人教版高中数学必修⑤3.4《基本不等式》教学设计

1、课题：必修 3.4 基本不等式（二）三维目标：1、 学问与技能（ 1）在上一节的基础上再通过各种运用，进一步懂得、把握基本不等式的本质，娴熟运用此性质的等价形式敏捷地解决相关问题，提高解决此类问题的技能；（ 2）能用不等式的基本性质论证简洁的不等式，并进一步运用基本不等式解决生活中的应用问题；2、过程与方法（ 1）在熟识基本不等式性质的基础上，引领同学在应用问题中进一步合作探究， 然后再通过相应的问题 （特殊是相关的实际问题的最值问题）的解决，加深同学对定理的懂得，并为以后解决综合问题究奠定良好的基础；（ 2）通过简洁得不等式的判定、论证，培育同学推理论证的规律性、严密性，从而逐步培育同学良好

2、的数学品质；3、情态与价值观（1）连续培育同学数形结合、 等价转化、等与不等辩证的数学思想；2通过对不等式学问的进一步学习， 不断培育自主学习、 合作沟通、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参加意识和合作精神；（ 3）通过生动详细的现实问题，激发同学探究的爱好和欲望，树立同学求真的士气和自信心， 激发学习数学的热忱， 培育勇于探究的精神， 勇于创新精神， 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；体验在学习中获得胜利的成就感，为远大的志向而不懈奋斗；教学重点：基本不等式 a 2教学难点：b 22ab 与abab 的进一步应用2懂得“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵（a 与 b

3、 或许是一个式子），留意运用不等式求最大（小）值的条件教具： 多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推动教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：上两节课，我们学习了基本不等式abab 2，并且体会到在实际问题中的应用，感受到不等式在实际生活中的更广泛运用；下面，第一我们一起回忆一下这些学问和方法：基本不等式：一般的，假如a, br, 那么a 2b22ab当且仅当 ab时取"" 号特殊的，假如 a>0,b>0, 我们用分别代替 a、b，可得 ab2ab ，简洁回忆上节从实际问题中抽象出基本不等式的情形这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能

4、通过这个简洁的风车造型中得到一些相等和不等关系吗.【问题 1】我们把“风车”造型抽象成图，在正方形abcd中有 4个全等的直角三角形 . 设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？同学答：ab， ab 2222【问题 2】那 4 个直角三角形的面积和呢？ 同学答： 2ab【问题 3】依据观看 4 个直角三角形的面积和与正方形的面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式呢？；同学答： a 2b 22ab【问题 4】什么时候这两部分面积相等呢？同学答：当直角三角形变成等腰直角三角形， 即ab 时，正方形 efgh变成一个点，这时有 a 2b 22ab【得到结论】一般的，如

5、果a, br, 那么a2b22ab当且仅当 ab时取"" 号基本不等式在最值方面的主要应用：1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即如a，b r ，且 a b m，m为定值就 abm，等号当且仅当a b 时成立 .242. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即如a， br，且 ab p，p 为定值，就 a b2p ，等号当且仅当 ab 时成立 .通过前面对不等式应用， 同学们已经体会到了不等式的重要性和肯定性， 可以说， 不等式的应用表达在自然、 社会、生活的方方面面，今日我们将进一步讨论不等式的应用二、 创设情境合作探究：【引领同学合作沟通进一步探究基本不等

6、式的应用】学习函数时，我们曾遇到过一个闻名的函数：1yx，x并运用其单调性解决了与其相关的函数的最值问题；同学们能否运用现在所学的基本不等式来求出其值域呢？下面，大家沟通一下【通过沟通、探究得到】x0时， x1x2x12xx0时， x0, 所以x1x2x1x2,即x12 x综上所述： y2或y2所以，函数 yx1 的值域为 x,22,【评析】 此种方法充分运用了基本不等式的性质并表达了转化思想的恰当运用：把负数转化为正数，方可用上基本不等式；下面同学们再利用这种思想方法来解决一些相关问题三、互动达标巩固所学：问题.1已知 x、y 都是正数，求证：(1) y xx 2；y2 （xy）（x2y2）

