数列考前复习要点讲解

1、数列考前复习要点讲解考点 1 ：由 an 与 Sn 的关系求通项an例 1：已知数列 an 的前 n 项和 Sn， Sn 3n b.求 an 的通项公式。类题通法 : 已知数列 an 的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 a1 S1 求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用an Sn Sn 1( n 2)便可求出当 n2时 an 的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合n 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n 1 与 n2 两段来写训练 1：已知各项均为正数的数列

2、an 的前 n 项和满足Sn>1，且 6Sn (an 1)(an 2)，n N * ，求 an 的通项公式考点 2：由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：1 形如 an 1 anf n ，求 an； 2 形如 an 1 an f n ，求 an；n 1 Aan B A 0 且 A 1 ，求 an.3 形如 a角度一形如 an 1 anf( n)，求 an例 2： (2012 ·全国卷 II) 已知数列 an 中， a1 1，前 n 项和 Sn

3、 n 2an.(1)求 a2， a3； (2)3求 an 的通项公式角度二形如 an 1 an f(n)，求 an例 3：已知 a1 2， an 1 an3n 2，求 an.角度三形如 an 1 Aan B(A 0 且 A1) ，求 an例 4：已知数列 an 满足 a1 1， an 1 3an 2，求 an.类题通法 : 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an 1 an f(n)或 an 1f(n) ·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二 )，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形， (如

4、角度三 )转化为特殊数列求通项考点 3：等差数列的判断与证明等差数列的四种判断方法(1)定义法： an 1 an d(d 是常数 )? an 是等差数列(2)等差中项法：2an 1 an an2 (n N* )? an 是等差数列(3)通项公式： an pn q(p， q 为常数 )? an 是等差数列(4)前 n 项和公式： SnAn2 Bn(A、 B 为常数 )? an 是等差数列例 5：已知数列 a，且满足 a 1，a 2S *) (1)n 的前 n 项和为 Sn12nnSn 1(n 2且 n N求证：数列1 是等差数列(2)求 Sn 和 an.SnSn 1变式：若将条件改为“a12，

5、Sn 2Sn1 1(n 2)”，如何求解.类题通法 :1 判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an 1 an d 和 an an 1 d，但它们的意义不同，后者必须加上“n 2”，否则 n 1 时， a0 无定义训练 2：在数列 an 中， a1 3， an 2an 1 2n 3(n 2，且 n N* )(1) 求 a2，a3 的值； (2) 设 bnan 3*)，证明： bn 是等差数列2n (n N考点 4：等比数列的三种判定方法(1)定义：an 1*)? an 是等比数列 q

6、(q 是不为零的常数， nNan(2)通项公式： an cqn 1(c、 q 均是不为零的常数， n N* )? an 是等比数列n21 an·an 2 nn1 n 2 0， nN *n(3)等比中项法： a(a ·a·a)? a 是等比数列2 等比数列的常见性质(1)若 m n pq 2k(m， n， p，q， k N* )，则 am·an ap·aq ak2；1an(2)若数列 an 、 bn( 项数相同 )是等比数列，则 an、 an、 an2 、 an ·bn 、 bn( 0)仍然是等比数列；(3)在等比数列 an 中，等距离

7、取出若干项也构成一个等比数列，即an， an k， an 2k， an 3k，, 为等比数列，公比为qk；(4)公比不为1 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n 仍成等比数列，其公比为 qn，当公比为 1 时， Sn， S2n Sn， S3n S2n 不一定构成等比数列分类讨论思想： 在应用等比数列前 n 项和公式时， 必须分类求和， 当 q 1 时，Sn na1；当 q 1 时， S a11 qn ；在判断等比数列单调性时，也必须对a 与 q 分类讨论n1 q1例 6：设等比数列 an 的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3 2

8、，S4 5S2，求 an 的通项公式3.等比数列的判定与证明例 7：已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an Sn n.(1) 设 cn an1，求证： cn 是等比数列； (2) 求数列 an 的通项公式变式 2：在本例条件下， 若数列 bn 满足 b1a1 ，bn an an1(n2), 证明 bn 是等比数列 .类题通法 : 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定； 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2an 1训练 3：(2013 ·辽宁省五校联考 )已知数列 an 满足： a11，a2 a(a0)

