汽车公司的最佳生产方案79278

1、汽车公司的最佳生产方案摘要本文针对汽车公司的最佳生产方案做了深入的研究， 根据生产两种不同型号货车在 生产条件与标准成本影响下的数量与其最终的毛利润的关系可知该问题是一类基于非 线性优化的策略问题。对此，本文建立了多种非线性优化模型进行讨论求解。首先，我们分析了题目的涵与要求，对其中的表格与数据做了一些综合分析，明白 A101型货车的生产数量与成本呈反比，即在生产到一定数量的A101型货车后，公司的毛利润会逐渐增加。目标因素就是毛利润的最大化，所以本文的基本思路就是解决在满 足约束条件下对生产 A101 型货车的增产的问题。对于问题A( 1)，分析表格数据知道其生产能力应该与每个车间各自的产量

2、成正比， 而又与管理费用成反比， 所以可以根据固定管理费用在每种货车上单位车辆的分摊确定 目标函数。而在不同车间的生产能力限制其生产数量， 即为模型的约束条件。 通过 LINGO 编程求得公司应该月生产 A101型货车2048辆，生产A102型货车632辆，可以得到月 毛利润为 530125.4 元。对于问题A (2)，在问题A (1)以及数据处理阶段的基础上，首先对模型进行了适 当的简化处理，把非线性问题转换成线性问题。若将题中的固定管理费用的分摊与可变 管理费用的变化设置在一种满负载时的合理情况下， 即可将这种情况下的常量代替目标 函数中的变化管理费用，于是可以将问题转为单纯毛利润与各个车

3、间生产能力，即生产 数量的关系，使模型成为简单的线性规划问题，针对第一问再次应用简化的线性模型后 发现两种货车的生产数量保持不变，只是月毛利润减小为 450600元。而后应用线性模 型求解“外包加工”方案问题，保持 A102型货车产量不减的前提下，增加发动机装配 车间的生产能力，由总体分析知，A101型越多，毛利润越高，故只需达到冲床机床的最 大限制即是获利最大的时候，建立线性约束模型后求解得通过“外加包工”使发动机的 装配能力增加相当于1428辆A101型货车时的费用F应小于毛收益的值568400元，才 可以接受。也就是针对每辆 A101型的“外包加工”费不得超过135.7元，而对于每辆 A

4、102型不得超过212.3元。对于问题B，通过加班增加了 A101型货车的生产量，相应的这部分的劳动费用也提 高了，管理费用也增加，但考虑到对比与联系问题A中的结果，可以把管理费用当成固定的，另外，原来的生产成本不变，故只需考虑增加生产A101型货车的数量即可，从而简化问题，以增量为目标函数建立线性模型，求解得通过加班每月增加生产1095台A101型货车时(总生产量为1428辆)，毛利润增加最大，其值为179000元，通过对比 合理安排生产计划就可以淘汰加班的方案，其效果不如合理安排生产计划好。最后，本文对三个不同方案效果做了纵向对比中，列出表格分析并结合实际做了模 型可行性与优缺点的评价，提

5、出了模型的改进方案，对模型进行了简单的推广。关键词 ： 非线性优化； 线性规划； 毛利润 ；汽车生产计划问题的提出和重述1.1问题的提出生产车间的装配任务问题是一个公司盈利过程中所不可缺少的安排。 南洋汽车公司 生产2种型号货车：A101型和A102型，为完成这两种车型生产，公司设有 4各车间。 这些车间的月生产能力如表所示：车间A1011 A102冲压车间25003500发动机装配车间33001667A101型装配车间2250一A102型装配车间一1500在上表中，对冲压车间和发动机装配车间来讲，分别表示单位生产某一车型时的月生产 能力。如果同时生产两种车型，生产的数量应相应减少。例如，对发

