数学练习题考试题高考题教案高考解答题专题训练三立体几何参考答案

1、1 （）证明：连结BD交 AC 于E，连结 ME.ABCD 是正方形，E是BD的中点 . M 是 SD 的中点，ME 是DSB 的中位线 . ME / SB. 又 ME平面ACM，3 分又 SB平面 ACM ， SB / 平面 ACM .4 分（）解：取 AD 中点 F ，则 MF / SA. 作FQAC 于 Q，连结 MQ .5 分 SA底面 ABCD ， MF底面 ABCD . cosAS, nAS n13,| n | 133| AS|二面角 DACM 的大小为 arccos3 9分113（III ）AM,0,， CS1,1,1，22ACBC1CC2，ACBC，AC、 BC、CC1 两两垂

2、直.如图， 以 C 为原点， 直线 CA， CB， CC1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 C (0，0，0)，A(2，0，0)， B(0，2，0)，C1(0，0，2)，D(1，1，0).（）证明：设 BC1 与 B1C 的交点为 E ，则 E(011)，.， BCPA . 2 分同理 CDPA ， 4 分 PA平面 ABCD 5 分（）解：设 M 为 AD 中点，连结 EM ，又 E 为 PD中点，可得EM / PA ，从而 EM底面 ABCD 过M 作AC的垂线 MN ，垂足为 N,连结EN由三垂线定理有ENAC ，ENM 为二面角EACD 的平面角 .7 分

3、FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影 .FQAC , MQAC .FQM 为二面角 DACM 的平面角 .7分设 SAABa ，在 RtMFQ 中，z1 SAa , FQ1 DE2 a ，SMF2224aMN tan FQM22 .2Aa4DCx二面角 D AC M 的大小为 arctan2 .9 分（III ）证明：由条件有 DCSA, DCDA, DC平面SAD ， AMDC .10分又 SA AD , M 是 SD 的中点， AMSD. AM平面 SDC .11分 SC AM.由已知 SCMN , SC平面 AMN .又 SC 平面 SAC, 平面 SAC平面 AMN .方法二：解

4、：（ II ）如图，以 A为坐标原点，建立空间直角坐标系 O xyz ，5 分由 SA AB 故设 AB AD AS 1，则A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0),D (1,0,0), S(0,0,1), M ( 1 ,0, 1 )SA底面 ABCD ，22 AS 是平面 ABCD 的法向量， AS (0,0,1)设平面 ACM 的法向量为 n(x, y, z) ,AC(1,1,0), AM(1 ,0, 1),7 分22nACxy00,0,1则AM即 1x 0z0.n0.22yx,令 x 1 ,则 n(1,1,1) .AMCS11AMCS12 分202又SCAN且AN AMA

5、SC平面 AMN .又 SC平面 SAC,平面 SAC 平面 AMN .14 分2（）证明： 连结 BC1 ，设 BC1 与 B1C 的交点为 E ，连结 DE.D 是 AB的中点， E 是 BC1 的中点，DE / AC1 . . 3 分BDE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，yAC1 / 平面 CDB1. . 4 分（）解： 设点 B 到 平面 CDB1的距离为 h.在三棱锥 B1BCD 中，VB1 BCDVB B1CD ，且 B1B平面 BCD ，S BCDB1 BS B1CDh.易求得 S BCD1 ，S B1CD13 ，CD B1D2hS BCDB1B23 .S B1CD3即点

6、B 到 平面 CDB1的距离是23.9分3BC于点F，过（）解：在平面ABC 内作 DF点F作FGB1C 于点 G ，连结 DG .易证明DF平面 BCC1B1 ， 从而 GF 是 DG 在平面 BCC1 B1 内的射影，根据三垂线定理得B1C GD .DGF 是二面角 BB1CD 的平面角易求得DF11，ACC 12B 1GF1 BE2 .A 1E22在RtDFG中，GDFtDGFaC2n，FBGF二面角 BB1 CD 的D大小是 arctanA2.14分解法二：在直三棱柱 ABC 1A1B1中C，DE ( 101)， ， AC( 202)1， ，DE11.， DE ACAC /1在 Rt

