从不同角度谈解三角形

1、课题从不同数学思想角度谈解三角形解三角形是近些年高考的热点，各省市的命题人在命题方向上标新立异，但是我们可以从不同的方向上来解析历年省市的真题、各地的模拟题，从而探究解三角形的热点命题规律，进一步的提升对该学问点的解题才能；角度一：转化与化归思想i转化与化归思想方法在争论、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简洁方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是胜利的思维方式利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦等”的角度对问题进行转化，转化为熟识的三角恒等变换、三角函数、平面对量等问题，再进行求解1在三角形abc 中，角 a

2、、 b、c 所对的边分别为a、 b、c，已知 a 23， c 22， 1就 c 等于 a 30°b 45°c 45°或 135°d 60°tana2c，tanbbtan【解析】 由 1tanab2cb 和正弦定理，得cos asin b sin acos b 2sin ccos a，即 sin c 2sin ccos a， cos a 60°由正弦定理，得23 22 ，就 sin c2又 c a， c 60°，故 c 45°sin asin c2【答案】 选 c为 abc 的面积，就a 3s 3cos bcos c

3、 的最大值为 b2c 2d32 在三角形abc 中，内角a、b、c 所对的边分别为a、b、c，且 a2b2 c23bc如 a3， sb2 c2 a23bc3511 asin b【解析】 由 cos a2bc2bc2 ， a 6 ，又 a3，故 s2bcsin a 2·sin a ·asin c 3sin bsin c，因此 s 3cos bcos c 3sin bsin c 3cos bcos c 3cos b c，于是当b c 时取得最大值 3【答案】 选 a第 1 页，共 12 页13 已知三角形abc 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2 倍，就最小

4、内角的余弦值为 35a 4b 6c 710d 23【解析】 依题意，不妨设三边长a m 1， b m，c m 1，其中 m2， m n ，就有 c 2a， sin cb2 c2 a2 sin 2a 2sin acos a，由正、余弦定理得c 2a·2bc，就 bc2ab2c2 a2，于是 mm 12 m 1m2 4m，解得 m5，故 cos ab2 c2 a22bc52 62 422×5×63【答案】 选 a 44 在锐角三角形abc 中，角 a、b、c 所对的边分别为a、b、c，ba 6cos c，就 abtanc tanatanc的值tanb是【解析】 由ba

5、22222tan ctan cb 6cos c，得 b a a 6abcos c.化简整理得2 a b 3c，将 tantan b切化弦，得 sin ccos a· cos bsin c·a b sin c ·sin c2asin c.cos csin asin bcos csin2csin asin bc2cos c sin asin bcos csin asin b2c22c2c依据正、余弦定理得22 2224. 【答案】 4cos csin asin ba b c2a b c3 2c2ab·2ab25在 abc 中， b 60°，ac3，

6、就 ab 2bc 的最大值为 【解析】 由正弦定理知ab 3 bc ， ab 2sin c， bc 2sin a又 a c 120°，sin csin 60°sin a ab 2bc 2sin c 4sin120 ° c 2sin c2sin 120 °cos c 2cos 120 °sin c 2sin c3cos c sin c 22sin c3cos c 27sin c ，其中 tan 32 ， 是第一象限角，由于0°c 120°，且 是第一象限角，因此 ab 2bc 有最大值27.【答案】 276 在 abc 中，内

7、角a， b， c 所对的边长分别为a， b，c，已知 tana 2 4sin 2a1求2 的值；sin 2a cos a2如 b4， a 3，求 abc 的面积，【解】 1由 tan a 2，得 tan a 1sin2a2tan a2243sin2 a cos a2tan a 15第 2 页，共 12 页22 由 tan a1， a 0， ，得 sin a10， cos a 31031010又由 a 3，b及正弦定理ab，得 b 354sin asin b，得由 sin c sin a b sin a 4sin c 2551就abc 的面积 s 2absin c 9【变式 1 1】钝角三角形的