6、动机装配车间而言， 单生产A101型时，月生产能力为3300辆。若同时要生产A102型时，A101的产量应相 应减少，即每生产1辆A102型，相应地，在原来产量的基础上， A101型的产量减少2 辆。冲压车间的情况也类似。当前的市场情况是：A101型售价为2100元，A102型为2000元，且在这样的价格 下，不管生产多少辆货车，都能售出。根据前6个月的销售情况，A101型的销售为每月333辆，A102型为每月1500辆。 此时，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来。在每月举行的计划会议上，公司总裁对上半年的报表中 所列出的经营

7、情况甚为不满。销售部门经理认为，销售 A101型货车无利可图，一次建议 A101型货车停产。 财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少 A102型货车的产量。生产部门经理认为，在不减少 A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其 他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，这也许是最好的方案。1.2问题的重述问题A:在公司现有条件下，公司老板考虑如何使盈利最大化，故需要知道：（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？ （2）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力

8、，怎样的“外包加工”费是可以接受的？问题B:老板考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。假设加班后，发动机装配能力的增加相当于 2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高 50%，加 班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。则加班的方法是否值 得采用？、问题的分析经过分析，认为该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题。汽车公司要制定一 套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自三个方面：第一，公司各生产车间生 产能力的限制；第二，市场对于产品的需求量的限制，但由题意知可以忽略该因素的影 响；第三，A101和A102两种类型的汽车由于销售量的不同，导致了对固定

9、成本的分摊 不同，直接影响了各自标准成本的大小。分析题意后可知约束条件是非线性的，所以该 问题是一个非线性规划问题。针对问题 A( 1 )：因为毛利润 =销售收入-成本(加工材料费 +人工装配费+可变管理 费+固定管理费)，所以要想实现盈利，就要减少成本。而每辆车成本和生产总量有反比 关系，所以要降低每辆车成本，就需要提高生产总量。我们对问题描述中的三表分析得 出，前六个月 A101 型车的售价为 2100元，而其成本却为 2191 元，这表示每卖出一辆 A101型车，就要亏损91元。从上面对公式的分析可以找出其原因是由于 A101型生产量 太小，导致每车成本高于其售价，如果增加 A101 的

10、产量，使得成本降低，那么就会产 生盈利。因此可以否定销售部门经理停产 A101型车的建议。针对问题A(2)：根据题意我们认为在公司现有的生产基础上“外包加工”出A101型的发动机装配，也就是说公司本身保持 333辆A101型和1500辆A102型的生产量， 其中的加工费应该为对外公司的支付金额，而为了更好的收益，相当于公司部合理安排 加工计划的方案时必须保证支付金额的数量应该远小于毛利润，才能考虑采用“外包加 工”的方案，而不是部合理安排加工计划。针对问题B:由于用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，所以加班后， 发动机装配能力的增加相当于 2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高

11、50%，加班 的固定管理费用为 40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。其中的加班费应该为发 动机装配车间加班所产生的费用，因此可以在问题A( 1)的模型的基础上得出该问题的 约束方程，然后对比加班与其他方案的经济效益优劣性确定是否采用加班的方案。三、模型假设1) . 每个车间的生产能力之比即为该车间的产量之比；2) . 每个车间的生产以及装配环节是相互独立，互不影响的；3) . 两种类型货车标准费用里的直接材料费用和直接劳力费用都是不变的，仅仅是 管理费用发生变化；4) . 在当前市场的情况下，无论生产多少辆货车总能卖出；5) . 在全部车间都满负荷工作时的标准成本情况同题中介绍的这种情

12、况。四、符号及变量说明Z：公司月毛利润；C:公司月销售额；Si(i1,2):货车的售价，i 1时代表A101型货车，i 2时代表A102型货车;B:标准成本；Mi (i1,2):每辆货车的直接材料费用;Li(i1,2):每辆货车的直接劳力费用;Gi(i1,2):每辆货车的管理费用;xi(i1,2):货车的生产数量。五、模型的建立和求解5.1对于问题A (1)的模型及其求解出于对题意的理解，该问题所要解决的就是在公司现有条件下对生产 A101 型与 A102型货车的数量分配，即是非线性规划模型里的优化问题。由题目表格数据分析得，发动机装配车间生产一辆 A101、A102型货车的能力大小 是不同的

