人教版高中数学必修2第二章知识点与典型试题分析

1、第 9 讲§2.1.1平面¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；懂得平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步把握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；懂得可以作为推理依据的三条公理.¤学问要点：1. 点 a 在直线上 , 记作 aa ；点 a 在平面内, 记作 a；直线 a 在平面内, 记作 a.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言” 、“图形语言”列表如下：公理 1公理 2公理 3图形语言假如一条直线上的两点在文字一个平面内， 那么这条直线语言在此平面内.符号al , bl过

2、不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.a, b, c不共线假如两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.ll语言a, ba, b, c确定平面p, ppl3.公理 2 的三条推论：推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.¤例题精讲：【例 1】假如一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（p 56 a 组 5 题）解：依据公理2 的推论 3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1 可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内

3、，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.【例 2】空间四边形abcd 中， e、f 、g、h 分别是 ab 、bc、 cd 、da 上的点，已知ef 和 gh 交 于 p点，求证： ef 、gh 、 ac 三线共点 . （同 p58 b 组 3 题）解： pef ，ef面 abc， p面 abc.同理 p面 adc . p 在面 abc 与面 adc 的交线上，又 面 abc面 adc =ac ， pac ，即 ef 、hg 、ac 三线共点 .【例 3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.cba已知：直线ab, bc,ca 两两相交，交点分别为a, b

4、,c ，求证：直线ab, bc,ca 共面 .证明 ：由于a，b，c 三点不在一条直线上，所以过a，b，c 三点可以确定平面 由于 a ，b ，所以 ab 同理 bc， ac .所以 ab ，bc ，ca 三直线共面点评 ：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 留意文字语言给出的证明题，先依据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常依据三条公理，进行“共面” 问题的证明 .【例 4】在正方体abcda1 b1 c1 d1 中，（1） aa1 与 cc1 是否在同一平面内？（2）点 b, c1 , d 是否在同一平面内？（3）画出平面ac1

5、 与平面bc1d 的交线，平面acd1 与平面bdc1 的交线 .解：（ 1）在正方体abcda1b1c1d1 中， aa1 / cc1 ，由公理2 的推论可知， aa1 与 cc 1 在同一平面内.aa1 与 cc1 可确定平面ac1 ，（2）点b, c1 , d 不共线，由公理3 可知，点b, c1 , d 可确定平面bc1d ，点 b,c1, d 在同一平面内.（3） acbdo ， d1cdc1e ， 点 o平面ac1 ， o平面bcd1 ，又 c1平面 ac1 ， c1平面 bc1d ，平面ac1平面 bc1 doc1 ，同理平面acd1平面 bdc1oe 点评 ：确定平面的依据有公

6、理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论 （两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必需非常娴熟.- 0 -基础达标其次章点、直线、平面之间的位置关系第 9 练§2.1.1平面1两个平面如有三个公共点，就这两个平面（c） .a 相交b 重合c相交或重合d 以上都不对 2以下推断中，错误选项（c） .a al , a, bl , blb a, a, b, babc l, alad a, b,c, a, b, c，且 a、b、c 不共线,重合3 e、 f、g、h 是三棱锥a-bcd 棱 ab 、ad 、 cd 、cb 上的点，延长ef、hg 交于 p，就点

7、 p（ b） .a. 肯定在直线ac 上b.肯定在直线bd 上c. 只在平面bcd 内d. 只在平面abd 内4用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，就这个多边形边数最多是（c） .a.三b. 四c. 六d. 八5以下说法中正确选项（d） .a. 空间不同的三点确定一个平面b. 空间两两相交的三条直线确定一个平面c. 空间有三个角为直角的四边形肯定是平面图形d. 和同一条直线相交的三条平行直线肯定在同一平面内6给出以下说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合； 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是. 7已知空间四点中无任何三

8、点共线，那么这四点可以确定平面的个数是. 4才能提高8正方体abcda1b1c1d1 中,e、f、g、h 、k 、l 分别是dc 、dd1、a1 d1、a 1gd 1ha1b1、bb1、bc的中点 . 求证：这六点共面b 1c 1f证明：连结bd 和 kf ， 由于e、l是 cd、cb 的中点，所以el / bd 又 矩形bdd 1 b1 中 kf/ bd ，所以kf / el ，kad所以kf 、el 可确定平面，所以e、f、k、l共面，e同理eh/ kl ，故e、h、k、l 共面blc又 平面与平面都经过不共线的三点e、k、l ，故 平面与平面重合，所以e、f 、g、h 、k、l 共面于平

