第四节定积分的应用08824

1、1第三章一元函数积分学第三章一元函数积分学第一节不定积分第二节定积分第三节反常积分第四节定积分的应用 一、微元法一、微元法二、平面图形的面积二、平面图形的面积 三、旋转体的体积三、旋转体的体积 四、定积分在医药学上的应用四、定积分在医药学上的应用 五、连续函数的平均值五、连续函数的平均值 六、平面曲线弧长六、平面曲线弧长 七、变力沿直线所作的功七、变力沿直线所作的功 八、旋转体的侧面积八、旋转体的侧面积2一、微元一、微元法法将实际问题转换成定积分定义中的将实际问题转换成定积分定义中的“分割、分割、近似代替、求和、取极限近似代替、求和、取极限”的方法，称为的方法，称为微元法微元法。 badxxf

2、a)(返回返回其具体操作为：其具体操作为：(1)在在a,b中的任意一个小区间中的任意一个小区间x,x+dx上，上， 以均匀以均匀变化近似代替非均匀变化变化近似代替非均匀变化， 列出列出所求量的微元所求量的微元：da=f(x)dx(2)对上式从对上式从 a 到到 b 积分，即得所求量的定积分表积分，即得所求量的定积分表达式达式3一、微元法一、微元法（曲边梯形的面积曲边梯形的面积a a）由连续曲线由连续曲线y=f(x)0与直线与直线x=a、x=b、y=0围成的平面图形，称为围成的平面图形，称为曲边梯形曲边梯形anixxxiii, 2 , 11 ，1 ixbixxyonixfaiii, 2 , 1)

3、( ， niiiniixfaa11)( inix 1max niiixfa10)(lim i )(if 4一、微元法一、微元法（曲边梯形的面积曲边梯形的面积a a）由连续曲线由连续曲线y=f(x)0与直线与直线 x=a、x=b、y=0围成的平面图形，称为曲边梯形围成的平面图形，称为曲边梯形axbdxx xyodxxfda)( badxxfa)(微元法微元法x)(xf面积微元面积微元5abyxo)(1xfy )(2xfy 以以二、平面图形的面积二、平面图形的面积由曲线由曲线）（，)()()()(121xfxfxfyxfy ）（，babxax ,dxxx dxxfxfda)()(21 dxxfxf

4、aba)()(21 xdxx )()(21xfxf dxdx上减下上减下围成的围成的平面图形的面积平面图形的面积，可用，可用微元法求得：微元法求得：和直线和直线在在a,b内任取小区间内任取小区间，该小区间上，该小区间上所对应的窄条面积近似等于以所对应的窄条面积近似等于以为高、为高、为底为底故所求面积微元为故所求面积微元为的窄条矩形面积，的窄条矩形面积，f1(x) f2(x)abyxo)(1xfy )(2xfy c6二、平面图形的面积二、平面图形的面积同理可得，由曲线同理可得，由曲线）（，)()()()(121yyyxyx ）（，dcdycy dyyyadc)()(21 dyo)(1yx c)(

5、2yx x右减左右减左和直线和直线为为围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积7二、平面图形的面积二、平面图形的面积（例题）（例题）例例1.求由曲线求由曲线 围成图形的面积围成图形的面积.解：解：(1)求交点作图求交点作图222xyxy 和和 11dxadya 10 或或 1111222yxyxxyxy，dxxxa)2(2 2102 或或.222 2110dyydyya 或或(2)求面积求面积yx1 12xy 22 xy 2o1dy21 )2(2x 2x y)(y y 2)2(y 8二、平面图形的面积二、平面图形的面积（例题）（例题）例例2.求椭圆的面积求椭圆的面积. 4022abdxxaab

6、sa 椭椭圆圆.4 022abdyybbasb 椭椭圆圆或或.2rs 圆圆yxo12222 byaxab12222 byax(2)求面积求面积解：解：(1)作图作图9二、平面图形的面积二、平面图形的面积（例题）（例题）例例3.求由曲线围成图形的面积求由曲线围成图形的面积.解：解：(1)求交点作图求交点作图422 xyxy和和 20 dxa 42 dya或或xy22 4 xyyx)2, 2( )2 , 2()4 , 8(o8422 2 8422422xyxyxyxy，(2)求面积求面积 82 dx )2(2xx )4(2 xx221)4(yy 10三、旋转体的体积三、旋转体的体积由曲线由曲线)(

