：净现值法方法一：净现值法（net present value，NPV）对任意一组分别于时刻0，1，n发生的现金流R0，R1，R2，Rn，以年利率 i 计算该现金流在投资之初的净现值(NPV) ，即( )P i0( )ntttP iv R125方法二：收益率法方法二：收益率法在项目的“收益”现金流中，若利率 i 使得净现值为零，则称i为收益率收益率（yield rate）。当资金流入的现值与资金流出的现值相等时，所对应的利率称为收益率收益率。126例例3: 如果期初投资20万元，可以在今后的5年内每年末获得5万元的收入。假设投资者A所要求的年收益率为7%，投资者B所要求的年收益率为

48、8%，试通过净现值法和收益率法分别分析投资者A和投资者B的投资决策。解：解：（1）该投资项目的净现值为 20 + 5 若按投资者A所要求的收益率7%计算，净现值为0.5万元，净现值大于零，所以投资者A应该投资。若按投资者B所要求的收益率8%计算，净现值为 0.036万元，净现值略小于零，所以投资者B拒绝投资。| 5a127（2）如果令净现值等于零，即 20 + 5 = 0，则可以计算出该项目的收益率为7.93%，它大于投资者A所要求的收益率，而小于投资者B所要求的收益率，所以可以得到与前面相同的结论。| 5a128收益率的唯一性收益率的唯一性l思考：思考：对于一组确定的现金流，它的内部收益率是

49、否总是存在且唯一？l答案：答案：由于收益率是高次方程的解，所以很可能不存在，也可能存在但不是唯一的。129 收益率唯一性的条件收益率唯一性的条件准则一准则一：首先计算资金净流入，如果资金净流入只改变过一次符号，收益率将是惟一的。在例2中，资金净流入Rt的符号很有规律，前几年都是负号，而后几年都是正号，因此收益率是唯一的。130准则二准则二：用收益率计算资金净流入的累积值 (或现值)，如果始终为负，直至在最后一年末才为零，那么这个收益率就是惟一的。131年份末资金流出资金流入资金净流入R t资金净流入的累积值资金净流入的现值0202020.00-2011122.27-20.94214320.68

50、-19.45314318.99-17.86414317.20-16.17514315.29-14.38614313.26-12.47714311.10-10.4481438.80-8.2891436.36-5.98101433.76-3.5411440.000.00合计304010-132 多重收益率的现值多重收益率的现值思考：思考：当收益率不惟一时，无法用收益率比较投资项目的优劣。那么，是否可以用净现值比较呢？回答：回答：不行。当收益率不惟一时，净现值不再是利率的单调递减函数。1334.2币值加权收益率币值加权收益率l简单近似l精确计算l近似计算134精确计算精确计算l假设期初的本金为A，在

51、时刻t的新增投资为Ct，投资收益率为i，在期末的累积值可表示为 (1)(1)(1)tttAiCi注注：时刻t的新增投资额Ct只在时刻 t 以后产生收益，即产生收益的时间长度为(1 t) 用B表示期末的累积值，则有(1)(1)(1)tttAiCiB注：注：Ct 0表示增加投资； Ct jl答案答案：等额分期偿还更加有利。162例例l假设假设：两笔贷款的本金均为10000元，期限均为5年，但偿还方式不同：l第一笔：采用偿债基金方法偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为5%。l第二笔：采用等额分期方法偿还。l问题问题：当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。163对于第一笔贷款（偿债

52、基金法），借款人在每对于第一笔贷款（偿债基金法），借款人在每年末需要支付的金额为年末需要支付的金额为 01()n jIDL is5 0.05110000(0.06 +) 2409.75s164对于第二笔贷款（分期偿还法），假设其利率为对于第二笔贷款（分期偿还法），假设其利率为r，则借款人在每年末需要支付的金额为则借款人在每年末需要支付的金额为 0n rLRa510000ra令此式等于2409.75，则有5100004.14982409.75rar = 6.552%注：在两种方法等价的情况下，等额分期偿还法的贷款利率（6.552%）大于偿债基金法中的贷款利率（6%）。165等价利率的一种近似解法

53、：等价利率的一种近似解法：与偿债基金法等价的分期偿还利率 r 可近似表示为r = i + 0.5(i j)在上例中，近似的等价利率为r = 6% + 0.5(6% 5%) = 6.5%偿债基金法的贷款利率借款人在偿债基金中损失的利率。每1元贷款的平均余额近似为0.5元。真实利率 r = 6.552%166等额分期偿还与等额偿债基金的比较等额分期偿还与等额偿债基金的比较l相同点相同点：定期、等额。l不同点不同点：已偿还本金的计息方式不同。l等额分期偿还法等额分期偿还法：已经偿还的本金按贷款利率 i 计息。l等额偿债基金法等额偿债基金法：已经偿还的本金（即存入偿债基金的金额）按利率 j 计息。l关

