连续函数运算高数

1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调

2、递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *rx因此xy1sin在*rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目

3、录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为znnn,

4、 ) 12( ,2(1cosxy的定义域为znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(

5、1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x21,41,)(xxxxx例例5. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立? 作业作业p85a 1; 2; 3 (4), (5) , (6) , (7