9、面同理可证g，所以， e、f、g、h 、k 、l 六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法： 先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合）9（ 1）abc 在平面 外， abp ， bcq ， acr ，求证： p， q， r 三点共线 .（ 2）已知四边形abcd 中， ab cd ，四条边ab ，bc，dc ，ad（或其延长线）分别与平面相交于e， f ， g， h 四点，求证：四点e， f ， g， h 共线 .证明：（ 1）依据公理2 易知abc 确定平面 ，且与 有交线l，依据公理3 易知， p， q， r 三点都在

10、直线 l 上，即三点共线.（ 2）ab cd ，ab ， cd 确定一个平面，易知ab ， bc， dc ， ad 都在 内，由平面的性质可知四点 e， f ， g， h 都在 上，因而，e，g， g， h 必都在平面与 的交线上，所以四点e， f， g， h 共线 .探究创新10在一封闭的正方体容器内装满水，m ， n 分别是 aa 1 与 c1d 1 的中点，由于某种缘由，在d ， m ， n 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的外形怎样？解：使过三点m ， n， d 的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的外形，实质上就是过m ，n，d

11、 三点所作正方体的截面的外形. 连结 dm 并延长dm 交 d 1a1 的延长线于p，就点 p 既在截面内又在底面a1b1c1d1 内，连结pn 交 a1b1 于 e，连 me ， nd ，就过m ， n， d 的截面就是四边形dmen ，易证me dn且 medn ，因而它是一个梯形.- 1 -第 10 讲§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：明白空间两条直线的三种位置关系，懂得异面直线的定义，把握平行公理，把握等角定理，把握两条异面直线所成角的定义及垂直.¤学问要点：1. 空间两条直线的位置关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共

12、点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2. 已知两条异面直线a,b ，经过空间任一点o 作直线a / a, b/ b ，把a , b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的角（或夹角）.a ,b 所成的角的大小与点o 的挑选无关，为了简便，点o 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范畴为0,90 ，假如两条异面直线所成的角是直角，就叫两条异面直线垂直，记作 ab . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角运算.¤例题精讲：【例 1】已知异面直线a 和 b 所成的角为50°， p 为空间肯定点，就过点

13、p 且与a、 b 所成角都是30°的直线有且仅有（） .a. 1 条b. 2 条c. 3 条d. 4 条解：过 p 作 a a， b b，如 p a，就取 a 为 a ，如 p b，就取 b 为 b 这时a ， b 相交于 p 点，它们的两组对顶角分别为50°和 130 ° .记 a ， b 所确定的平面为 ，那么在平面 内，不存在与a ， b 都成 30°的直线过点 p 与 a ，b 都成 30°角的直线必在平面 外，这直线在平面 的射影是a ，b 所成对顶角的平分线其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和 l ，射影是130

14、°对顶角平分线的直线不存在故答案选b.【例 2】如图正方体abcda1 b1c1d1 中，e、f 分别为 d 1c1 和 b 1c1 的中点， p、q 分别为ac 与 bd 、a 1c1与 ef 的交点 . （ 1）求证： d 、b、f 、e 四点共面；（ 2）如 a1c 与面 dbfe 交于点 r，求证： p、q、r 三点共线 .d1ec1证明 ：（ 1）正方体abcda1 b1 c1 d1 中，bb1 /dd 1 ， bd /b1 d1 .fqa1b1又 b1d1c1 中， e、f 为中点，dcef /1 b d .112ef / bd ,即 d 、b、f 、e 四点共面 .pa

15、b（ 2）q平面 ac1 ， q平面 be ， p平面 ac1 ， p平面 be ，平面 ac1平面 bepq .又ac1平面 ber ，r平面 ac1 ， r平面 be ， rpq .即 p、 q、r 三点共线【例 3】已知直线a/ b/c，直线 d 与 a、b、c 分别相交于a、b、c，求证： a、b、 c、d 四线共面 .证明 ：由于a/ b，由公理2 的推论，存在平面，使得 a, b.c又由于直线d 与 a、b、c 分别相交于a、b、c，由公理1， d.假设 c，就 cc , 在平面内过点 c 作 c / b ，cc'bba由于 b/ c，就c/ c ，此与 ccc 冲突 .

