-学年新指导同步北师大版高中数学必修4第3章三角恒等变换第3节

1、§3二倍角的三角函数课后篇 巩固探究a 组基础巩固sin2.1.如 tan = 3,就cos2的值等于 .a.2b.3c.4d.6解析 sin2. = 2sin.cos.2sin.cos2 .cos 2.=cos.= 2tan = 6.答案 d2.1+ cos100 ° -1-cos100 °等于 a. -2cos 5°b.2cos 5°c.-2sin 5°d.2sin 5°解析 原式 = 2cos250 ° - 2sin2 50°= 2 cos 50° -sin 50° 22= 2c

2、os50 ° -sin50 ° 22= 2sin45 ° -50° =- 2sin 5° .答案 c2483. cos17 ·cos17 ·cos17 ·cos17 的值为 1111a. 2b.4c.8d.16解析 乘以sin 17,利用倍角公式化简得sin17116 .答案 d3111124.已知<< 2,化简 +2 +cos2.的结果为 222.a. sin 2b. -sin2.c.cos2d.-cos2解析33.< < 2,<24< 0,cos > 0,cos.22

3、< ,+原式 =1211+cos2.1+2221 cos2.21+cos.2 .= 2= cos 2 =- cos2 .答案 d245.如 sin 2= 25 ,0< < 2 ,就2 cos 4 -.的值为 11175a. 5b. -5c.±d.525解析 sin + cos 2= 1+ sin 2= 49 ,由于 0< < 72 ,所以 sin +cos = 5,27就2cos4 -. = 2 × 2 cos +sin = 5.答案 d6.如sin.+cos.sin.-cos. =12 ,就 tan 2= 3344a. -4b.4c.-3d.

4、3解析 等式 sin.+cos.= 1左边分子、分母同时除以cos 明显 cos 0, 得tan.+11sin.-cos.2tan 2= 2tan. = 3 .tan.-1 =2,解得 tan =- 3,1 -tan 2.4答案 b7.已知 sin 4 -.=答案 72535, 就 sin 2x=.6228.定义运算ab=a-ab-b , 就 sin6cos =.解析 原式 = sin22-113-6-sin 6·cos6 -cos 6 =- cos3答案 -1 -32 sin3 =- 24 .249.求以下各式的值:2cos 2 .-11;2tan 2 4 -.sin4+.223

5、tan 15° +tan215°3sin 10 ° sin 30° sin 50°sin 70 °.解 1原式 =cos2.2tan 2 4 -.cos2 -4 -.=cos2.2tan 2 4-.cos4-.=cos2.2sin -. cos -.44cos2.4 -2.= sin 2×.cos2.= 1.cos2.2原式 = 3tan 30°1 -tan215° + tan215°=31 -tan215+ tan215= 1.3 ×°°33 方法一 sin 10

6、° sin 30° sin 50° sin 70°1= 2 cos 20°cos 40° cos 80° =2sin20 ° cos20 ° cos40 °cos80 °4sin20 °=sin40 ° cos40 °cos80 °4sin20 °=sin80 °cos80 °1sin160 °18sin20 °= 16 ·° = 16 .sin20方法二 令 x= sin 1

7、0° sin 50° sin 70° , y= cos 10° cos 50° cos 70° .就 xy= sin 10° cos 10° sin 50° cos 50° sin 70° cos 70°111= 2 sin 20° ·2 sin 100° ·2sin 140°1= 8 sin 20° sin 80°sin 40 °1= 8 cos 10°cos 50° cos

8、 70°1= 8 y.y0,x= 18.从而有 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° = 11610.导学号93774097 已知函数f x= 2cos xsin x-cos x,x r .1 求函数 f x图像的对称中心;2 求函数 f x在区间 8 ,34 上的最小值和最大值.解 1f x= 2cos xsin x-cos x= sin 2x- cos 2x- 1=2sin2.- 4 -1.令 2x-4 =k ,k z ,得 x=. 2 +8 ,k z,+因此 ,函数 f x的图像的对称中心为 . 28 ,-1 ,

