高等数学课件：10-6 高斯公式 通量与散度

1、高斯高斯 (Guass) 公式公式通量与散度通量与散度牛顿牛顿-莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：区间上的定积分与其端点的函数值之间的关系区间上的定积分与其端点的函数值之间的关系.( )( )bbaaF x dxF x 格林公式：格林公式：平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二类平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系曲线积分之间的关系. .()LDQPdxdyPdxQdyxy 高斯公式：高斯公式：空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类曲面积分之间的关系曲面积分之间的关系. .一、高斯一、高斯 (Gauss) 公式公式定理定理( ,

2、 , )( , , )( , , )P x y zQ x y zR x y z 设设函函数数，在在空空间间有有界界闭闭区区域域上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，其其中中由由分分片片光光滑滑的的有有向向闭闭曲曲面面所所围围成成，则则有有()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 其其中中取取外外侧侧， coscoscos PQRdSF ndS F dS (cos ,coscos )( , )nx y z ，为为有有向向曲曲面面上上点点处处的的单单位位法法向向量量. .高高斯斯公公式式注().PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 1.(1)(2)(3) P Q R 使使用

3、用高高斯斯公公式式必必须须满满足足以以下下三三点点：为为闭闭曲曲面面；取取外外侧侧；， 在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数. .2.高高斯斯公公式式的的实实质质：高高斯斯公公式式揭揭示示了了空空间间区区域域上上的的三三重重积积分分与与其其边边界界曲曲面面上上的的第第二二类类曲曲面面积积分分之之间间的的关关系系. .例例122( , ,0)Ix dydzy dzdxxa yb zc a b c 计计算算，其其中中为为三三坐坐标标面面与与平平面面，所所围围成成的的长长方方体体的的整整个个边边界界，取取外外侧侧. .解解2Px ，2Qy ，0R ，2Pxx ，2Qyy ，0.Rz 由由高高

4、斯斯公公式式(22 )Ixy dv 000(22 )abcdxdyxy dz().abc ab例例22222220Ix dydzy dzdxz dxdyxyzzzh 计计算算，其其中中为为圆圆锥锥面面位位于于平平面面及及之之间间的的部部分分，取取下下侧侧. .解一解一123.IIII221xzy ：222xzy ：()前前侧侧()后后侧侧0yzDzhzyz ：，121I 222()yzDzydydz 222()yzDzydydz 0. 221yzx ：222yzx ：()右右侧侧()左左侧侧0zxDzhzxz ：，122I 222()zxDzxdzdx 222()zxDzxdzdx 0. 22

5、zxy ：()下下侧侧222xyDxyh ：23Iz dxdy 222()xyDxydxdy 2200hdrrdr 41.2h 41.2Ih 解二解二例例22222220Ix dydzy dzdxz dxdyxyzzzh 计计算算，其其中中为为圆圆锥锥面面位位于于平平面面及及之之间间的的部部分分，取取下下侧侧. .22zxy ：()下下侧侧222xyDxyh ：(, 1)xynzz 曲曲面面上上任任一一点点的的法法向向量量，2222.xyxyzzxyxy 其其中中，22222222()xyDxyxyxydxdyxyxy 22()xyDxy dxdy 2200hdrrdr 41.2h 222(

6、1)xyxyDxzyzzdxdy 222Ix dydzy dzdxz dxdy 解三解三例例22222220Ix dydzy dzdxz dxdyxyzzzh 计计算算，其其中中为为圆圆锥锥面面位位于于平平面面及及之之间间的的部部分分，取取下下侧侧. .222() ( , ).xyzhx yDxyh 平平补补充充曲曲面面：上上侧侧 ，：222()Ix dydzy dzdxz dxdy 平平平平222PxQyRz ，222 .PQRxyzxyz ，2()xyz dv 2z dxdy 平平2zdv 2xyDh dxdy ( , , ) ( , )0zx y zx yDzh ，222zDxyz 其其

7、中中：，02zhDzdzdxdy 4h 302hz dz 41.2h 练习练习33223Ix dydzy dzdxzdxdyzxyz 计计算算，其其中中为为圆圆锥锥面面位位于于平平面面下下方方的的部部分分，取取下下侧侧. .4h 例例322231( , , ).F dSFx y zrxyzr 计计算算， 其其中中，为为任任意意包包含含原原点点的的光光滑滑封封闭闭曲曲面面，取取外外侧侧解解333xyzPQRrrr ，222222555333PrxQryRrzxryrzr ，PQRxyz (0,0,0)P Q R显显然然， 在在点点偏偏导导数数不不连连续续，0. 2222xyz 作作充充分分小小的

8、的球球面面：，取取外外侧侧. .F dS F dS 31()xdydzydzdxzdxdyr 31()xdydzydzdxzdxdy 33dv 33344 .3 例例4( , , )( , , )u x y zv x y z 设设和和在在空空间间有有界界闭闭区区域域上上具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，证证明明格格林林第第一一公公式式vu vdxdydzudSuvdvn ，222222( , , )vv x y znLaplacexyzijkHamiltonxyz 为为沿沿的的外外法法线线方方向向的的方方向向导导数数，符符号号称称为为算算子子. .符符号号称称为为算算子子. .其其中中为为

9、的的整整个个边边界界曲曲面面，取取外外侧侧，证明证明(cos,cos,cos )n 设设外外法法线线单单位位向向量量为为，vudSn (coscoscos )xyzu vvvdS xyzuv dydzuv dzdxuv dxdy ()()()yzxuvuvuvdvxyz ()()xxyyzzxxyyzzu vvvu vu vu vdv u vdxdydz uvdv ， 移移项项即即得得证证. .二、通量与散度二、通量与散度1. 通量的定义通量的定义( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 向向量量场场沿沿场场中

10、中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分F dSPdydzQdzdxRdxdy ( , , )F x y z 称称为为向向量量场场通通过过有有向向曲曲面面的的通通量量. .().v dS 单单位位时时间间内内稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体流流过过有有向向曲曲面面流流体体的的质质量量 流流量量F dS 电电磁磁学学中中称称形形如如的的积积分分为为通通量量，并并将将其其解解释释为为通通过过有有向向曲曲面面的的向向量量线线数数目目. .EB对对电电场场强强度度和和磁磁感感强强度度()B dS 磁磁通通量量 通通过过的的磁磁力力线线数数目目()E dS 电电通通量量 通

11、通过过的的电电力力线线数数目目例例533222(,sin ,0)22yvxeyxzxyzx 计计算算向向量量场场通通过过有有向向曲曲面面指指定定侧侧的的通通量量，其其中中为为曲曲面面与与所所围围成成区区域域的的整整个个表表面面，取取外外侧侧. .解解v dS 33()(sin )yxedydzyx dzdx 22(33)xydv 221xyDxy ：，22222.xyzx22222223()xyxxyDdxdyxydz 22226()(1)xyDxyxydxdy 2122006(1)drrrdr . 2. 散度的定义散度的定义( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 设设向向量量场场，( , , )( , , )PQRF x y zx y zxy