数学《平均变化率》教案(新人教A版1)

1、平均变化率一 . 教材依据平均变化率二 . 设计思想指导思想 ：（ 1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法设计理念： 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数随着对函数的深入研究，产生了微积分导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要正如数学课程标准（实验）解读中所说的，以前是， “先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象

2、，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎 ”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念在设计这节课时，我把重点放在（ 1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义； （ 2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法学情分析： 我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两

3、学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况另我校一节课是 40 分钟 .三 . 教学目标1. 通过实例， 让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念及其计算步骤， 体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3. 掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4. 通过分析实例， 初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法四 . 教学重点1. 通过实例， 让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均

4、变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；五 . 教学难点1.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，径增加得越来越慢？”气球的半2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六 . 教学准备1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2. 向有经验的同事请教；3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方七 . 教学过程1. 教学基本流程：通过实例分析，激发求知欲学生思考、讨论，提出想法得出平均变化率的概念通过例题和练习，进一步理解函数平均变化率小结布置作业2. 教学情景设计备注（练问题设计意图师生活动习、时间（分钟）（

5、 1）学生先阅读， 思考，老师再提示；让学生对这章书先有（ 2）章引言：以简洁的话语指（ 1）让学生阅读明函数和微积分的关系，微积分的研一个大概认识，从而章引言，并思考章究对象就是函数，正是对函数的深入使学生学习有了方3引言写了几层意研究导致了微积分的产生；从数学向，能更好地进行以思？史的角度，概括地介绍与微积分创立下学习密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家； 概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值（ 2）气球膨胀率（ 1）让学生吹气问题：球，可以增加（3）学生演示吹气球过程，谈过老师准备了两个课堂气氛，同程，老师点评气球，请两位同学时加深学习（4）得出结论：随着气球内空气容2.5

6、出来吹，请观看同导数的印象量的增加，气球的半径增加得越来越学谈谈看见的情（ 2）对一种生活慢景；再请吹气球同现象的数学学谈谈吹气球过解析，可以激程的感受，开始与发学生深入结束感受是否有探究的兴趣，区别？而且让学生感到数学是有用的 .（ 1 ）让学生充分思考、讨论，体会把通俗语言转化为数学语言，用数字说明问题（ 3）现象“随着的过程 .气球内空气容量（ 2）使学生感受到数的增加，气球的半学知识的产生发展是径增加得越来越自然的，并非强加于慢”，从数学的角人的，从而激发他们度该如何描述？学习的兴趣与愿望.（ 3）使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法 .（）组织学生讨论问题，阐述想法；（）引导学

7、生“以已知探求未知” ，从气球体积出发，寻求想法；（）师生共同确定想法：气球体积V 与 气 球 半 径r之 间 的 关 系r (V )33V；随着气球体积的4增大，当气球体积增加量相同时，相4应半径的增加量越来越小，从数学角度进行描述就是，“ 随着气球体积的半径的增加量增大，比值越来越体积的增加量半径的增加量小”比值就是气体积的增加量球的平均膨胀率（ 1）让学生体会需要（ 4）请分别计算用数字来说明问题；从增加到（ 2）让学生感受气球时，从增加（1）学生计算， 交流计算结果， 并膨胀率大小的变化，2.5到的平均膨讨论结果代表的意思；从而体会平均膨胀率胀率 .可以刻划气球半径变化的快慢让学生体会

8、从特殊到（ 5） “思考”一般，从具体到抽象的思考过程 .（6）高台跳水问（1）老 师 可 以 表题：演从凳子上跳下来，在高台跳水运动模拟高台跳水，以加中，运动员相对于深学生学习导数这一水面的高度h（单章的印象，使学生学当空气容量从V1 增加到 V2 时，气球的平均膨胀率是 r (V2 )r (V1 )0.5V2V1引 导 学生 列 出关系 式 ：h(t)=-4.9t2 +6.5t+102位： m）与起跳后习完本章知识后，能的时间 t （单位：在头脑中保留一个导s）存在怎样的函数的实际模型高数关系？台跳水，以使抽象概念具体化；（2）针对具体问题，寻求解决问题的方法 .（ 7）如何计算运动员的平

9、均速度？并分别计算 t .5， 1再次通过计算，理解 t 2 ， 1.8 t平均变化率 . 2， 2 t 2.2 ，时间段里的平均速度 .（ 1）该探究题的第一问的结果是平均速度为 0，但实际上并不是这样，问题在哪里？（ 2）这个探究设计得好，为以下提出导数概念做了铺垫.（ 3）这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要（ 8）思考“探究”.性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.（ 4）让学生就此探究进行思考、展开讨论，激发他们的认知需求，自然地进入导数概念的学习 .（ 1）函数的平均变化率既是本节难点，也（ 9）引出函数平 是重点

10、. 要详细给学均变化率的概 生分析；念找出求函数平 （ 2）让学生在经历从均变化率的步骤 . 实例到抽象概括出变化率的过程中，感受数学的思想，认识数学生计算，交流计算结果，并讨论结2果代表的意思（ 1）让学生亲自计算和思考， 展开讨论；（ 2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上 .（ 3）得到结论是： 平均速度只能粗7.5略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态 . 需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（1）师生一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：求自变量的增量x=x2-x 1；求函数的增量3f=f(x 2)-f(x 1) ；求

11、平均变化率ff ( x2 )f ( x1 ) .xx2x1学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念 .（ 3）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.（ 1 ）要增加一些实例，丰富导数概念的实际背景，让学生加深印象 .（ 10）补充实例（ 2）学生初次接触平1，练习均变化率及其符号表示，多举例子让学生巩固对这个概念的理解 .（ 1）要提问学生，让学生学会自主小结，（ 12）让学生进行自主学习 .课堂小结 .（ 2）最后老师加以补充与完善 .（ 3） 注意： x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘； x2= x 1+x； f=y=y 2-y 1；（）老师板书一个例过程

12、；（）请个别学生出黑板写过程（）老师讲评（1） 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；（2） 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；（3）函数的平均变化率的概念ff (x2 )f (x1) ；x x2 x1（ 4） 求函数的平均变化率的步骤；（ 5） 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？（ 6） 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念122.5（ 13）作业： 看书，复习今天内（ 1）当天知识，当天容；思考问题：消化，是很重要的，如何能更精细地故要求学

13、生当天做好刻画运动员的运复习；学生课后完成 .0.5动状态？需要增（ 2）预习新内容同样加什么量？做是学习的一个重要环书 P86A1；预习 节 .下节内容 .补充实例例 在经营某商品中，甲挣到 10 万元，乙挣到 2 万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式： 在经营某商品中，甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？例情境：现有南京市某年 3月和 4 月某天日最高气温记载 .时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4观察：3月18日到 4月 18日与4月18日到 4 月 20 日的温度变化，用曲线图表

14、示为：温度T ( )C (34, 33.4)3020B (32, 18.6)10A (1, 3.5)20210203034时间 t （d）思考1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？例水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积V(t)=5 × 2-0.1t（单位： cm3 ），计算第一个10s 内 V 的平均变化率例 4已知函数 f (x)x2 ，分别计算f (x) 在下列区间上的平均变化率：（1） 1，3；甲（ 2） 1，2；乙（ 3） 1，1.1 ；（ 4） 1，1.001.练习1、某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月，从第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率W(kg)118.66.53.536912T(月 )2、已知函数 f （ x） =2x+1， g（ x） = 2x，分别计算在区间-3， -1， 0， 5上 f（ x）及 g（ x）的平均变化率思考： y=kx+b