7、（x3y3） x3y3.【分析】 充分运用定理： ab2ab 来逐步解决即可，留意条件a、b均为正数，结合不等式的性质把握好每条性质成立的条件，进行变形.【解析】 x， y 都是正数x3 0，y3 0x 0，yy 0， x20， y2 0，x33(1) x yy2xxyy 2 即 xxyy 2.x2 x y 2xy 0x2 y2 2x2 y 2 0x y33 2x3 y 3 0（ x y）（ x2 y2）（ x3 y3） 2xy ·2即（ x y）（ x2y2）（ x3 y3 ） x3y3.x 2 y2 ·2x3 y3 x y【点评】 这两个题是论证问题，从证明过程来看，主

8、要是利用了我22们刚学过的基本不等式；重要不等式a b 2ab；两正数 a、b 的算术平均数（ab ），几何平均数（ab ）及它们的关系 （2ab ab ）.2它们成立的条件不同，前者只要求a、b 都是实数，而后者要求a、b都是正数 . 它们既是不等式变形或证明的基本工具，又是求函数最值的重要工具 . 我们仍可以用它们下面的等价变形来解决问题：aba 2b 22，ab（ab ） 2.2问题.2已知 m>0,求证 246mm24 ；【分析】 由于 m>0, 所以可把 24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b,直接利用基本不等式；【解析】 证明 由于 m>0, ，由基本不等式

9、得246m2246m224621224mm当且仅当 24m=6 m ，即 m=2时，取等号；【点评】 此题仍是运用基本不等式来证明的论证问题，m>0 这一前提条件和 246m =144 为定值的前提条件；m问题.3求证:4a7 .a3【分析】 由于不等式左边含有字母a,右边无字母 ,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边4aa34aa333 . 这样变形后,在用基本不等式即可得证.【解析】 证明434a3a3a3324aa3332437当且仅当4=a-3 即 a=5 时, 等号成立 .a3【点评】此题虽然仍是运用基本不等式来证明的论证问题，但却需要对式子进行恰当变形通过加减项的方法

10、配凑成基本不等式的形式 .这也是今后常见的思想方法；问题.4如 x>0,y>0, 且 281 , 求 xy 的最小值 .xy【分析】明显已知的式子与所求的式子关系不直接，不能一步就可用基本不等式求出， 看能否利用基本不等式对已知的式子进行推演，得到与所求有关的式子；【解析】 由于 128xy22881xyxy所以， xy64当且仅当 2x81 时，即 x = 4 ,y = 16时 xy取到最小值 64；y2【点评】此题是运用基本不等式来求最值的问题，但却不是从所求的式子直接推求，而是从已知的式子动身，进行推演，去找到所求的式子，这也是今后常见的求最值的类型；利用基本不等式求最值时

11、,个项必需为正数 ,如为负数 ,就添负号变正 .在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法， 但在详细求解时，应留意考查以下三个条件：1函数的解析式 中，各项均为正数；2 函数的解析式中，含变数的各项的和或 积必需有一个为定值；3 函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三 个条件：一正二定三取等；四、思悟小结：学问线：（ 1）不等式的基本性质；（2）基本不等式 a 2思想方法线：b 22ab 与abab 及其等价形式；2（ 1）证明不等式的综合法；（ 2）建模思想方法；（ 3）等价转化思想； 题目线：（1） 利用不等式的基本性质与基本不等式题

12、；abab 2解决最值问（2）利用基本不等式用综合法证明简洁的不等式；五、针对训练巩固提高：<>论证a2b2 c2d 2 a cb da2b 222 a2babab222222ab<>知积求和：1、把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？2、求f x4 x9x>5 的最小值 .x53 、 求函数 y= 3x 26x 21的最小值4、某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为 12m2, 房屋正面每平方米的造价为1200 元，房屋侧面每平方米的造价为800 元，屋顶的造价为5800 元，假如墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房

13、屋能使总造价最低？最低总造价为多少？< >、知和求积：1、把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？2、一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？3、已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽、为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？< >、敏捷运用：1、x,y为正实数，如 x+4y=1, 就 xy 的最大值为， 1x1 的最小y值为；2、如正数 a,b 满意 ab=a+b+3,就 a+b 的取值范畴为,ab 的取值范畴为；3、判定正误：如 0 x，就 y=sinx+2 2sin xsinx2sinx2 2，故 y 的最小值为 22如 0 x，就 y=sinx+2=sin xsinx22sin x22 22 ，故 y