7、EMN 中，可求得 EM2 ,DE平面 CDB1，AC121, MN平z面 CDB1，EM2AC1 / 平面 CDB1.C 1 tan ENM2 9 分B 1MN（）解：设点 B 到A 1二面角 EACD 的大小为 arctan 2平面CDB1 的距离E（）解：由 E 为 PD 中点可知 , 要使得点 E 到平为 h .在三棱 锥G面 PAF 的距离为 25 ，即要点 D 到平面 PAF 的B1 BCD中，FVB1BCDVBB1CDCBy5D，且 B1B平面 BCD ，距离为 45 .过 D作AF的垂线DG，垂足A5S BCDB1 BS B1CDhx为G,PA平面 ABCD ，平面 PAF平面

8、易求得ABCD ， DG平面 PAF ，即DG为点 D到1S B1 ，CBC， CD 3DBDDS14512平面 PAF 的距离 . DG，hS BCDB1 B23 .52 5S B1CD3 AG 12 分235即点 B 到 平面 CDB1的距离是设 BFx ，由ABF 与DGA 相似可得3. .9分BC于点F，过ABDG2（）解：在平面 ABC 内作 DF2 ，即 x 1，点F作FGB1C 于点 G ，连结 DG .BFGAx易证明DF平面 BCC1 B1 ， 从而 GF 是 DG 在平在线段 BC 上存在点 F ，且 F 为 BC 中点，使得点25 面 BCC1 B1 内的射影，根据三垂线

9、定理得B1CGD.E 到平面 PAF 的距离为DGF是二面角 BB1CD 的平面角 .5易知解法二：（）证明：同解法一（）解：建立如图的空间直角坐标A xyz ，1，1 ，111 ， ，GGF0，-1，GD1， -F(0 1 0)02222则 A(0，0，0)，C( 2，2，0)，E(0，1，1) .2 2cos GF，GDGF GD3 .设 m( x, y, z) 为平面 AEC 的一个法向量，GF GD3则 mAE ， mAC 二面角 BB1 C3又 AE(0 ,1 ,1),AC(2 ,2 ,0),D 的大小是 arccos .yz0,31, 则 y1, z 1,2x2y令 x3解法一：0

10、.ABCD 为正方形，得 m(1,1, 1) 8 分（）证明：底面 BCAB ，又 BCPB ，又 AP(0,0,2) 是平面 ACD 的一个法向量， BC平面 PAB ，设二面角 EACD 的大小为，zx.则 coscos m, APm AP23 m AP3 23二面角 EAC D 的大小为 arccos32), n3（）解：设F (2，t，0)(0t(a,b,c) 为平面 PAF 的一个法向量，则nAP ， nAF 又 AP(0,0,2) ， AF( 2 ,t ,0),2c0,令 at ,则 b2, c0,2atb0.得 n (t , 2,0) 12 分又 AE(0 ,1 ,1),点E到平

11、面PAF的 距 离AE n2，22 5，nt 24t 245解得 t1 ，即 F (2，1，0) .在线段 BC 上存在点 F ，使得点 E 到平面 PAF 的距离为 25，且 F 为BC中点5GE平面 B1CD.xz.a,则m ( a, 1 a,a).GE平面 EB1D,平面 EB1 D平面 B1CD.1令zyz.22（ 3）连结 EF.CDB1C,GF / CD, GFB1 C.由于平面AEF的一个法向量为又 EG平面 B1CD,EFB1 C.B1 F(a, a,2a),EFG是二面角 EB1 CD的平面角 .13故设B F与 m 所成角为 .设正方体的棱长为a,则在EFG中a, EFa,

12、 GF212GF3a21 a22a2cos EFG.B1 F mEF3cos213.二面角的余弦值为3分| B1 F | | m |6E B1CD.6aa1332解法 2：如图建立空间直角坐标系A xyz.由于平面 AB 1E 与平面 AEF 所成的二面角为锐二则 A （ 0， 0，0）， B（ 2a， 0，0） ,C(0 ，2a， 0)面角，二面角 BAEF 的平面角的余弦值1A 1（ 0，0，2a）， B（ 2a，2，2a）， C1（ 0，2a，为 12a）（ 1）取 AB 的中点 H，连结 CH.二面角 B1AEF的正切值为 5 .6E (0,2a, a), D (a,0, a), H