16、故直线 c.da综上述， a、b、c、d 四线共面 .点评 ：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2 及其三条推论，查找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设动身，推出冲突，冲突的缘由是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例 4】如图中，正方体abcd a1b1c1d 1，e、f 分别是 ad 、aa 1 的中点 .（ 1）求直线ab 1 和 cc1 所成的角的大小；（ 2）求直线ab 1 和 ef 所成的角的大小.解：（1）如图，连结dc 1 ， dc 1 ab 1， dc 1 和 cc1 所成的锐角cc 1d 就是 ab 1 和 cc1 所成的角

17、 . cc1 d=45 °， ab 1 和 cc 1 所成的角是45° .（ 2）如图，连结da 1、 a1 c1 ， ef a1d ，ab 1 dc1 ， a1 dc 1 是直线 ab 1 和 ef 所成的角 . a1dc 1 是等边三角形， a1dc 1=60 o，即直线ab1 和 ef 所成的角是60o.点评 ：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、运算的步骤，逐步查找出解答思路.-

18、 2 -基础达标其次章点、直线、平面之间的位置关系第 10 练§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（d） .a. 异面b.平行c.相交d.以上都有可能2教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（b ） .a 平行b 垂直c相交但不垂直d 异面3两条直线a,b 分别和异面直线c, d 都相交，就直线a， b 的位置关系是（d） .a. 肯定是异面直线b.肯定是相交直线c. 可能是平行直线d. 可能是异面直线，也可能是相交直线4把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（b）.a.12b

19、. 24c. 36d. 485正方体abcda 'b ' c ' d ' 中， ab 的中点为m，dd ' 的中点为n，异面直线b' m与cn 所成的角是（b） .a 30 °b 90°c 45°d 60°6如图，正方体abcda1 b1c1 d1 中，直线ab1 与 bc1 所成角为 度. . 60 °7右图是正方体平面绽开图，在这个正方体中：n bm 与 ed 平 行；cn 与 be 是异面直线；dcm cn 与 bm 成 60o 角； dm 与 bn 垂 直 .以上四个说法中，正确说法的序号

20、依次是. eab才能提高8已知空间四边形abcd 各边长与对角线都相等，求ab 和 cd 所成的角的大小.f解：分别取ac、ad 、 bc 的中点p 、m、n . 连接 pm 、pn，由三角形的中位线性质知pn ab ，pm cd ，于是 mpn 就是异面直线ab 和 cd 成的角，如右图所示.连结 mn 、dn ，设 ab=2，pm =pn =1.而 an =dn =3 ，就 mn ad ， am =1 ，得 mn =2 ，222 mn=mp+np， mpn=90 °，即异面直线ab、cd成 90°角 .9空间四边形abcd 中， e、f 、g、h 分别是ab、bc、cd

21、 、da 上的点，已知 ef 和 gh 交于 p 点，求证： ef 、 gh、ac 三线共点 .b证明： pef， ef面 abc ， p面 abc，同理 p面 adc ， p 在面 abc 与面 adc 的交线上，又面abc面 adc =ac ，ef pac，即 ef、 hg 、ac 三线共点 .capghd探究创新10设异面直线a 与 b 所成角为50°，o 为空间肯定点， 试争论，过点 o 与 a、b 所成的角都是 090 的直线 l 有且仅有几条.解：过点 o 作 a1 a，b1 b，就相交直线a1 、b1 确定一平面 . a1 与 b1 夹角为 50°或 130&

22、#176;，设直线 oa 与 a1、 b1 均为 角，故当 <25 °时，直线l 不存在；当 =25 °时，直线l 有且仅有1 条；当 25° < <65 °时，直线l 有且仅有2 条；当 =65 °时，直线l 有且仅有3 条；当 65° < <90 °时，直线l 有且仅有4 条；当 =90°时，直线l 有且仅有1 条.- 3 -第 11 讲§2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标：明白直线与平面的三种位置关系，懂得直线在平面外的概念，明白平面与平面的