9、k z . 33 32由于 fx= 2sin 2.- 4 -1 在区间 8 , 8 上为增函数 ,在区间 8 , 4 上为减函数 ,又 f 333 8 =- 1,f 8 = 2-1,f4 = 2sin 2 - 4 -1=- 2cos4 -1=- 2,故函数 f x在区间 ,834 上的最大值为2 -1,最小值为 -2.b 组才能提升2cos 2 .-.11. 2 可化简为 2tan4 -.sin4 +.a.1b. -1c.cos xd.-sin x解析 原式 =cos2.2tan 2 4 -.cos4-.cos2 .=sin -.2 ·4cos 2-.4cos -. 4cos2.=

10、2sin 4-.cos 4-.cos2.= sin = 1.2 -2.答案 a2.如 cos =-45 ,是第三象限的角,就1 -tan .2 = 21+tan .113a. 2b. -2c.5d.-21- tan .解析2 =.cos- sin 221+tan .cos .+sin .222 cos.2 -sin 2=.cos 2+sin 2.2cos.=1+sin., cos2 +sin 2由于 cos =- 4,且 是第三象限的角,5所以 sin =- 3,故1-tan .2 =-45 =- 2.51+tan .21- 35答案 dcos2.3.如=-sin .- 422 ,就 cos

11、+ sin 的值为. =解析 cos2.sin .- cos2 .-sin 2. sin.cos44-cos.sin42cos.+sin. cos.-sin.=sin.-cos.2=- 2cos + sin =- 2 ,.cos + sin = 12答案 1214.已知角 ,为锐角 ,且 1-cos 2= sin cos ,tan-= 3,就 =.解析 由 1-cos 2= sin cos ,得 1-1-2sin2 = sin cos ,即 2sin2= sin cos .为锐角 ,sin 0,.2sin = cos , 即 tan = 12tan.-tan.tan.-1方法一 由 tan-=

12、1+tan.tan.=121+ 2tan.1= 3 ,得 tan = 1.为锐角 ,= 4 .tan .-.+tan.方法二 tan = tan-+ = 1-tan .-.tan.1+ 1= 32= 1.1 -1 ×132.为锐角 ,= 4答案431235.如2 < < < 4 ,cos- =13 ,sin + =- 5,就 sin + cos 的值为.解析 由题意得0< -< 35 44 ,< + < 2 ,就 sin -= 13 ,cos+ =- 5 ,sin 2= sin + + - = sin + ·cos-+ cos+ s

13、in-=- 5665sin + cos 2= 1+2sin cos = 1+ sin 2 9=65 . > 0,又 sin + cos = 2 sin.+ 4.sin + cos = 36565答案 3 656516.如 fx= cos 2x-2a1 + cos x的最小值为 -2,就 a=.解析 fx= cos 2x-2acos x-2a= 2cos2x- 2acos x- 2a-1,令 t= cos x,就-1 t 1,函数 fx可转化为y= 2t2-2at-. 2.2.132a- 1= 2.- 2 -2 -2a-1,当2 >1,即 a> 2 时,当 t= 1 时,ymi

14、n= 2-2a-2a-1=- 2 ,解得 a= 8 ,不符合 a> 2,舍去 ;当.12 <- 1,即 a<- 2 时,当 t=- 1 时,ymin= 2+ 2a-2a- 1= 1-2,不符合题意 ,舍去 ;当-1. 1,即 -2 a 2 时,当 t=22时,y.21min=-2 -2a-1=- 2 ,解得 a=- 2±3,由于 -2 a 2,所以 a=- 2+ 3 .综上所述 ,a=- 2+ 3.答案 -2+3124.7.导学号 93774098 已知 sin = 13 ,sin+ = 5 ,均为锐角 ,求 cos2 的值 .解 0< <2.=52 ,

15、cos = 1-sin0< <13 ,2 ,0< < 2 ,0< + < .如 0<+ < 2 ,sin + < sin ,+ <, < 0,与已知冲突 ,32 < +< ,cos+ =- 5 ,cos = cos + - = cos+ cos + sin + sin =- 3 × 541233+×=.又.513513650 , ,24cos.1+cos.7652 = 2=65 .8.已知函数fx= 4tan xsin 2 -.·cos.-3 -3.1 求 fx的定义域与最小正周期; 2 争论 fx在区间 - 4 , 4 上的单调性 .解 1f x的定义域为 .|.+ . ,.z .2fx= 4tan xcos xcos.- 3 -3= 4sin xcos.- 3 -313= 4sin xcos.+sin. -322= 2sin xcos x+ 23sin 2x-3= sin 2x+ 31-cos 2x-3= sin 2x-3c