13、(a,0,0)为二面角 E PFB 的平面角11 分PB BF2, Rt PBF 中， BM5PF tan EMBEB5 13 分BM2B-xyz,如图，解法二：建立空间直角坐标系则 B 0,0,0 ,A 2,0,0 , C 0,2,0，D 1,1,0，E 1,0,0 ， F0,1,0 ， P 0,0,2 .（） EF1,1,0 ， PD1,1,2 ，EF PD1 10EF PD . 4 分（）由已知可得， EF1,1,0 为平面 PBD 的法向量， PF0,1,2 , cos PF , EFPFEF110 ，PFEF1010直 线 PF 与面 PBD 所成角的正弦值为10 .10直 线 PF

14、 与面 PBD 所成的角为 arcsin 10.10（）设平面PEF 的一个法向量为ax, y, z，4解法 1：（ 1）取 A 1D，则 A 1D/B 1C知， B1C 与DE 所成角即为 A1D 与 DE 所成角，连结A 1E.由正方体 ABCD A 1B 1C1D1，可设其棱长为a，则A1D2a, A1 EDE5 a,2cosA1D2DE 2A1E210分A1 DE.32 A1D DE5（ 2）取 B 1C 的中点 F， B 1D 的中点 G，连结 BF， EG，GF.CD 平面 BCC1 B1,且BF 平面 BCC1B1 DC BF.又 BF B1C,CD B1C C ,BF平面 B1

15、CD. GF1CD ，BE1CD ，22 BEGF，四边形BFGE 是平行四边形， BF/GE.CH (a, 2a,0), ED (a, 2a,0), CH / DE. CH 平面 ABC,而DE平面 ABC.4分DE / 面 ABC(1) B(2a,0,0), C(0,2a,0), F (a, a,0).B1 F( a, a,2a), EF(a,a,a), AF(a, a,0).B1 FEF(a)aa( a)(2a)(a) 0,E1F AF( a) aa a(2a)00,B1 FEF, B1FAF.EFAFF ,B1 F平面AEF .分)(8（ 3）设平面 AB 1E 的一个法向量为m( x

16、, y, z)AB1( 2a,0,2a), AE(0,2a, a),m AB12ax2az0, mAE2ay az 0,解法一 （） 连结BD在 ABC中，B90 .5: ABBC ，点 D 为 AC 的中点， BDAC PB面ABC,即 BD 为 PD在平面 ABC内的射影， PDAC 2 分 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点 , EF / AC , EFPD 4 分（） PB 平面 ABC, PBEF 连结 BD 交 EF 于点 O， EFPB， EFPD EF平面 PBD ，FPO 为直线 PF 与平面PBD 所成的角， EFPO .6 分面 ABC, PBAB，PBBC ，. P

17、B又PAB45 ， PBAB2 . OF12BF 25 ，AC， PFPB242在 Rt FPO 中， sinFPOOF10，PF10 FPOarcsin10 8 分10（）过点 B 作 BMPF 于点 F，连结 EM ， ABPB, ABBC, AB平面 PBC, 即 BM为 EM在平面 PBC内的射影， EMPF ，EMB EF1,1,0， PF0,1,2 aEFx y 0 ， a PFy 2z 0 ， 令z1，a2,2,1 由已知可得， 向量 BA2,0,0为平面 PBF 的一个法向量， cosa , BAa BA42 ，a BA323 tana , BA5.2二面角 EPFB 的正切值