8、三边长为a，a1，a 2，其最大角不超过120°，就 a 的取值范畴是3a 0 a 3b a 325c2 a 3d 1a 2【解析】 由于 a， a1， a 2 为钝角三角形的三边长， a a 1 a2，就 a 1由大边对大角可知，边长为a 2 的边对应的角最大，由余弦定理得cos a2 a 12 a 22 2aa 1 0， 13 a，得22 3【答案】 选 b【变式 1 2】如满意条件c 60°，ab 3，bca 的三角形abc 有两个， 那么 a 的取值范畴是 a 1，2b 2，3c 3， 2d 1， 2【解析】 由于 c 60°， ab3，由正弦定理，得ab

9、 bc 2， a 2 sin a，又 ab 120°，sin c且三角形有两解， 60° a 120°，且 a90°，即32sin asin a1，得3 a 2【答案】 选 ccos b sina bsinb【变式 1 3】在 abc 中，角 a，b， c 的对边分别为a， b， c，且 2cos2a b2 cosa c 3.51求 cos a 的值；2 如 a 42， b 5，求向量 ba 在 bc 方向上的投影2ab3【解】 1由 2coscos b sina bsin b cosac，25，得cos a b 1cos b sin a bsin b

10、cos b 353即 cosa bcos b sin a bsin b 5.就 cosa b b33.， 即 cos a 55第 3 页，共 12 页32 由 cos a34， 0a ，得 sin a ，55由正弦定理，有ab，所以 sin bbsin a2sin asin ba2 . 由题知 ab，就 a b，故 b4.依据余弦定理，有422 52 c2 2×5c× 35，解得 c 1 或 c 7舍去 2 .故向量 ba 在 bc 方向上的投影为| ba |cos b2角度二：函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题中

11、的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型方程、不等式或方程与不等式的混合组，然后通过解方程组或不等式 组 来使问题获解 有时， 仍通过函数与方程的相互转化、接轨， 达到解决问题的目的1在 abc 中，角 a，b， c 所对的边长分别为a， b， c，且满意csin a3acos c，就 sin a sin b的最大值是 a 1b2c3d 3【解析】 由 csin a3acos c，得 sin csin a3sin acos c，在 abc 中 sin a0，所以 sin c3cosc，33tan c3，c 0，就 c 3. 所以 sin a sin b sin asin 3 a

12、 2sin a 2 cos a3sin a 6 ，2a 0，3 ，所以当a 3时， sin a sin b 取得最大值3 【答案】 选 c2在 abc 中， d 为 bc 边上一点， dc 2bd ，ad2， adc 45°，如 ac2ab ，就 bd 等于a 23b 4c 25d 35【解析】 在adc 中， ac2 ad2 dc 2 2ad ·dc ·cos 45 °2 dc 2 22·dc· 22 dc 2 2dc ；2在abd 中， ab2 bd 2 ad 2 2bd ·ad ·cos 135 °

13、bd 2 2 22·bd · 22·2 bd 2 2bd，整理2得 bd 2 4bd 1 0，解得 bd 25或 25舍去 【答案】 选 c3 在三角形abc 中， 2sin2 a3sin a， sin b c 2cos bsin c，就2acab第 4 页，共 12 页4【解析】 2sin2 a3sin a. 1 cos a3sin a. sin a1由于 0 a 7aa2 5222262 ， 6 66 ，就 6 6 ，所以 a3 再由余弦定理，得a b c bc， ；将 sin b c 2cos bsin c 绽开得 sina2 b2 c2a2 c2 b2bc

14、os c 3cos bsin c，将其角化边， 得 b·2ab c·2ac，即 2b2 2c2 a2，；将代入 ，222b2bb113b113acc2c2ab得 b 3c bc 0，左右两边同除以c ， 得 c c 3 0，解得或 舍去 ，b c 113【答案】211324在 abc 中，角 a，b， c 所对的边长分别为a， b， c，已知 bcos c3bsin c ac 0 1 求 b； 2如 b3，求 2a c 的取值范畴【解】 1由正弦定理知sin bcos c3sin bsin c sin a sin c 0，将 sin a sin b c sin bcos c

