数形结合 建构模型——《方阵问题》

1、数形结合 建构模型 方阵问题背 景：我国的基础教育正在实行着一场深刻的课程改革，数学课程标准指出改革的基本思路是要：以反映未来社会对公民所必需的数学思想方法为主线选择和安排教学内容；以学生年龄特征相适合的大众化、生活化的方式表现数学内容；使学生在活动中学习数学，发展数学。所以，数学课程要把学生的一般发展视为首要目标，要极为注重学生学习的个别差异。教科书不理应采用目标为本的模式所有的学生都把教科书所表现的知识形态作为模本，复制到自己的头脑中去。教科书理应作为学生数学学习的起点和素材，使他们在对内容的处理过程中获得发展。重要的数学观点、数学思想方法和数学活动理应成为教科书的主线，并且尽可能早地以不

2、同的形式，反复出现在学生的数学活动中，表现出一种螺旋式。这个方面能够使学生有机会逐步建构对同一知识的不同层次的理解，另一方面也和处于不同认知发展阶段的学生思维方式相适合。可见在数学课堂中我们仍需进一步增强数学思想方法的渗透，以下就是在方阵问题中的一次较为成功的尝试。听课记录片段：师：这节课我们来解决一些方阵问题。（板书课题）关于方阵问题，你想知道些什么？生：什么叫方阵？方阵问题怎么解决？师：同学们真爱学习。我们先来看看什么叫方阵？（出示：在排队时，横着叫行，竖着叫列，当行数和列数相等正好排成一个正方形，这样的方队我们就叫做方阵。方阵有中实方阵和中空方阵。）师：从这段话中你知道了些什么？生1：排

3、队伍时每行和每列的人数相同，排成了正方形。生2：方阵有中实方阵和中空方阵。师：在日常生活中，你见过方阵吗？瞧，运动会入场仪式的代表团；操场的老人们；少年军校的同学们；国庆检阅式的战士们，多功能教室的方凳，花园里的鲜花。（图片欣赏）【开门见山，单刀直入，培养学生的问题意识，明确本堂课的目标任务；结合生活中的例子使学生感受数学来源于生活，又服务于生活，理解数学的现实意义。通过图片，非常形象地向学生们阐明了“中实方阵”、“一层中空方阵”、“二层中空方阵”的概念。】二、圈圈画画 解决方阵师：为了让我们解决问题的时候更加方便、清楚，我们能够用圆圈来代表人或物。出示：一个方阵最外层每边站了10人。1、 这

4、个方阵一共站了多少人？你是怎么想的？生： 每行有10人，共10行，10个10就是10×10=100人2、最外层一共站了多少人？（1）学生尝试解决。师：你觉得一共站了多少人？生：40人生：36人（2）动手操作：师：谁能在学具纸上圈一圈，算一算，让别人一眼就能看出一共有站了多少人。 生1 生210×4436（人） （10-1）×436（人）生3 生48×44=36（人） 10×28×236（人） （108）×2=36（人）（3）学生交流汇报（4）交流反馈师：这四种方法你看懂了哪几种？把你看懂的方法是怎么想的和同桌说一说。师：你最

5、喜欢哪种方法？为什么？这种方法是怎么想的？生：绝绝大部分学生喜欢第二种，因为每份都同样多而且正好圈完，3、往里一层能站多少人？4、深化、发现规律。师：我们已经知道了这个方阵的最外层站了36人，往里一层站了28人。根据这两个条件，你能够提出什么数学问题？（1） 最外层和往里一层一共有多少人？师：你能不能把这两层的人数看成一个整体，用你刚才最喜欢的那种方法来解决这个问题？生：在学具纸上圈一圈，画一画。 （10-2）×2×4=64（人）师：那如果是三层，一共能够站多少人？生：在学具纸上圈一圈，画一画。（10-3）×3×4=84（人）师：四层呢？有什么规律？生：

6、（10-4）×4×4=96（人）生：总人数=（最外层每边的人数-层数）×层数×4。（2）最外层比往里一层少多少人？再往里一层，能站多少人？再往里一层呢？有什么规律？（生讨论规律和原因）师：如果用N表示最外层的人数，那么往里一层该怎么表示？生：N-8【让学生借助学具图，通过圈一圈直观形象的理解方阵问题的解决方法，并找到了不同的算法，尊重学生的个体差异，不同的学生在数学上有不同的发展。结合圈一圈的图示，对算法实行优化能够培养学生的观察、比较、分析，构建数学解题模型。最后借用符号揭示规律。】三、应用方阵 拓展提升1、为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。四年级