23、两种位置关系.¤学问要点：1. 直线与平面的位置关系：（ 1）直线在平面内（有很多个公共点）；（ 2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（ 3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l； lp ； l /.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作/；l .¤例题精讲：【例 1】已知空间边边形abcd 各边长与对角线都相等，求异面直线ab 和 cd 所 成的角的大小 .解：分别取ac、ad 、 bc 的中点p、 m 、n 连接 pm 、pn，由三角形的中位线性质知pn ab ， pm cd ，于是 mpn 就是异面直线ab 和 cd

24、 成的角（如下列图）.连结 mn 、dn ，设 ab=2， pm= pn=1.而 an =dn =3 ，由 mn ad ， am =1 ，得 mn =2 ，a mn 2= mp 2+np2 ， mpn =90 ° .异面直线ab、cd 成 90 °角 .e【例 2】在空间四边形abcd 中， e 、h 分别是 ab 、ad 的中点， f 、g 分h别是 cb 、cd 的中点，如ac + bd = a ， acbd =b，求解：四边形efgh 是平行四边形，eg 2fh.b2deg 22fh=2ef 2fg 2 12= acbd 1 a2fg2b .c222【例 3】已知空间

25、四边形abcd 中， e 、h 分别是ab 、ad 的中点， f、g分别是 bc 、cd 上的点，且cfcg2 .cbcd3a求证：（ 1） e、f 、g、h 四点共面； （ 2）三条直线ef、gh 、ac 交于一点 .证明 ：（ 1） 在 abd 和 cbd 中，eh1dge 、h 分别是 ab 和 cd 的中点， eh /bd .2bfc又cfcg22，fg /bd .cbcd33eh fg .所以， e、f 、g、h 四点共面 .（2）由（ 1）可知， eh fg，且 ehfg ，即直线ef ， gh 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点p.ac 是 ef 和 gh 分别所在平面a

26、bc 和平面adc 的交线，而点p 是上述两平面的公共点， 由公理 3 知 pac .所以，三条直线ef 、gh、ac 交于一点 .点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线 .【例 4】如下图，设abc 和 a1b1c1 的三对对应顶点的连线aa 1 、bb 1、cc 1 相交于一点o，且ao=oa1bo ob1co=oc1=2 .试求3s abcsa b c1 1 1的值 .解：依题意，由于aa 1、bb1 、cc1 相交于一点o，且所以 ab a1b1， ac a 1c1 ， bc b1 c1.ao =oa1bo ob1= co ，o

27、c1由平移角定理得bac = b 1 a1 c1 ， abc = a1 b1 c1， abc a1 b1 c1 ，所以s abc= （ 2 ） 2= 4 .1 1 1s a b c39点评 ：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相像、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.- 4 -基础达标其次章点、直线、平面之间的位置关系第 11 练§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系1直线与平面不平行，就（c） .a.与相交b.2正方体各面所在平面将空间分成（ a. 7b. 15c.与相交或d）个部分 .c. 21d. 以上结论都不对d. 273如两个平面

28、内分别有一条直线，这两条直线相互平行，就这两个平面的公共点个数（d） .a. 有限个b. 无限个c. 没有d. 没有或无限个4e、f 、g、h 是棱锥 a-bcd 棱 ab 、ad 、cd 、cb 上的点，延长ef 、hg 交于 p 点，就点p（ b）.a.肯定在直线ac 上b.肯定在直线bd 上c. 只在平面bcd 内d. 只在平面abd 内5一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，就这两个平面（d ） .a.平行b.相交c. 平行或垂合d. 平行或相交6如一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，就这条直线与另一平面的位置关系是. 平行、在平面内7一个平面把空间分成部分， 两个

29、平面可以把空间分成部分， 三个平面可以把空间分成部分 2； 3、4； 4 、6、7、 8.才能提高8 a 是 bcd 平面外的一点，e、f 分别是 bc 、ad 的中点，（ 1）求证：直线ef 与 bd 是异面直线；（ 2）如 ac bd ， ac =bd ，求 ef 与 bd 所成的角 .解：（ 1）证明：用反证法.设 ef 与 bd 不是异面直线，就ef 与 bd 共面，从而 df 与 be 共面，即ad 与 bc 共面，所以a、b、c、d 在同一平面内，这与a 是 bcd 平面外的一点相冲突. 故直线ef 与 bd 是异面直线.（ 2）取 cd 的中点 g，连结 eg、fg ，就 eg