7、xfy ）（，babxax dxxfdxydvx)(22 babaxdxxfdxyv)(22 )(xfy 0 yyxabo)(xfy ,dxxx dxxdxx dx的体积的体积，也可用微元法求解，也可用微元法求解:围成的平面图形绕围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的旋转体旋转体和直线和直线及直线及直线在在a,b内任取小区间内任取小区间，该小区间上所，该小区间上所对应的小旋转体的体积对应的小旋转体的体积为半径、为半径、以以为高的小圆柱体的体积，为高的小圆柱体的体积， 故所求体积微元为故所求体积微元为近似等于以近似等于以11三、旋转体的体积三、旋转体的体积同理，由曲线同理，由曲线

8、 和直线和直线及直线及直线 围成的平面图形绕围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的旋转体的体积为的旋转体的体积为)(yx ）（，dcdycy dcdcydyydyxv)(22 0 xyxo)(yx ydyy dycd12三、旋转体的体积三、旋转体的体积（例题）（例题）例例1.求椭圆的求椭圆的.yxvv 和和 bbydyxv2 .343rv 球球abyxa b 12222 byax aaxdxyv2 byxa b a(2)求体积求体积.342ab aadxaxb)1( 222 .34)1( 2222badybyabb 解：解：(1)作图作图13dyy 402)( 三、旋转体的体积三

9、、旋转体的体积（例题）（例题）例例2.由曲线和直线围成的图形由曲线和直线围成的图形绕绕 y 轴旋转一周所得体积轴旋转一周所得体积.(1)求交点作图：求交点作图：2xy dyvy 4022 yx2xy 2 o24)4 , 2()0 , 2(2 x 0242 0 22yxyxyxxy和和02 yx，222)( y.8)4(40 dyy(2)14三、旋转体的体积三、旋转体的体积（例题）（例题）例例3.由曲线围成的图形由曲线围成的图形绕绕 x 轴旋转一周所得体积轴旋转一周所得体积.(1)作图：作图：）（baabyx 0 )(222 aaxdxxabv222)( 22xaby yxa oba22xaby

10、 (2) aadxxab224 aadxxab222)( .2822022badxxaba 15练习题练习题.)3()2()1(121)0( . 12旋旋转转体体体体积积轴轴旋旋转转一一周周所所成成围围的的绕绕上上述述所所围围成成的的平平面面图图形形的的切切线线方方程程；过过切切点点的的坐坐标标；切切点点，试试求求：为为轴轴所所围围成成的的图图形形的的面面积积它它与与曲曲线线及及处处作作一一条条切切线线，使使上上某某点点在在曲曲线线xaaxaxxy 121221202 aadxxsayxo2xy ),(2aaaa2a222)(2aaxyaxaay aaaxdxaaxdxxv222022)2()

11、( 跳过练习跳过练习16练习题答案练习题答案.30)1(2)(12)(2),(. 1121 12 43221)0 ,2(2)(22)(),(. 1212022333202222 旋旋转转体体体体积积为为，切切线线方方程程为为的的坐坐标标为为切切点点故故面面积积为为轴轴及及切切线线围围成成的的，曲曲线线与与轴轴的的交交点点为为切切线线与与；，即即切切线线方方程程为为，切切线线斜斜率率为为的的坐坐标标为为设设切切点点dxxdxxxyxyaaaaaaadxxxaxaaxyaxaayaafaaaa17练习题练习题.101 . 22值值达达到到最最小小，并并求求出出最最小小的的值值，使使试试确确定定，且

12、且围围成成的的图图形形面面积积为为它它们们与与直直线线，围围成成的的面面积积为为与与曲曲线线设设直直线线baaabxaxyaxy yxo2xy axy a11 x 12)(adxaxxb adxxaxa02)(跳过练习跳过练习18练习题答案练习题答案.622)22(022)22(.22021.3123)23()32( )()(. 222231230321202 ssasaasaaaxxxaxdxaxxdxxaxbasaaaaa有有最最小小值值：19设有半径设有半径为为r，长为，长为l的一段刚性血管，两端的一段刚性血管，两端的血压分别为的血压分别为p1和和p2 在血管的横截面上距血管在血管的横截

