高等数学课件：复习课

1、1. 洛洛必必达达法法则则等等价价无无穷穷小小代代换换四四则则运运算算法法则则 计计算算极极限限 夹夹逼逼准准则则单单调调有有界界准准则则两两个个重重要要极极限限分分子子分分母母有有理理化化2. 判判断断间间断断点点类类型型. .3.（局局部部）保保号号性性、零零点点定定理理. .20sin1.lim.sinxxxxx 30cos (sin )2.lim.xx xxx 301sin1cos5.lim.xxxxx2200arctanarctan(1)6.lim.ln(1)xxxt dtxx 1ln(e1)03. lim.xxx 01124.lim.sinxxxxx1. 基基本本求求导导公公式式四

2、四则则运运算算法法则则反反函函数数求求导导法法则则复复合合函函数数求求导导法法则则 计计算算导导数数高高阶阶导导数数隐隐函函数数求求导导法法则则（对对数数求求导导法法）参参数数方方程程求求导导变变限限（复复合合）函函数数求求导导2. 计计算算微微分分（一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性）. .4. 分分段段函函数数分分段段点点判判断断极极限限、连连续续、可可导导. .3. 计计算算切切线线、法法线线方方程程. .2222121.2cosxtdy d ydxdxytt 设设，求求，2.( )2( )(0,1).xyyf xxyyf x 设设函函数数由由方方程程确确定定，求求曲曲线线在在点点处处

3、的的切切线线方方程程3322313.( )31( )(,11,).(xtty xyttdy d yyy xdx dx 设设函函数数由由参参数数方方程程确确定定，求求，并并讨讨论论曲曲线线在在区区间间、内内的的凹凹凸凸性性4.( )(0)0(0)0( )( )0f xffxF xf xxx 设设函函数数具具有有二二阶阶连连续续导导数数，试试证证明明函函数数是是连连续续的的，且且具具有有一一阶阶连连续续导导数数. .22020()5.( )( )(1)lim ( )(2)( ).xxtf xtdtf xg xxg xg x 设设连连续续，且且，求求；讨讨论论函函数数的的连连续续性性，若若有有间间断

4、断点点，试试判判断断间间断断点点的的类类型型1. 罗罗尔尔定定理理 微微分分中中值值定定理理 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理柯柯西西中中值值定定理理2. 判判断断单单调调性性、单单调调区区间间. .3. 判判断断凹凹凸凸性性、凹凹凸凸区区间间、拐拐点点. .4. 计计算算极极值值、最最值值. .5. 计计算算渐渐近近线线. .6. 计计算算泰泰勒勒公公式式、麦麦克克劳劳林林公公式式. .7. 证证明明不不等等式式（拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理、单单调调性性、最最值值）. . 基基本本积积分分公公式式表表（续续）不不定定积积分分的的性性质质凑凑微微分分法法三三角角代代换换计计算算不不定定积

5、积分分 第第二二类类换换元元法法 根根式式代代换换倒倒代代换换分分部部积积分分法法有有理理函函数数积积分分三三角角函函数数有有理理式式积积分分（万万能能代代换换）4sincos1.1sinxxdxx 14.1x dxx x 5.arctan2.xxdx 2ln6.(1)xdxx 28.24xdxxx 32. tansec.xxdx 323.1xdxx ln(1)7.xdxx 219.sincosdxxx 1. 牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式三三角角代代换换换换元元法法 计计算算定定积积分分根根式式代代换换分分部部积积分分法法偶偶倍倍奇奇零零2. 定定积积分分的的性性质质、积积分分中中值值定定

6、理理. .3. 换换元元法法证证明明等等式式. .4. 广广义义积积分分. .12201.44xdxxx 12203.(2) 1xdxxx 208.sin.xexdx 323cos9.1xxxdxx 402.1sin2.xdx 12014.11dxx 207.1cosxdxx 221236.12xdxxx ln5015.3xxxeedxe 3222210.(sin)cos.xxxdx 2201011.( )( ).112xxf xf t dtxex 设设，求求2142cos02.( )().arctan401xxf xf xdxxxx 已已知知，求求213103.( )( )( ).1011x