54、系关系：当贷款利率 = 偿债基金的利率时，等额偿债基金法 = 等额分期偿还法。 0 (1)ikkkLiLRs167债券和股票债券和股票Bonds and stocks168债券定价原理债券定价原理lP 债券的价格li 投资者所要求的收益率，或者市场利率lF 债券的面值（par value）lr 债券的息票率（coupon rate）lrF 每期的息票收入lC 债券的偿还值（redemption），通常等于债券的面值，即C = F。但也有例外，譬如提前偿还时，偿还值将不等于债券的面值。169lg 修正息票率（modified coupon rate），按是息票 收入与偿还值C的比率，即g = r

55、F/C。因此，gC = rF。ln 截至偿还日，息票的支付次数。lG 基价（base amount of a bond）。基价若按收益率 i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即iG = rF。l息票收入等式：rF = gC = iG。170)rFgCiG息票收入息票率（ ）面值(息票收入修正息票率（ ）偿还值(息票收入收益率（）基价(衡量息票收入的三个指标：171l债券价格的计算：四种方法。（1）基本公式）基本公式 债券的价格等于按市场利率 i 计算的未来息票收入的现值与偿还值的现值之和，即可见，债券的价格与市场利率成反比关系。1ntntPrF vC vnnrFaCvF 债券的面值C 债

56、券的偿还值r 债券的息票率172（2）溢价公式）溢价公式（premium/discount formula） P = rF + Cvn = rF + C(1 i ) =C+(rFiC) = C + (gC iC) = C1 + (g i) |na|na|na|na|na|na173l当债券的价格 P 超过其偿还值 C 时，就称债券按溢价(premium)出售 溢价溢价 = P C = (rF iC) = C (g i) l当溢价为零时，修正息票率g将等于收益率i。l当债券的价格P小于其偿还值C，债券就按折价（discount）出售。折价是负的溢价。|na|na|()1 ()nnPCrFiC a

57、Cgi a174债券的账面值：持有人在债券上的投资余额。 1( ) nPCgi a11( ) nCgi a1( ) n kCgi a1( ) n nCgi aC期初：第一期末：第k期末：第 n 期末：175l（3）基价公式）基价公式（base amount formula） 基价是投资者为了获得与息票rF相等的周期性收益所必须的投资额，即iG = rF。基价公式：P = rF + C v niG + C vn =G + (C G) vn |na|na176l解释解释：P = G + (C G) vnl如果将基价G按收益率i投资，可以获得周期性收益（iG = rF），到期还可以获得G元的偿还值。

58、l如果购买债券，可以获得周期性的息票收入rF，到期还可以获得C元的偿还值。l可见，购买债券在到期时多获得(C G)元的偿还值。l这个偿还值的现值为(C G)vn，所以，购买债券应该比基价多支付(C G)vn。177l练习：练习：假设债券的面值为1000元，期限为5年，每年末支付一次利息，年息票率为8%。到期时按1100偿还。如果投资者所要求的收益率为9%，试用四种方法计算债券的价格。 1 ()()()nnnnPrFaCvCgi aGCG vgCKKi178已知：l债券的面值 F = 1000l到期的偿还值 C =1100l收益率 i = 0.09l息票率 r = 0.08l每年的息票收入 rF

59、 = 80l息票的支付次数 n = 5l故l修正息票率 g = rF / C = 801100 = 0.072727l偿还值的现值 K = C (1 + i) n = 1100(1.09)5 = 714.92l基价 G = rF / i = 800.09 = 888.89179l下面应用上述四种公式分别计算该债券的价格： （1）基本公式）基本公式 P = rF + C vn = 80 + 1100(1.09)5 = 1026.10（元） 上式表明，该债券未来息票收入的现值为311.17元，到期偿还值的现值为714.93元。|na09. 0 | 5a180（2）溢价公式）溢价公式 P = C +

60、 (rF iC) = 1100 + (80 0.091100) = 1100 73.90 = 1026.10（元） 上式表明，债券的溢价为 73.90元，负的溢价就是折价，因此该债券是按折价发行的，折价金额为73.90元。na5 0.09a181（3）基价公式）基价公式 P = G + (C G)vn = 888.89 + (1100 888.89)(1.09)5 = 888.89 + 137.21 = 1026.10（元） 上式表明：在该债券的价格中，888.89元用于产生每年末80元的息票收入和到期时888.89元本金的回收，137.21元用于补偿债券的偿还值1100元超过基价888.89