15、 cos bsin c 代入上式， 得3sin bsin c cos bsin csin c 0，1在 abc 中， sin c0，就3sin b cos b 1 0，即 sin b 6 2又 0 b，就 b 32由 1得bac 2，sin bsin asin c 2a c 4sin a 2sin c4sin a 2sin 23a 5sin a3cos a 27sin a ，其中 tan 35 ， 是第一象限角，由于 0° a 120°，且 是第一象限角，27sin a 3， 27因此 2a c 的取值范畴为3， 275 凸四边形pabq 中，其中a、b 为定点， ab3，

16、 p、q 为动点，满意ap pq qb 1 1 写 出 cos a 与 cos q 的 关 系 式 ； 2设三角形pab 和三角形pqb 的面积分别为s 和 t，求 s2 t2 的最大值【解】 1在 pab 中，由余弦定理知pb 2 pa2 ab2 2pa ·ab ·cos a 4 23cos a，同理，在 pqb 中 pb 2 22cos q，4 23cos a2 2cos q，cos q3cos a1第 5 页，共 12 页512由已知得， s 2pa ·absin a32 sin a， t1pq ·qb·sin q， 2s2t2 3sin

17、2a 1sin2 q 3 cos2a31 cos2q444183233343 2742cos a2 cos a 2 cos a 6 ，时，当 cos a76s2 t2 有最大值为 78【变式 2-1】已知 abc 的三内角a， b， c 所对的边分别是a， b， c，向量 msin b,1 cos b与向量 n 2,0的夹角 的余弦值为121求角 b 的大小；2如 b3，求 a c 的范畴【解】 1m sin b,1 cos b ， n 2,0，m·n 2sin b，又|m|sin2b 1 cos b 22 2cos b 2 sin b ，2bbb0 b，0 2 2，sin 2 0，

18、|m|2sin 2 .m·n2sin bb1b2而|n| 2，cos cos ， ，b.|m|n|b4sin 222233bac2 由1得 sin b 2，且 acsin asin c3 a c 2sin a 2sin c 2sin a 2sin 3a sin a3cos a2sin a 3，又 0 a，所以3 a 3323 ， 所 以32 sin a3 1，所以3 2sin a 3 2，即 a c 的取值范畴为 3，2.【变式 2 2】设 abc 的三内角 a， b， c 所对的边分别是a， b， c， a btan a，且 b 为钝角1证明： b a ；22求 sin a sin

19、 c 的取值范畴【证明】 1 由 abtan a 及正弦定理得 sin aasin a，cos absin b所以 sin b cos a，即 sin b sin a ，2又 b 为钝角，就2 a 2， ，故 b a，即 b a . 22【解】 2由 1可知 c ab 2a 2a 0，故 a 0， 42 2.第 6 页，共 12 页6就 sin a sin c sin a sin222 2a sin a cos 2a 2sina sin a 10 a4，故 0 sin a，因此21 29 92 2 sin a 4 8 8，由此可知sin a sin c 的取值范畴是29 28【变式 23】已知

20、圆 o 的半径为 rr 为常数 ，它的内接 abc 满意 2rsin2 asin2 c 2a bsin b，其中 a， b， c 分别为角a，b， c 的对边，求abc 面积的最大值【解】 由正弦定理得a2 c2 b2ab，即 a2 b2 c22aba2b2c22由余弦定理得cos c2ab2 ，就 c 4112就 s 2absin c2·2rsin a·2rsin b·sin 42rsin asin b33又 a b 4 ，即 b 4 a就 s2r2sin asin b2r2sin asin 3 a r2sin 2 a sin acos a r2 2sin 2a

21、13又 0 a 4 ，就4 52a 444242 就当 2a4，即 a b 238 时， abc 面积的最大值为smax1222r 角度三：数形结合思想所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方 法数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简洁化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质它是数学的规律性与敏捷性的有机结合1 在三角形abc 中，已知ab 12， acb 的平分线cd 把三角形分成面积为32 的两部分，就 cos a 等于 a 133b