13、面上距血管中心中心 r 处的血流速度为，处的血流速度为，求在单位时间内流过该横截面的血流量求在单位时间内流过该横截面的血流量q.用微元法表示：用微元法表示：四、定积分在医药学上的应用四、定积分在医药学上的应用 1. 1. 血管稳定流动时的血流量血管稳定流动时的血流量rdrrvdq 2)( rrdrrvq02)( )(4)(2221rrlpprv 22)(rdrrs rdrds 2 drrr2)(2drrdr 20四、定积分在医药学上的应用四、定积分在医药学上的应用2. 2. 染料稀释法确定心输出量染料稀释法确定心输出量q心输出量是指每分钟心脏泵出的血液容积心输出量是指每分钟心脏泵出的血液容积，

14、在生理学实验中常用染料稀释法测定把在生理学实验中常用染料稀释法测定把m0mg染料注入受试者静脉或心脏右侧，染料将随血液染料注入受试者静脉或心脏右侧，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，然后再返回心脏进入动循环通过心脏到达肺部，然后再返回心脏进入动脉系统一般在脉系统一般在30s内染料就会从动脉中流完内染料就会从动脉中流完自染料注入后便开始对外周动脉血液中的染自染料注入后便开始对外周动脉血液中的染料浓度进行料浓度进行30s连续监测，得到连续监测，得到动脉血液中的染料动脉血液中的染料浓度浓度c=c(t),0t30及及30s内动脉血液中染料的平均内动脉血液中染料的平均浓度浓度.20cmq 故故心心输输出

15、出量量 300)(301dttcc21四、定积分在医药学上的应用四、定积分在医药学上的应用 3. 3. 垃圾对水源污染的蓄积作用垃圾对水源污染的蓄积作用垃圾的有毒物质从埋藏点逐渐向水源扩散，垃圾的有毒物质从埋藏点逐渐向水源扩散，埋藏一个月后有毒物质开始浸入水源当水中有埋藏一个月后有毒物质开始浸入水源当水中有毒物质的浓度达到毒物质的浓度达到10个单位时，该水就不能饮个单位时，该水就不能饮用用若已知有毒物质的浸入速率为若已知有毒物质的浸入速率为，12)( tttv10)(1 tdttv ttdttdttv112)().(37.12)(413.1485年年月月 et求该水源还能饮用多久？求该水源还能

16、饮用多久？设该水源还能饮用设该水源还能饮用t个月，个月， 则由则由可得可得10ln2ln21 ttt22五、连续函数的平均值五、连续函数的平均值在实际中经常要计算函数的平均值，积分在实际中经常要计算函数的平均值，积分中值定理给出了计算中值定理给出了计算连续函数平均值连续函数平均值的公式：的公式： badxxfabfy)()(1)( .1,112上的平均值上的平均值在区间在区间求函数求函数 xy.32)1()1(11112 dxxy例例1.解：解：23五、连续函数的平均值五、连续函数的平均值例例2. badxxfabfy)()(1)( 600)(0601dttcc601 ，即，即上连续上连续，在

17、在，故，故因因600)(25)5(tcc .60,0.605,25;50 ),10()()5(上的平均值上的平均值在区间在区间求函数求函数 tettttctk解：解：.62.11）单位单位（ml 605)5(25dtetk 50)10(dttt24六、平面曲线弧长六、平面曲线弧长曲线曲线y=f(x) 在区间在区间a, b上的弧长：上的弧长：22)()(dydxds babadxxfdxys22)(1)(1yxdsdxdyoaxdxx b)( ,)()(21ttttytx dtttds22)()( dtttstt 2122)()( 故故因因dxxfdxy22)(1)(1 22)()(dxydx

18、25七、变力沿直线所作的功七、变力沿直线所作的功设物体在变力设物体在变力f(x)的作用下，沿的作用下，沿 x 轴从轴从 x=a移动到移动到 x=b在在a,b内任取一点内任取一点 x，把，把 x 处的变力处的变力近似看作小区间近似看作小区间x,x+dx上的常力，得到所做功的上的常力，得到所做功的微元微元dxxfdw)( badxxfw)(则所求则所求变力做的功变力做的功为为其中，变力其中，变力f(x)是位移是位移 x 的函数的函数26七、变力沿直线所作的功七、变力沿直线所作的功例例.已知某弹簧每拉长已知某弹簧每拉长0.02米要用米要用9.8牛顿的力，牛顿的力，求把该弹簧拉长求把该弹簧拉长0.1米所作的功米所作的功.由实验知道，弹簧拉伸所需的力由实验知道，弹簧拉伸所需的力f(x)与伸长与伸长量量 x 成正比，即成正比，即.)(kxxff