18、为5. 14 分26证明：（） PA底面 ABCD ， PABC 又 AB BC， PAABA ， BC 平面 PAB 又 BC平面 PCB ，平面 PAB 平面 PCB （） PA底面 ABCD ， AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影 又 PC AD ， AC AD在梯形 ABCD中，由 ABBC， AB=BC，得BAC，4P DCABACN H4又 AC AD， 故AED A C为等腰直角三角形MDC DC2 AC22 AB2AB 连接BD，交 AC于点M ，则 DMDC2.在 BPD 中， PEDMMBAB2， PD / EMEBMB又 PD 平面 EAC， EM 平面 EAC

19、，PD 平面 EAC（）在等腰直角PAB 中，取 PB 中点 N ，连结AN ，则 ANPB 平面 PAB 平面 PCB ，且平面 PAB平面 PCB = PB ， AN平面 PBC 在平面 PBC 内，过 N 作 NH直线 CE 于 H ，连结AH ，由于NH 是 AH 在平面 CEB 内的射影，故AHCE AHN 就是二面角A CE P 的平面角12 分在 RtPBC 中，设 CBa ，则PBPA2AB22a ，BE1 PB2 a ， NE 1 PB2 a ，3366CECB 2BE 211 a ，3由NHCE，EBCB可知：NEH CEB， NH CB .代入解得： NHa NECE22

20、在 Rt2a ， tan AHN11 AHN 中， AN2ANNH即二面角ACE P 的大小为 arctan 11解法二：（）以A 为原点，AB, AP 所在直线分别B 为 y 轴、 z 轴，如图建立空间直角坐标系设 PAABBCa ，则A 0,0,0， B0,a,0，Ca, a,0P0,0, a， E0, 2a , a.33设 Da, y,0，则PCPa,a, a, ADa, y,0， CPAD ，N CPADa 2ay0 ，H解得： ya CEDC2AB B连结 BD，交 AC于点 M ，则 DMDC2.7分MBAB在 BPD 中， PEDM2 ，EBMBPD/EM 又PD平面 EAC，E

21、M平面 EAC， PD 平面 EAC（）设 n1x, y,1 为平面 EAC的一个法向量，axay0,则 n1AC, n1AE ，2ay a30.3解得： x1 , y1， n1( 1 ,1,1)2222设 n2x ', y ',1 为 平 面 EBC的一个法向量， 则n2BC, n2BE，又BC , 0a ,， 0a , a) ，ax '0,BE(0,ay 'a0,3333解得： x '0, y '1， n2 0,1,1 cos n1 , n2n1n2313分n1n26二面角 A CE P的大小为 arccos3 14分67法一：（I ）在直三

22、棱柱 ABCA1B1C1 中 , A1B1 / AB .BAC 是 A1B1 与 AC 所成的角 .2 分在 Rt ABC中， A BB,CA 9B 0C，BAC45.A1B1 与 AC 所成角为 45 .（II）取AC 中点 E，连结 DE,BE ，D是AC1的中 点，则DE/ AA.B11AA1平面A1ABC ，DE平面 ABC .则BE是BD在平FD面 ABC内的射影 .ABBC ,BBEAC.AEBDAC.同理可证BDB1C .8 分又 ACB1CC， BD平面 ABC1 .（III ）取 AB1中点 F ，连结 CF , BF ，AB BB1 ,BFAB1ACBC2,CFAB .11

23、则 BFC 为二面角 CAB1B的平面角 .12分在 Rt BFC 中， BF21, FBC90 ，2, BC则 tan BFC2. BFC = arctan2 .14 分即二面角 CAB B 的大小为 arctan2 .1法二：（ I）同法一 .（ II ）建立空间直角坐标系 Bxyz ，如图，则 B(0,0,0) ， A(1,0,0) ， C (0,1,0), B1 (0,0,1) ，A1(1,0,1)， D （1,1,1).6 分222则 BD(1, 1, 1) ，AC( 1,1,0), AB1(1,0,1) .222BD AC0, BD AB10 .8 分BDAC, BDAB1 ，且