7、学生排成一个方阵，最外层每边站了15人。你能提出什么数学问题？2、48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？3、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，最少需要几盆花？师：如果是六边形，七边形，八边形呢？有什么规律？师：如果是N边形呢？生： N×4- N 或（4-1）×N练习的设计要有梯度，学生通过练习不仅巩固了新知，而且还要有所发展和提升。练习1是满足个体发展的需要，培养提问意识，练习2是本节课知识的逆用，培养学生的逆向思维，练习3是对方阵的拓展，由4边形发展到5边形，6边形，N边形，数形结合，培养学生的极限思

8、想和符号化思想四、全课总结师：这节课你有什么收获？案例分析：数学是一门比较抽象、逻辑性强的学科。加强数学思想方法的渗透，是突出数学本质，提高数学能力的重要组成部分。如数形结合的思考方法，变换思想，对应、集合的思想，符号化思想，估测意识以及分析、综合、转化、归纳、类比，极限，等基本思考方法，这些都是发展学生数学思维能力，提高学生数学素质不可缺少的金钥匙。本堂的方阵问题就用心良苦的将多种数学思想方法揉合于教学设计，多次巧妙的渗透了这些数学思想方法。其中较为突出明显的就是数形结合方法的渗透。著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、相互制约的

9、辩证关系。数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，即通过作一些如线段图、数形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。这节方阵问题更是数形结合，帮助数学建模的典范。一、数形结合，能使抽象概念变得形象老师在直接揭示课题后，借助图片，出示方阵概念，通过图片，非常形象地向学生们阐明了“中实方阵”、“一层中空方阵”、“二层中空方阵”的概念。图形的运用，摒弃了文字对“方阵”概念的繁琐而枯燥的叙述，使之变得更加简单，形象和直观，为接下来的解决方阵问题打下了扎实的知识基础。

10、二、数形结合，能帮助学生理解数量关系新课教学时，计算中实方阵总人数是旧知，学生能比较容易解决问题。老师没有急着向学生渗透数形结合的方法，而是在解决稍为复杂的问题时才渗透数形结合的思想方法。如：求“一个一层中空方阵，最外层每边站10人，最外层一共站了多少人？”时，让学生先“尝试解决，说说一共有多少人”，再“在学具纸上圈一圈，要求能让人一眼就能看出你是怎么想的。”看似简单的一个学习要求，由于有了汤老师精心设计的“圈一圈”，而使课堂增色不少。在学生汇报自己的算法时，有了直观图的帮助，以至每个学生都争着想向同学和老师展示自己的算法，课堂顿时活跃起来，学生的思维也活跃起来，想出了很多不同的方法：10&#

11、215;4436（人）；（10-1）×436（人）；8×44=36（人）；10×28×236（人）；（108）×2=36（人）老师请学生来交流不同的算法时，学生都能自主的运用学具图，帮助解说。这样说的同学思路清晰，倾听的同学也很快理解不同的算法和意义。在交流之后的反馈环节，老师问：“这四种方法你看懂了哪几种？把你看懂的方法是怎么想的和同桌说一说。”学生也运用了具体的直观图来帮助理解各个抽象的算式含义，使解题过程变得具体形象。在算法的优化时，虽然每种算法的计算步骤都是2至3步，可是学生能够结合圈一圈的图示，通过比较，得出优化的方法，即9个一圈的算法。接着学生利用一层中空方阵的解题模型，迁移到两层中空方阵的解决方法中来。这时老师向学生渗透的不仅仅是数形结合的思想，还有迁移类比的思想，可以说有了图示使复杂地问题简单化，形象化，具体化。三、数形结合，让学生自主构建新知结构纵观整节课，无论在新课教学部分探究一层中空方阵最外层的总人数，还是在拓展延伸部分探索中空方阵的层间规律，有了直观图的帮助，学生思维异常活跃，都能积极主动地参与到课堂中来。促进学生互相交流、互相启发、想到了许多独特的个性化的计算方法，主动构