9、，an 2p·an(其中 p 为非零常数， n N * )(1)判断数列 an 1是不是等比数列；(2)求 an.an考点 5：数列求和1 等差数列的前n a1 ann n 1d；n 项和公式 :Sn2 na12na1， q 1，2 等比数列的前n anqa1n， q1.n 项和公式 :Sa11q1 q1 q3 一些常见数列的前n 项和公式(1)1 2 3 4 , nn n 1 ； (2)1 3 57, 2n 1 n2；2(3)2 4 6 8 , 2nn2 n.1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点

10、2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于1两种情况求解数列求和的常用方法(1)倒序相加法： 如果一个数列于同一个常数， 那么求这个数列的前用此法推导的 an 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干

11、个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减(5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an ( 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解分组转化法求和例 8：已知数列 an 的首项 a1 3，通项 an 2npnq(n N* ， p， q 为常数 )，且 a1， a4，a5 成等差数列求：(1)p， q 的值；(2)数列 an 前 n 项和 Sn 的公式类题通法 : 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bn±cn，且 bn ， cn 为等差或等比数列， 可采用分组求和法求 an 的前 n 项和；(2)bn， n

12、为奇数， bn ， cn 是等比数列或等差数通项公式为an的数列，其中数列cn， n为偶数，列，可采用分组求和法求和错位相减法求和例 9：(2013 ·山东高考 )设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S4 4S2，a2n 2an1.(1)求数列 an 的通项公式；b1 b2, bn 1 1n* ，求 b(2)若数列 bn 满足 a1 a2an2 ， n Nn 的前 n 项和 Tn.类题通法 : 用错位相减法求和的注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出 “Sn ”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“

13、Sn qSn”的表达式训练 4： (2014 ·昌联考武 )已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2an 1；数列 bn 满足bn 1 bn bnbn 1(n2， n N* )， b1 1.(1)求数列 an ， bn 的通项公式； (2) 求数列an的前 n 项和 Tn.bn裂项相消法求和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an 的通项公式，达到求解目的归纳起来常见的命题角度有：(1) 形如 an1型； (2)形如 an1n 12型n n kn k n型； (3)形如 an 2n n 2角度一 形如 an1

14、型n n k例 10：在等比数列 an 中， a1>0 ， nN * ，且 a3 a2 8，又 a1、 a5 的等比中项为 16.(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn log 4an，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数k，使得 1 1 1 , S1S2 S31<k 对任意 nN * 恒成立若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由Sn角度二 形如 an1型n k n例 11：(2014 ·浙江 )已知函数 f(x) xa 的图像过点(4,2)，令 an1，n N* .记数f n 1 f n列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S2 013

15、 ()A. 2 0121 B.2 013 1C.2 014 1D. 2 014 1角度三 形如 a 2n 12型nnn 2例 12： (2013 ·江西高考 )正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： S2n (n2 n 1)Sn (n2 n)0. (1) 求数列 an 的通项公式 an；n 1*5(2)令 bnn 2 2an2，数列 bn 的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的n N，都有 Tn<64.类题通法 : 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开

16、的两项之差和系数之积与原通项相等如：若 an 是等差数列，则11 11 1，1 11 1.anandaan 1anan2 2danan 2n考点 6：数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题例 13：(2013 ·全国卷 )已知等差数列 an 的公差不为零， a1 25，且 a1， a11，a13 成等比数列(1)求 an 的通项公式； (2)求 a1 a4 a7, a3n 2.类题通法 : 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析

17、运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解训练 5：在等比数列 an( n N * )中，a1 >1，公比 q>0，设 bn log2an，且 b1 b3 b5 6，b1 b3 b5 0.(1)求证：数列 bn 是等差数列；(2)求 bn 的前 n 项和 Sn 及 an 的通项 an.数列与其他知识的交汇数列在高考中多与函数、不等式、 解析几何、 向量交汇命题， 近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇 .归纳起来常见的命题角度有： 1 数列与不等式的交汇；2 数列与函数的交汇；3 数列与解析几何的交汇.角度一数列与不等式的交汇例 14：(2014 ·湖北七市模拟)数列 an 是公比为1的等比数列，且21 a2 是a1 与1 a3 的等比中项，前 n 项和为 Sn；数列 bn 是等差数列， b1 8，其前 n 项和 Tn 满足 Tn n·bn1(为常数，且 1)(1)求数列 an的通项公式及 的值；(2)比较1 11,1 与1Sn 的大小T1 T2 T3Tn 2类题通法 : 数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，