13、，为2: 1,该比例恰好是3300: 1667=1.98 : 1"2: 1。同样，对于冲压车间 而言生产甲乙型车的能力大小是 2500： 3500=1： 1.4。而两种类型货车的标准成本均有三种成本构成:直接材料费用，直接劳动费用，管 理费用。公司管理费用是由不变管理费用和随生产量不同而改变的可变管理费用组成。 其中直接材料费用和直接劳力费用两种费用已经由题中表格给出， 我们主要来分析管理 费用。由表格分析得，冲压车间不变管理费用分摊在 A101型货车和A102型货车的费用 分别为 96元和 69元，其比例约等于 1.4:1 ；发动机装配车间的不变管理费用的分摊分 别为 25元和 5

14、1 元，其比例约等于 1:2，对比不变管理费用的分摊情况与车间生产能力 的比例可以看出各车间生产车辆的能力与该车间固定管理费用在每一辆车上的分摊成 反比，即对于A101型货车来说，生产的越多，总的费用越少。综合以上分析得到如下公式:假设公司每月的毛利润为Z，销售额为C,货车的售价为S，标准成本为B，每辆货 车的直接材料费用为M每辆货车的直接劳力费用为L，每辆货车的管理费用为G,生产A101型货车的数量为X1，生产A102型货车的数量为x22CSi xi那么销售额为:i 1；2B(M ixi Lixi Gixi )标准成本为:i 1各车间总管理费用在每辆货车上的分摊为:400G1135000 8

15、5000 90000X|1.4x2120 105 175310000X|1.4x2135000 85000 75000295000G2100 200 125425x1 1.4 x2x1 1.4 x2则毛利润为：Z C B。非线性规划模型的目标函数即是毛利润达到最大，综合 所给的数据可以得出目标函数的表达式为：2Max Z C B(SiXi M ix Lixi Gixi)i 1其约束条件为：生产A101型货车的数量不大于2250辆；同时A102型货车的数量不大于1500辆；且有冲压车间应满足:3500x, x>25003500，发动机装配车间应满足:16673300 x1%1667。即:x

16、1, x20x12250x215003500CLCCst x1 x2 35002500x1 x216673300x1, x2取整用LINGO编程求解上述得结果x1 2048,x2 632,z 530125.4q即综上可知公司应该月生产 A101型货车2048辆，生产A102型货车632辆，可以得到月毛利润为530125.4元。各生产车间的生产数量如下表:车间A101A102冲压车间2048632发动机装配车间2048632A101型装配车间2048一A102型装配车间一632应按上述结果作为生产计划进行当前资源环境下的生产销售，获得最大的毛利润。5.2对于问题A（2）的模型及其求解在计算下述问

17、题中发现模型一的步骤过于繁杂，我们对模型一进行了改进，把非线性问题转换成线性问题。生产两种类型的货车是受4个车间的生产能力限制的，即4个 车间每月的生产能力是我们的约束条件；而毛收益是我们所关心的目标函数，于是将冋 题转为线性规划的问题。进一步分析知，“外包加工”增加收益的方法则是上述问题的 特殊形式，即乙型货车生产量不变(即原产量1500辆)，增加甲型货车产量，从而增加毛收益。另外，下述“加班”的方法也是为了增加A101型货车的产量，来增加毛收益，不过此时成本发生变化而相应的导致目标函数变化，但仍是线性规划问题。综上所述： 这些问题都可归结为一个线性规划的模型，而得到解决。根据假设5可知：2

