理论力学课件：第三章 运动方程的积分

1、第三章：运动方程的积分(体系的不变量)1.运动方程运动方程 Euler-Lagraingian 方程方程: 2s个个(, ) ()0LTVL qqtLdLqdtq2.体系的几种不变性：体系的几种不变性：.1.2. (, )(,) (,)(,) (,)(,)L rrtL rrtL rrL rrL rrL rrrr时间平移不变空间平移不变空间转动不变相应地有不变量.11.H.nnLErLrLPprLMrrpr 注意：对特定的注意：对特定的s个自由度体系，状态量为个自由度体系，状态量为2s个，运动个，运动积分有积分有2s-1个，而上面几个则是普遍的，联系着时空的个，而上面几个则是普遍的，联系着时空的

2、 对称性对称性122,3,.,2,3.,121(,., )(,.,)snnsqfCCtqfCCqNow： 可以设想，对自由度比较少的体系，不需要考虑可以设想，对自由度比较少的体系，不需要考虑运动方程而只需要应用不变量关系，就可求解其运动关运动方程而只需要应用不变量关系，就可求解其运动关系系 ，或者，对多自由度体系，即使运动积分不能完全确，或者，对多自由度体系，即使运动积分不能完全确定体系的运动解，也可以至少给出一部分内容。自由度：定体系的运动解，也可以至少给出一部分内容。自由度：1，2，3。有趣的具体体系：一维运动有趣的具体体系：一维运动(周期周期)、有心立场、有心立场 Note：不变量关系和

3、约束的区别：不变量关系和约束的区别 前者不能用来简化前者不能用来简化L，后者可以。，后者可以。原因：前者在虚位移小变，不变的只是真实位移下的原因：前者在虚位移小变，不变的只是真实位移下的 时间的依赖关系，后者在虚位移下不变。时间的依赖关系，后者在虚位移下不变。一维体系：一维体系：22.11( ) ( )( ) 22LmxU xLa q qU q2.H.( )2LmErLxU xr.()0( ) = LdLUmxF xqdtqx 求解麻烦运动积分：能量守恒条件运动积分：能量守恒条件vs. 动力学方程动力学方程 由能量这个运动积分表达式可得由能量这个运动积分表达式可得这里虽然没有明显求解出路径，这

4、里虽然没有明显求解出路径， 但是求出了其反函数关系，这是重点但是求出了其反函数关系，这是重点. 性质：性质：动能大于动能大于0 可能的运动区间可能的运动区间 动能为动能为0的位置；周期运动；运动的定域相关性的位置；周期运动；运动的定域相关性( )U xE周期运动周期运动:振动振动 x1-x2-x2, 时间可逆时间可逆Now：逆问题，类比于傅立叶变换等 已知周期关于能量函数，如何反推势能曲线？ 寻找投影算符x1,x2相同势能点而中间皆有动能相同势能点而中间皆有动能非唯一函数非唯一函数 =分段处理，且只有分段处理，且只有1个势能最小点个势能最小点U(x)的不确定性，附加空间反演对称性要求的不确定性

5、，附加空间反演对称性要求二体问题：二体问题：对称性对称性能量、动量、角动量守恒能量、动量、角动量守恒应用动量守恒，选取参照系，使得该参照系下总动量为应用动量守恒，选取参照系，使得该参照系下总动量为0=总动量相应的质心不动，并平移至原点。总动量相应的质心不动，并平移至原点。1212120rrrRm rm r 得到新的坐标（广义坐标，物理意义不直观）得到新的坐标（广义坐标，物理意义不直观）新坐标下的新坐标下的L其中定义其中定义折合质量、质心的概念是一个层次上，退耦合折合质量、质心的概念是一个层次上，退耦合由此，通过动量守恒，等价到单质点问题；由此，通过动量守恒，等价到单质点问题；进一步，应用其他守

6、恒关系来化间广义坐标进一步，应用其他守恒关系来化间广义坐标给定初始角动量后，给定初始角动量后， “质点质点”只在垂直于该角动量的平面内运动！只在垂直于该角动量的平面内运动！平面运动，由此平移到该平面，应用极坐标平面运动，由此平移到该平面，应用极坐标sincosxryr.sincoscossinxrryrr0z 角动量守恒：角动量守恒：几何意义几何意义书上解释欠妥书上解释欠妥(or 书上书上P30页的解释不够清晰页的解释不够清晰)能量守恒能量守恒2个一阶微分方程，可解个一阶微分方程，可解（1）（2）注意性质注意性质: （唯象工作、应用工作时候特别注意的地方）（唯象工作、应用工作时候特别注意的地方

7、）（2）反应了整体轨道；（）反应了整体轨道；（1）反应了长度随时间关系）反应了长度随时间关系进一步，进一步，r方向运动等效于一维运动方向运动等效于一维运动Vs. 一维运动特点一维运动特点 周期运动等周期运动等具体点，具体点，r方向周期运动时，角度方向是否一起也周期运动方向周期运动时，角度方向是否一起也周期运动000000( ,)( ,)(,)rrr封闭曲线运动条件封闭曲线运动条件 mn， 整数Problem1：Problem2：r=0?补充：守恒量和运动积分关系补充：守恒量和运动积分关系 (1) 运动积分是独立守恒量，运动积分是独立守恒量，2s-1个，广义坐标速度的个，广义坐标速度的函数函数.

8、 (2) 上面上面7个是有物理意义的守恒量，部分情况下，并不个是有物理意义的守恒量，部分情况下，并不独立独立.题题: 写出三维自由质点的运动积分，写出三维自由质点的运动积分， 2s-1=5个个 000 xyzxxv tyyv tzzv t 00000 xyxyxxxtvxxyyvvxxzzzv00 x 取00()()yxyxxyvyvxzzzv常数常数本身本身3动量动量or速度也是独立常数速度也是独立常数(既角动量)故5个运动积分，7个守恒量并不独立！应用至万有引力情况：应用至万有引力情况：015.先讨论轨道：先讨论轨道： 积分积分积分公式：积分公式：22221/1/arccos1r drdrab rc rab rc rdxdxx性质讨论：性质讨论：定义定义轨道轨道01:01:EeEe椭圆双曲线，抛物线更具体些：椭圆、双曲线性质更具体些：椭圆、双曲线性质计算椭圆运动周期：计算椭圆运动周期：运动径向长度时间关系运动径向长度时间关系定义定义积分技巧同上