30、bd ，所以相交直线ef 与 eg所成的锐角或直角即为异面直线ef 与 bd 所成的角 .在 rt egf中，求得 feg=45°，即异面直线ef与 bd所成的角为45° .9已知空间四边形abcd ，e、h 分别是 ab、ad 的中点， f 、g 分别是边bc 、dc 的三等分点（如右图），求证：（ 1）对角线ac 、bd 是异面直线；（ 2）直线 ef 和 hg 必交于一点，且交点在ac 上.证明：（ 1）假设对角线ac 、bd 在同一平面 内，就 a 、b、c、d 都在平面 内，这与abcd 是空间四边形冲突，ac 、bd 是异面直线 .（ 2） e、h 分别是 ab

31、 、ad 的中点， eh / 1 bd .2又 f、g 分别是 bc、dc 的三等分点， fg /2 bd . eh fg ，且 eh fg . 3fe 与 gh 相交 .设交点为o，又 o 在 gh 上， gh 在平面adc 内， o 在平面 adc 内.同理， o在平面abc内.从而 o在平面 adc与平面 abc的交线 ac上.探究创新10空间四边形abcd 中， p、q、r、h 分别是 ab 、bc、 cd 、da 的中点 .（ 1）求证：四边形pqrh 是平行四边形；（ 2）如 ac =bd ，就四边形pqrh 是什么四边形？（ 3）如 ac bd ，就四边形pqrh 是什么四边形？

32、（ 4）空间四边形abcd 满意什么条件时，pqrh 是正方形？解：（ 1）在 abd 中， p、h 分别为 ab 、ad 的中点，即ph 为中位线 .1ph /bd21ph /qr . 四边形 pqrh 为平行四边形同理qr/bd 2（ 2）在 abc 中， p、q 为 ab、bc 中点， pq / 1 ac，又 ph / 1 bd ， ac =bd .22 ph = pq.平行四边形pqrh 为菱形 .- 5 -（ 3） ac bd ，异面直线ac 与 bd 所成角为直角.ph bd ， pq ac, hpq 为 ac 与 bd 所成的角 . hpq =90° ,即四边形pqrh

33、 为矩形（ 4）由（ 2）、（ 3）的证明可知，当ac=bd且 ac bd时，四边形pqrh为正方形 .第 12 讲§2.2.1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为动身点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，熟悉和理 解空间中线面平行的判定，把握直线与平面平行判定定理，把握转化思想“线线平行线面平行” .¤学问要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，就直线和平面平行.2. 判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，就该直线与此平面平行.符号表示为：a, b, a / ba /. 图形如右图所示.¤例题精讲：【例 1】

34、已知p 是平行四边形abcd 所在平面外一点，e、f 分别为ab、pd 的中点，求证：af 平面 pec证明 ：设 pc 的中点为g，连接 eg 、fg .f 为 pd 中 点，gf cd 且 gf = 12cd .ab cd ， ab =cd ， e 为 ab 中点，gf ae ，gf =ae ， 四边形aegf 为平行四边形.eg af ，又af平面 pec ， eg平面 pec， af平面pec.【例 2】在正方体abcd -a1b1c1d 1 中， e 、f 分别为棱bc、c1d 1 的中点 . 求证：ef平面bb1 d1 d.证明 ：连接ac 交 bd 于 o，连接 oe ，就 oe

35、 dc ，oe= 12dc .dc d1c1，dc= d 1c1 ，f 为 d 1c1 的中点，oe d 1f ， oe = d1f ，四边形 d 1feo 为平行四边形.ef d 1o.又ef平面 bb1 d1 d ， d 1o平面 bb1d 1 d，ef 平面 bb 1d 1d .【例 3】如图，已知e 、 f 、 g 、 m 分别是四周体的棱ad 、 cd 、 bd 、 bca的中点，求证：am 平面 efg .证明 ：如右图，连结dm ，交 gf 于 o 点，连结 oe ，e在bcd 中， g 、 f 分别是 bd 、 cd 中点， gf g 为 bd 中点， o 为 md 中点，/

36、bc ，bgd在amd 中，e 、 o 为 ad 、 md 中点，又 am平面 efg ， eo平面 efg ， am 平面 efg .eo /am ，mof c点评 ： 要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 . 留意适当添加帮助线，重视中位线在解题中的应用.【例 4】如图，已知p 是平行四边形abcd 所在平面外一点，m 、n 分别是ab、pc 的中点（1）求证： mn/ 平面 pad ；（2）如mnbc4 ， pa43 ，求异面直线pa 与 mn 所成的角的大小.解：（ 1）取 pd 的中点 h ，连接ah ，由 n 是 pc 的中点，nh / 1 dc .

