椭圆及其性质知识点梳理及经典高考题解析

1、 椭圆及其性质【考纲说明】 1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2. 掌握椭圆的简单几何性质【知识梳理】知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；3在椭圆的两种标准方程中，都有和；4椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上

2、时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫

3、做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个

4、量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确

5、定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有

6、关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。【经典例题】1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为_ （2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆方程为_【解】（1）由

7、已知：，又，故求得：。所以，椭圆方程为：（2）设椭圆方程为：，且设， PQ的中点为。由已知：，所以， 即有：，又 ，求得： 或 。 联立，消去y,得：， 则有: ，即。 由韦达定理可得：，从而有， 易知：，所以或， 解之得： 或。故椭圆方程为： 或 。【例2】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点 与椭圆交于两点，与轴交于点点，且（1）若，求椭圆离心率的取值范围（2）若，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程【解】（1）设椭圆方程为：，则直线的方程为：由，可求得：代入椭圆方程，并整理得：而且，故有：由已知： 得：考虑到，故求得：（2）由（1）可知，当时，故椭圆方程可化为

8、：联立 消去得：设的中点为，则 易知：椭圆的右准线为：，于是 故椭圆方程为：【例3】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程（2）若，求直线的方程（3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点（4）求的最大面积【解】（1） 椭圆方程为：（2）设直线的方程为：，且设联立 消去，得：则 从而求得：由 得 ： ，求得 所以的方程为：（3）有已知及（2）知：。设直线与轴交于点则有由（2）可知：所以 又由（2）知： ， 所以 ，即故直线过定点，即为椭圆的右焦点（4）由（1）得：令 ， 则 当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为2 椭圆的性质【例

9、4】已知椭圆的两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得（1）求椭圆离心率的取值范围（2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。求椭圆的方程；求直线的斜率的取值范围。【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得： 所以，从而 ，即，又， 所以，得：，所以 。（2）当取得最小值时，在短轴顶点，所以， 又， 故求得：。 所以椭圆方程为：【法一：点差法】设，设的中点为，则 即 由已知 的垂直平分线方程为：易知点在该直线上，所以 由，可求得： 即 由已知：点在椭圆内部，所以 【法二：联立方程法】设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：则有 即 又

10、有: 从而所以的中点为 。又在的垂直平分线上，所以， 即 将代人求得：【注1】在方法二中，也可由得到【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足；（3）；（4）椭圆内部的点满足； 【例5】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。（1）求椭圆的离心率（2）设为椭圆上任一点，若，求证：为定值【解】（1）设椭圆方程为 ，设， 由已知：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得： ， 由韦达定理得：，易知： 因为与向量共线，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：。（2）由（

11、1）得：，所以椭圆方程为：，即，直线AB的方程为：，于是有：，从而，。于是。设，由已知：，将M的坐标代入椭圆方程得：， 即， 于是有：。 故为定值。【例6】已知A为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有. （1）椭圆的离心率（2）设，判断是否为定值？【解】（1）当轴时，从而 依定义有，所以 而，所以 ，即 。（2）由（1）可知椭圆方程为：， 设若的斜率都存在，则直线的方程为 代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由已知：；同理可得： 所以若有一个斜率不存在，不妨设轴则 所以 综上所述为定值。3. 最值问题【例7】已知是椭圆的左，右焦点以及两定点（1）设为椭圆上一个动点求的最大值与最小值；求的最

12、大值与最小值。（2）过点作直线与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围【解】（1）由已知：点在椭圆内部。易知所以，。 依定义有：， 所以，由三角不等式可得： ，即 。当且仅当三点依次共线以及三点依次共线时，左右等号分别成立。所以；（此时三点依次共线）。（此时三点依次共线）【法一】易知所以，设，则。 因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大1. 【法二】易知，所以，设，由向量的数量积定义及余弦定理可得： （以下同解法一）（2）显然直线不满足题设条件，设，设直线的方程为：，联立，消去，整理得： 由 得： 或 又 所以 又 所以 ，即 所以 。

13、 故由、得： 或 【例8】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点， 为椭圆C的右焦点，直线与交于点（1）证明：点在椭圆上（2）求面积的最大值【解】（1）由已知。设，则且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得： 即 因为， 所以点在椭圆上（2）设直线的方程为且联立则由：所以 所以令，函数递增， 所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例9】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为，右顶点为，设，过原点的直线与椭圆交于两点，求的最大值【解】【方法一】由已知可得：椭圆方程为：。 设则，所以直线的方程为：即， 作于， 则 易知， 所以因为点在椭圆上，所以可设所以当时，取得最大值【方法二】由，可得当且仅