24、ACAB1A .BD平面 ABC1.9 分（III ）BCBB1, BCAB, ABBB1 B,BC平面 ABB1 .BC(0,1,0) 是平面 ABB1 的法向量 .由（ II ）可知 BD(1,1,1) 是平面 ABC 的法向22211BC BD3量 .cosBC,BD2| BC |BD|3.3C12ABB 的大小为 arccos3 .即二面角 C138 解法一：（）证明：平面 PAB平面 ABC ，平面 PAB平面CABCAB，且BC，BC平面 PAB.PA平 面PAB ，PABC .又PA PB，PA平面PBC .（）解：作 POAB 于点 O ，OMAC于点 M，连结PM.平面 PA

25、B平面ABC ，PO平面 ABC，根据三垂线定理得PMAC ，PMO 是二面角 P AC B 的平面角 . . 6 分设 PAPB6 ，PAPB，AB23，POBOAO3 .OMAM ，MAO30，OMAOsin 30AO，PC PD. 在 PCD 中， cos PCD1 CD30 ，2PC10异面直线 AB 和 PC 所成角的大小为 arccos30.解法二： 作 POAB于点O，平面 PAB10平面ABC ，PO平面 ABC .过点 O 作 BC 的平行线，交 AC 于点 D .如图，以O 为原点，直线OD， OB，O P分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 . . 2

26、分设 PAPB6 .PAPB，AB23，POBOAO3.ABBC ，BAC30 ，BCAB tan302 .O(0，0，0)，A(0， 3，0)，B(0， 3，0)，C(2， 3，0)，P(0，0，3)，D(1，0，0). . 4分（）证明：PA (0， 3，3)， BC(2，0，0)，PA BC0，PABC .又PAPB，PA平面 PBC .异面直线 AB 和 PC 所成角的大小为arccos30 .109解法一：（ I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面 ABC ， B1B AC ，又 BA AC ，B 1B BA=B ， AC 平面 ABB 1A 1，又 AC平面 B1AC，平面 B1AC

27、 平面 ABB 1A 1.（ II ）解：过 A 1 做 A 1M B1A 1，垂足为 M ，连结 CM ，平面 B 1AC 平面 ABB 1A ，且平面 B 1AC 平面ABB 1A 1=B1A ， A 1M 平面 B 1AC. A 1CM 为直线 A 1C 与平面 B 1AC 所成的角，直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角， B1CB=30 ° .设 AB=BB1=a，可得 B 1C=2a，BC=3a, AC2a ，从而A1C3a,又 A1 M2 a,2sin A1 CMA1M6.二面角 B B 1CA 的大小为 arcsin6 . 143分解法二：（ I）证明：

28、同解法一 . 4 分（ II ）解：建立如图的空间直角坐标系 A xyz ，直线 B 1C 与平面ABC4分成 30°角， B 1CB=30 ° . 设 AB=B 1B=1 ，则 BC3, AC2.则 A( 0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), A1 (0,0,1), B1 (0,1,1).连结 A1 B, 易知 A1 B是平面 B1 AC的一个法向量 , A1 B(0,1, 1),又 A1C ( 2,0,1),cos A1 B, A1CA1B A1C16 ,|A1B| | A1C |66直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为2POAOtan PMO2

29、，OMOM（）解：作OMAC 于点 M ，连结 PM .PO平面 ABC ，根据三垂线定理得PMAC ，PMO 是二面角 PACB 的平A1C666. 9 分即二面角 PACB 的大小是 arctan 2 .（）解：在底面ABC内分别过A、C 作 BC、AB的平行线，交于点D，连结OC，OD， PD. 则PCD 是异面直线AB 和 PC 所成的角或其补角.ABBC，BAC30，BCAB tan 302 ， OCOB2BC 27 ，PCPO2CO210 .易知底面 ABCD为矩形，从而 OCOD，面角 . 在 Rt AMO中，OMAO3AO sin3022，M 3，- 3，0 ，44从而MO3， ，MP3，344044，cos MO，MPMO MP5MO MP5，即二面角 PACB 的大小是 arccos5.5（）解：AB0，2 3，0， PC2，3，-3 ，cos AB，PCAB PC30 ，AB PC10直线A 1C 与平面B1AC所成角的正弦值为336. 9 分6（III ）解：过 A 做 AN BC，垂