37、由 m 是 ab 的中点， nh / am ，2即 amnh 为平行四边形.mn / ah .由 mn平面 pad , ah平面 pad ，mn / 平面 pad .（2） 连接 ac 并取其中点为o，连接 om 、on ，om / 12bc， on / 12pa ，- 6 -其次章点、直线、平面之间的位置关系所以onm 就是异面直线pa 与 mn 所成的角，且mo no.由 mnbc4 ， pa43 , 得 om =2， on= 23所以onm300 ，即异面直线pa 与 mn 成 30°的角点评 ：已知中点， 牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直

38、线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第 12 练§2.2.1直线与平面平行的判定基础达标1已知直线l1 、 l 2 , 平面 ,l1 l 2 ,l 1 , 那么l 2 与平面 的关系是（c） .a. l1 b.l2c.l 2 或 l 2d.l 2 与 相交2以下说法（其中a， b 表示直线，表示平面）如 a b， b，就 a如 a， b，就 a b如 a b， b，就 a如 a， b，就 a b其中正确说法的个数是（a） .a.0 个b. 1 个c.2 个d. 3 个3已知 a， b 是两条相交直线，a，就 b 与的位置关系是（d）

39、.a. bb. b 与相交c. bd. b或 b 与相交4假如平面外有两点a 、b，它们到平面的距离都是a，就直线ab 和平面的位置关系肯定是（c ）.a. 平行b. 相交c. 平行或相交d. ab5假如点m 是两条异面直线外的一点，就过点m 且与 a， b 都平行的平面（a ） .a. 只有一个b.恰有两个c. 或没有，或只有一个d. 有很多个6已知p 是正方体abcd -a1b1c1d 1 棱dd 1 上任意一点，就在正方体的12 条棱中，与平面abp 平行的是.dc、d1c1、a1b17过三棱锥a-bcd 的棱 ab 、bc、cd 的中点 m 、n、p 作平面 mnp ，三棱锥的六条棱中

40、与平面mnp 平行的是；如 ac 与 bd 成 90°角， ac=6 ， bd =8，就截面四边形的面积是. bd 、ac ； 12.才能提高8平面与 abc 的两边 ab 、ac 分别交于d 、e，且 ad db =ae ec ，求证： bcb平面.c证明：在abc 中，ad db =ae ec，bc / de .d又 bc, de，bc /.ea9p 是平行四边形abcd 所在平面外一点，e 为 pb 的中点， o 为 ac，bd 的交点 .（ 1）求证： eo平面 pcd； （ 2）图中 eo 仍与哪个平面平行？解：（ 1）证明：在平行四边形abcd 中， o 为 ac ， b

41、d 的交点， o 为 bd 的中点 . 又 在 pbd 中， e 为 pb 的中点， eo/ pd .eo平面 pcd , pd平面 pcd，eo 平面 pcd .（ 2）图中 eo 仍与平面pad 平行 .探究创新10三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2 倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.在四周体abcd 中， m 、n 分别是面acd 、 bcd 的重心，在四周体的四个面中，与mn 平行的是哪几个面？试证明你的结论.解：连结am 并延长，交cd 于 e ，连结 bn 并延长交cd 于 f ，由重心性质可知， e、f 重合为一点，且该点为cd

42、 的中点 e，由 emmaen1=得 mn ab ，nb2因此， mn平面 abc且 mn平面 abd.- 7 -第 13 讲§2.2.2 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为动身点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，熟悉和懂得空间中面面平行的判定，把握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤学问要点：面面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号a, b表示为：, abp/.a /,b /¤例题精讲：【例 1】如右图， 在正方体abcd a1 b1c1d 1 中， m 、n、p