14、当即或时取等号所以的最大值为 【例10】（08 山东）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记是以与坐标轴的交点为顶点的椭圆（1）求椭圆的标准方程（2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点。 若（为坐标原点）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； 若点是与椭圆的交点，求的最小面积【解】（1）由题意得 又，解得：因此所求椭圆的标准方程为：（2）假设所在直线的斜率存在且不为零，设所在直线方程为，且设 解方程组 得：，所以设，由题意知：，所以 ，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此 ， 又，所以，故 当或不存在时，上式仍然成立综上所述，的轨迹方

15、程为 当存在且时，由（1）得：，由 解得：，所以， 由于，当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是当，当不存在时，综上所述，的面积的最小值为【（2）另解】因为 ，又 ，所以 ，当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是【例11】(2009山东卷) 设椭圆E: 过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。（3）设直线与椭圆相切于点，与椭圆E只有一个公共点，当取何值时，取得最大值？并求此最大值【解】（1）因为椭圆E: 过M

16、（2，） ，N(,1)两点,所以解得 即 所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且。 设该圆的切线方程为解方程组 消去y，得：, , .则=，即 由由韦达定理得：，。于是要使,需使 ，所以 ， 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为由 可得：，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或，满足。综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且.因为, ， 所以 ）当时，。 因为所以,， 即 ,所以 ，当且仅当时取”=”. ）当时,.）当AB的斜率不存在时, 两个交点为或此

17、时,ABDO综上, |AB |的取值范围为：。即: 。【另解】如图，设，作于D， 由及已知可得：， 易知，。 所以。 令，易知：函数在上递减，在上递增。所以，。故 。（3）设直线的方程为，设， 因为直线与圆相切，所以 联立，消去Y得： 由已知：，即 由 可得：，。 当直线与椭圆有唯一公共点Q时，有：即有： 从而有： 于是有： 而 ，当且仅当，即时取等号。 所以，故当时，。 【课堂练习】一.选择题：.已知椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为，则P到另一焦点距离为（ ）A B C D 中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为，则椭圆方程是（ ）A. B. C. D. .与椭圆9x2+4y2

18、=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( ) A椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）A. B. C. D.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A. B. C. D. 椭圆两焦点为 ， ，P在椭圆上，若 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A. B . C . D . 椭圆的两个焦点是F1(1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A 1 B 1 C 1 D 1.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( ) (A)450 (B)600 (C)900

19、 (D)1200椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 10已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 ()（A）2 （B）6 （C）4 （D）12二、填空题：11方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是_12过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13设,的周长是，则的顶点的轨迹方程为_14如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线，则该椭圆的离心率等于_三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率

20、，短轴长为，求椭圆的方程。16.已知点和圆：，点在圆上运动，点在半径上，且，求动点的轨迹方程。17已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程18（10分）根据条件，分别求出椭圆的方程： （1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为；（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，短轴的一个顶点与两个焦点组成的三角形的周长为，且。19（12分）已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。（1）求的最大值；（2）若且的面积为，求的值；【课后作业】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1下列命题是真命题的是

21、（ ）A到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆C到定点F(c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）ABCD3若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）A（0，+） B（0，2） C（1，+） D（0，1）4设定点F1（0，3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）A椭圆 B线段 C不存在D椭圆或线段5椭圆

22、和具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的长、短轴6若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）ABCD 7已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是（ ） ABCD8椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3BCD9在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A BC3 D410过点M（2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）A2B2CD二、填空题（本题共4小题，每小题6分，

23、共24分）11离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 _ .12与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(3，)的椭圆方程为_13已知是椭圆上的点，则的取值范围是_ 14已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_三、解答题（本大题共6题，共76分）15已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程(12分) 1、 已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程(12分)高考及模拟题：1.(2008年惠州调研)(文科)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心

24、率等于()A.B.C.D.1(2009年柳州模拟)(理科)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为()A.B.C.D.2(2008年佛山二模)若椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y22bx的焦点为F.若3，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.3(2008年江西卷)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)B(0，C.D.4(2009年江西卷)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D

25、.5(2008年湖北卷)如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2>a1c2；.其中正确式子的序号是()ABCD6(2008年全国卷)在ABC中，ABBC，cosB.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e_.7(2009年田家炳中学

26、模拟)设椭圆1(a>b>0)的四个顶点分别为A、B、C、D,若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为_8(2008年江苏卷)在平面直角坐标系中，椭圆1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e_.9(2009年天津卷)已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)(c0)，过点E的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.(1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB的斜率；(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m0)在AF1C的外接圆上，求的值10(2009年苏北十校联考)如右图，已知椭圆C：1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称F1BF2为椭圆C的特征三角形如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