7、xxxf xF xf t dtxe 已已知知，求求22021( )4.( ).1cosxf xf xdudxux 已已知知，求求20206.( )0 1(0)0( )( )( )sincos( ).f xff xfxf x dxxxf x dx 设设函函数数在在， 上上可可导导，且且，又又满满足足关关系系式式，求求222225.4( )( )( ).xxf x dxf xf x dx已已知知， 求求arctan1.0lim.n xnntxdtt 设设，求求112.nninania 设设= =，利利用用单单调调有有界界准准则则证证明明数数列列收收敛敛，并并利利用用定定积积分分计计算算其其极极限限

8、2222001.( )()( )sin(0)( )xxf xtf xtdtf t dtxxf x设设函函数数连连续续，且且，试试求求. .1202.( )()( )xf xf tx dtf xxe 求求可可导导函函数数，使使得得它它满满足足. .20213.( )1(2)arctan2(1)1( )xf xtfxt dtxff x dx 设设函函数数连连续续，且且. .已已知知，求求. .40244402.tan1(1)11(2)tan.nnnnIxdxnIInIxdx 设设，证证明明：当当时时，；计计算算101.( )(01)(1)( )11(2)( ).42f xtx dtxf xf x

9、设设函函数数，求求的的驻驻点点；证证明明：11003.lnln(1)ln(1,2,)lim.nnnnnnnnuxxdxvx x dxnuvu 设设，试试比比较较和和的的大大小小，并并计计算算04.( )cos(1)(1)2( )2(1)( )(2)lim.xxf xtdtnnxnnf xnf xx 设设函函数数，当当为为正正整整数数，且且时时，证证明明；求求2200260202705.(1)sin4sinsin.(2)coscos.nnnnx dxxdxxdxx dxxdx 设设为为正正整整数数，证证明明：，并并计计算算对对积积分分又又有有什什么么样样的的结结论论呢呢？请请说说明明理理由由，并

10、并计计算算04226.( ), ( ), (0)( )( )( )()()(1)( ) ( )( )(2)(1)sinarctanaaaxf xg xa aag xf xf xfxA Af x g x dxAg x dxxe dx 设设函函数数在在区区间间上上连连续续，为为偶偶函函数数，且且满满足足条条件件为为常常数数 ，证证明明；利利用用的的结结论论计计算算定定积积分分. .1. 直直角角坐坐标标系系 平平面面图图形形的的面面积积 参参数数方方程程极极坐坐标标系系2. 已已知知截截面面面面积积的的立立体体 立立体体体体积积旋旋转转体体3. 直直角角坐坐标标系系 平平面面曲曲线线的的弧弧长长

11、参参数数方方程程极极坐坐标标系系4. 平平面面曲曲线线的的曲曲率率. .21.(0)112(1)(2)(3).yxxMxAMMxV在在曲曲线线上上某某点点处处作作一一切切线线，使使之之与与曲曲线线以以及及轴轴所所围围成成图图形形的的面面积积为为，试试求求切切点点的的坐坐标标；过过切切点点的的切切线线方方程程；由由上上述述所所围围平平面面图图形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所成成旋旋转转体体的的体体积积00002.(0)ln(,)(1)(,)(2)(3)yax ayxxyaxyxDxDx已已知知曲曲线线与与曲曲线线在在点点处处有有公公共共切切线线，求求的的值值及及切切点点；两两条条曲曲线线与与轴轴所所围围图图形形的的面面积积；两两条条曲曲线线与与轴轴所所围围图图形形绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积. .22222212123.(1)(4,0)143(2)143(3)143xyLxyLxDDxyLxSSSS求求过过点点且且与与椭椭圆圆相相切切的的直直线线的的方方程程. .在在第第一一象象限限，椭椭圆圆与与直直线线及及轴轴所所围围的的平平面面图图形形为为，求求的的面面积积. .直直线线与与椭椭圆圆绕绕轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面分分别别为为和和，试试求求和和之之间间的的立立体体的的体体积积. .3215.1