黄金分割教案

1、1 黄金分割教案1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点）一、情景导入生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点c 把 ab 分成两段ac 和 bc，使得画出的图形匀称美观呢？二、合作探究探究点一：黄金分割的有关概念已知 m 是线段 ab 的黄金分割点，ma 是被分线段ab 中较长的线段，且 ma51，求原线段ab 的长 . 解析： 由于 m 是黄金分割点，根据黄金比较长线段原线段512，可求出原线段长. 解： 因为 m 是线段 ab 的黄金分割点，且mamb，所以maab

2、512，所以 ab251 ma25 1（51） 2. 方法总结： 把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度. 已知线段ab6，点 c 为线段 ab 的黄金分割点，求下列各式的值：（1）acbc； （2）ac bc. 解析： 黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的512，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解： 若 acbc，如图，则ac512ab5 1263 53，所以 bcabac6（ 3 53） 9 3 5. （1）acbc3 53（ 935） 3 539

3、356512；（2）ac bc（ 3 53）（ 93 5） 2754527 9 536572. 2 若 acbc，如图 . （1）acbc126 5；（2）ac bc36572. 易错提醒： 注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论. 探究点二：黄金分割的应用在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618 越给人以美感 .小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为 1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解析： 想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距

4、离，再求高跟鞋的高度. 解： 设肚脐到脚底的距离为x m，根据题意，得x1.60 0.60，解得 x0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y0.961.60y0.618. 解得 y0.075，而 0.075m7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美. 易错提醒： 要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和. 三、板书设计黄金分割定义：一般地，点c把线段 ab分成两条线段 ac和bc，如果acabbcac，那么称线段ab被点c黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段512：1

5、3 第 4 课时黄金分割教学目标（一）教学知识点1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 . （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程.创设问题情境，引入新课师生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么 这些漂亮的图形你能画出来吗？比如， 右图是一个五角星图案，如何找点c

6、 把 ab 分成两段ac 和bc，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. .讲授新课师 在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段ac、bc 的长度，然后计算abac、acbc,它们的值相等吗？生相等 . 师所以acbcabac. 1.黄金分割的定义一般地，点c 把线段 ab 分成两条线段ac 和 bc，如果acbcabac,那么称线段ab被点 c 黄金分割（ golden section）,点 c 叫做线段 ab 的黄金分割点， ac 与 ab 的比叫做黄金比 .其中abac0.618. 2. 计算黄金比 . 解：由acab=bcac，得 ac2=abbc.设 ab=1,ac=x,则

7、 bc=1- x. x2=1（ 1x）x2+ x1=0 解这个方程，得x1=-1+52或 x2=-1-52（不合题意，舍去） ，所以，黄金比acab=5 -120.618。3.作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段ab，按照如下方法作图：（1） 经过点 b作 bdab， 使 bd=21ab. （2）连接 da，在 da 上截取 de=db. （3） 在 ab 上截取 ac=ae.则点 c 为线段 ab 的黄金分割点. 师你知道为什么吗？若点 c 为线段 ab 的黄金 分割点， 则点c 分线段 ab 所成的两条线段ac、 bc 间须满足acbcabac.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相

8、交流.为了计算方便， 可设ab=1. 证明： ab=1,ac=x,bd=21ab=214 ad=x+21在 rtabd 中，由勾股定理，得（x+21）2=12+（21）2x2+x+41=1+41x2=1xx2=1 （1x）ac2=abbc即：acbcabac即点 c 是线段 ab 的一个黄金分割点，在 x2=1x中整理，得 x2+x1=0 x=2512411ac 为线段长，只能取正ac=215 0.618 abac0.618 黄金比约为0.618. 3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（parthenom temple）.把它的正面放在一个矩形abcd中，以矩 形 abcd 的宽 ad 为边在其内

9、部作正方形 aefd，那么我们可以惊奇地发现，bcabbebc,点 e 是 ab 的黄金分割点吗？矩形 abcd 的宽与长的比是黄金比吗？师请大家互相交流 . 生 因为四边形aefd 是正方形， 所以ad=bc=ae, 又 因 为bcabbebc, 所 以aeabbeae,即aebeabae,因此点 e 是 ab 的黄金分割点， 矩形 abcd 宽与长的比是黄金比. 师 在上面这 个矩形中， 宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比 . 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段

10、的黄金分割点. .课后作业习题 4.8 .活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释， 兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间， 那么，可以把 1000和 2000 看作线段的两个端点，选择 ab 的黄金分割点c 作为第一个试验点， c 点的数值可以算是1000+ （20001000） 0.618=1618.试验的结果，如果按1618 倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选ac 的黄金分割点d，d的位置是1000+（16181000） 0.618，约等于 1382，如果 d 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选 dc 之间的黄金分割点 ；如果太稀， 可以选 ad 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据. 这种方法叫做 “黄金分割法” .用这样的方法进行科学试验，可以用最