22、12c4d 0【解析】 如图， s acds bcd32ad， b2a， acd bcd，设 ad 3k， bd 2k k0 ， db第 7 页，共 12 页7在 acd 中，由正弦定理得cd3k， ；在 bcd 中，由正弦定理得sin acdbsinsin acd2k sin bcd2k sin acd ，即cd2sin acos a2k sin acd， ；由 得 2cos a32，即cos a 3【答案】 选 c42在扇形 aob 中，圆心角 aob 等于 60°，半径为2，在弧 ab 上有一动点p，过点 p 引平行于ob的直线交 oa 于点 c，设 aop ，就三角形poc

23、面积取最大值时的值为【解析】 如图， cp/ob， cpo pob 60° ， ocp 120°，opcp2cp4°在 poc 中，由正弦定理得sin pco sin， sin120 sin， cp sin ，3又oc2， oc 4sin60°，sin60 °sin120 °3 三角形 poc 面积为 s 1cp·ocsin12014sin4sin6034° ·sin ·sin604° ° ··2233233sin 3cos 1sin 4 sin2 30&

24、#176; 1， 0 °， 60°， 2 30° 30 °， 150 °， 当 30°22233时， s取得最大值为3 【答案】 30°【变式 3 1】在三角形 abc 中， c90°，m 是 bc 的中点 如 sin bam1 ， 就3sin bac【解析】 如图，设 ac b， ab c，bc a，第 8 页，共 12 页812ac在 abm 中，由正弦定理得， ；sin bamsin bma由于 sinbma sincma ac，又 ac b2 a2， am b2 1a2c2 3 2amc12c2 a2ac4

25、4a42 24sinbma c23a2，又由得1 c2 a2，两边平方化简得4c 12ac 9a 0，4323 2c 4a2c23a2 0，就 sinbaca6【答案】6 c 33【变式 3 2】abc 中， d 是 bc 上的点， ad 平分 abc， abd 面积是 adc 面积的 2 倍sin b 1求sin c；22如 ad 1，dc 2 ，求 bd 和 ac 的长【解】 1如图， s abd1ab·ad sin bad， s acd21ac·ad sin cad ， 2 s abd 2 s acd ， bad cad ， ab 2ac，2sin bac1由正弦定理

26、，得sin c ab 2 s abd bd ， bd2，s acddc在 abd 和 acd 中，由余弦定理得ab2 ad2 bd2 2 ad·bd·cos adb， ac2 ad2 dc 2 2 ad ·dc ·cos adc，故 ab22ac2 3ad 2bd 2 2dc 2 6，由1 知 ab 2ac，ac 1第 9 页，共 12 页9角度四：分类争论思想所谓分类争论，就是当问题所给的对象不能进行统一争论时，如不能用同一标准、同一种运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会显现多种情形，我们就需要对争论的对象进行分类，然后对每一类分别争论，得出每一

27、类的结论，最终综合各类的结论得到整个问题的解答实质上分类争论是“化整为零， 各个击破，再积零为整”的策略分类争论时应留意懂得和把握分类的原就、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类争论”4.1在 abc 中，角 a，b， c 所对的边分别为a， b， c， ac 3， s abc33 1 求 b； 2如 b2，求 abc 的周长【解】 1由于 s11333，即 sin babc2acsin b，所以2×3sin b42 . 2又由于 0b ，所以 b 3或 3 . 2 2由 1可知， b 3或 3 ，当 b2223时，由于a c ac a c 3ac 2，ac 3，所以 a c11；22222当 b 3 时，由于a c ac 2， ac 3，所以 a c 1舍去 ，所以 abc 的周长为a c b112.2 在 abc 中，内角a， b，c 所对的边长分别是a， b，c.1如 c 2，c，且 abc 的面积为3，求 a， b 的值；32如 sin c sinb a sin 2a，试判定 abc 的外形【解】 1 c 2，c ， 由余弦定理3c2 a2 b22abcos c 得 a2 b2 ab4.1又 abc 的面积为3， 2absin c3，ab 4.22联立方程组a b a