18、Csixi 2100x1 2000 x2销售额为：i 1标准成本为：2B (M/ L必 G必)(1200 200 400)% (1000 425 225)x2 385000i 11800x1 1650x2 358000则毛收益为：故得，数学模型如下：Z C B 300x1350x2 385000MaxZ C B 300x1 350x2385000约束条件：x1, x20x12250x215003500stx1 x2250035001667x< x233001667x1, x2取整利用LINGO故线性规划,求解得：x-i 2048, x2 632, Z450600。此时四个车间的生产情况同

19、第一小问答案，但是最大毛利润发生了变化，变为 450600元。而此问方案中要求不减少 A102型货车产量，于是将模型转化为：目标函数：Max Z C B 300x1350 1500 385000300 xamp;s.t7约束条件：x取整此式表明每增加生产一台 A101型货车，毛利润就增加300元。进一步求得最优解：捲=1428, Max Z=568400元，通过“外包加工”使发动机的装配能力增加相当于 1428辆A101车时，毛收益增加值最多，其值为 568400元(包括：“外包加工”费)。因此通过“外加包工”使发动机的装配能力增加相当于1428辆A101型货车时的费

20、用F应远小于毛收益的值568400元，才可以接受。对比合理安排生产计划可列表得：A101型货车/辆A102型货车/辆毛利润Z/元合理生产2048632450600“外包加工”14281500568400-F综上可知F的取值应该为：F 568400 450600 117800元，相当于对A101型货F 'F117800135 71车发动机的单价为x,3300 1667 x2868元，同理，相当于对 A102L “F117800ccF212.3型货车发电机的单价为1667/3300x2555元。所以当两者的价格在所出的临界值之时才可以接受“外包加工”的方法。5.3对于问题三模型的建立和求解

21、原来每月生产A101型货车333辆，A102型货车1500辆。通过加班增加了 A101型 货车的生产量，相应的这部分的劳动费用也提高了。设加班的强度相当于增加了m辆A101型货车。则由题可知：销售额增量为：C 2100m成本增加为.B 1200m 200 (1 50%) m 400 m 400001900m 40000所以，毛收益增加为：Z CB200m 40000则建立模型如下：目标函数：MaxZCB 200m 40000约束条件：3500(3332500m)15003500s.t m 2000333 m 2250m取整求得最优解为:m 1095, Z 179000;所以通过加班每月增加生产

22、1095台A101型货车时（总生产量为1428辆），毛利润 增加最大，其值为179000元。由题意知上半年度的毛利润为 1267000元，则每月的毛 利润平均为211166元，相对于第一种的合理安排生产计划和“外包加工”，可以列表比 较如下：A101型货车/辆A102型货车/辆毛利润增加值Z /元合理生产2048632239434“外包加工”:14281500P357234-F加班14281500179000由上表可知：通过合理安排生产增加的毛利润比通过加班增加的多。而由于销售、 行政与其他费用相对不变，纯收入的税率也不变，毛收益增加最多的获利也就最大。所 以通过加班这个方法来增加收益不可取。

23、六、模型的评价和改进6.1模型的评价6.1.1优点本文从从题中提取有用信息，第一问确实建立了比较符合实际的机理模型，而在之 后能通过合理的转换让比较复杂的非线性模型转化为相对简单线性模型，运用线性模型对不同方案的目标函数（毛利润）做了对比计算，清晰明了的分辨了彼此之间的优劣性。6.1.2缺点模型建立的简化后没有考虑到一些多变的情况，是建立在相对稳定的生产和管理的 条件下的，有待深入考虑。6.2模型的改进通过上述得模型缺点可以知道应该将非线性优化模型一直持续下去，并且在非线性优化模型的求解下对比各种方案的结果，使分析后的毛利润更加准确；值得一提的是， 还可以考虑将A问中的“外包加工”方案进行深入规划，即在“外包加工”的基础上进 行合理安排生产计划，这样的行动更符合实际，即在和外界公司合作的同时加强部规划， 很有