43、分别是 c1c、b1c1、c1d 1的中点，求证：平面mnp 平面a1bd .证明 ：连结b1d 1， p 、n 分别是 d1 c1 、b1c1 的中点，pn b1 d1 .又 b1 d1 bd ， pn bd .又 pn 不在平面a1 bd 上， pn平面a1 bd .同理， mn 平面a1 bd . 又 pn mn =n， 平面 pmn 平面a1 bd .d 1c1【例 2】正方体abcd a1 b1 c1d 1 中（1）求证：平面a1bd 平面 b 1d1c；（ 2）如 e、f 分别是aa1， cc 1 的中点，求证：平面eb 1d1平面fbd a1b1证明 ：（ 1）由 b1b / d

44、d 1，得四边形bb1 d1 d 是平行四边形，b1 d1 bd ，f又 bd平面 b1 d1 c， b 1d 1平面 b 1d1c， bd 平面 b1d 1 c同理 a1 d平面b1d 1c而 a1d bd d，平面a1bd 平面 b1cd egc（ 2）由 bd b1 d 1，得 bd 平面 eb 1d1取 bb1 中点 g， ae b 1gdb从而得 b1 e ag ，同理 gf ad ag df b 1e df a df 平面 eb 1d1平面eb 1d 1 平面 fbd 【例 3】已知四棱锥p-abcd 中, 底面 abcd 为平行四边形. 点pm 、n、q 分别在 pa、bd 、p

45、d 上, 且 pm ： ma =bn ： nd= pq： qd .求证：平面mnq 平面 pbc .m证明 ：pm ： ma = bn： nd= pq ： qd .qmq / ad ， nq/ bp，c而 bp平面 pbc， nq平面 pbc, nq/ 平面 pbc.d又abcd 为平行四边形，bc / ad ， mq / bc ，n而 bc平面 pbc， mq平面 pbc ,mq /平面 pbc.ba由 mqnq =q，依据平面与平面平行的判定定理， 平面 mnq 平面pbc.点评 ：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行

46、. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例 4】直四棱柱abcda1 b1 c1 d1 中， 底面 abcd 为正方形， 边长为 2, 侧棱a1 a3 ，m 、n 分别为 a1b1、a1d 1 的中点， e、f 分别是b1c1、c1d1 的中点 .（1）求证：平面amn 平面 efdb ；（ 2）求平面amn 与平面 efdb 的距离 .证：（ 1）连接a1c1 ,分别交mn、ef 于 p 、q. 连接 ac 交 bd 于 o，连接ap、oq .由已知可得mn / ef ，mn / 平面 efdb .由已知可得，pq /ao 且 pqao .ap / oq ,ap / 平面 ef

47、db. 平面 amn 平面 efdb .a1 ha1p1解：（ 2）过a1 作平面 amn 与平面 efdb 的垂线，垂足为h 、h，易得.hh 'pq2由 apa a2a p 232 22 238 , 依据 vv, 就1138242a1amna a1 mn21a1h1113 ，解得a1 h3 19. 所以，平面amn 与平面 efdb 的距离为6 19 .32321919点评 ： 第（ 1）问证面面平行，转化途径为“线线平行线面平行面面平行”. 第（ 2）问求面面距离，奇妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化- 8 -其次章点

48、、直线、平面之间的位置关系的思想在此题中非常突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点b 到平面abc 的距离 .基础达标第 13 练§2.2.2平面与平面平行的判定1以下说法正确选项（d） .a. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行b. 平行于同一平面的两条直线平行c. 假如一个平面内的很多条直线平行于另一个平面，就这两个平面平行d. 假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，就这两个平面平行2在以下条件中，可判定平面 与 平行的是（d ） .a. 、 都平行于直线lb. 内存在不共线的三点到 的距离相等c. l 、m 是 内两条直线，且l ， m d. l、m 是两条异面直线，且l ， m ， l ， m 3以下说法正确选项（d） .a.垂直于同一条直线的两条直线平行b.平行于同一个平面的两条直线平行c.平行于同一条直线的两个平面平行d.平行于同一个平面的两个平面平行4经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（c ） .a. 0 个b. 1 个c. 0 个或 1 个d. 1 个 或 2 个5不在同始终线上的三点a， b， c 到平面 的距离相等，且a，就（b） .a. 平面abcb. abc 中至少有一边平行于c. abc 中至多有两边平行于 d. abc 中只可能有一条边与平行6已知直线a、b，平面