第四章连续时间傅立叶变换

1、第第4章章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 The Continuous time Fourier Transformu重点：重点：1、掌握傅立叶变换定义及其基本性质；、掌握傅立叶变换定义及其基本性质；2、牢记常用典型信号的傅立叶变换；、牢记常用典型信号的傅立叶变换；3、掌握运用傅立叶变换分析、掌握运用傅立叶变换分析LTI系统的方法系统的方法u难点：难点：运用傅立叶变换及相关性质分析运用傅立叶变换及相关性质分析LTI系统系统4.0 引言引言傅立叶在把傅立叶级数推广到傅立叶积分的研究傅立叶在把傅立叶级数推广到傅立叶积分的研究中基于如下的方法：把非周期函数看作一个周期函中基于如下的方法：把非

2、周期函数看作一个周期函数在周期趋于无穷大时的极限。数在周期趋于无穷大时的极限。l本章的地位：形成连续时间信号与系统频本章的地位：形成连续时间信号与系统频域法的基础。域法的基础。从非周期函数从非周期函数x(t)构造出一个周期函数构造出一个周期函数 ，使得该周期函数，使得该周期函数 在一个在一个周期内就等于周期内就等于x(t) ，随着这个周期趋于无穷大，随着这个周期趋于无穷大， 就会在一个愈来愈大的区就会在一个愈来愈大的区间上等于间上等于x(t) ，这样，这样， 的傅立叶级数表示也就趋于的傅立叶级数表示也就趋于x(t)的傅立叶积分表示。的傅立叶积分表示。( )x t( )x t( )x t( )x

3、 tT4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换(CFT) Representation of Aperiodic signals:The Continuous time Fourier Transform一、非周期信号傅立叶变换表示的导出一、非周期信号傅立叶变换表示的导出对下面的连续时间周期方波：对下面的连续时间周期方波：111,| |( )0,| |/2tTx tTtT其傅立叶级数是其傅立叶级数是0 102sinkkTakTT=4T1T=8T1T=16T1用周期延拓的方法构造出一个用周期延拓的方法构造出一个周期函数周期函数 ，即：，即：( )x t( )(

4、)lx tx tlT周期函数周期函数 的傅立叶级数表示：的傅立叶级数表示：( )x t0( )jktkkx ta e0/2/21( )TjktkTax t edtT假设一个具有有限持续期的非周期函数假设一个具有有限持续期的非周期函数x(t):110,| |( )0,| |tTx ttT周期周期T的选择：的选择：T大于大于x(t)的非的非零区间零区间由于由于所以所以00/2/2/2/211( )( )TTjktjktkTTax t edtx t edtTT11( ),| |( )0,| |x ttTx tTtT0/2/2( )TjktkTTax t edt即即0/2/2()limlim( )Tj

5、ktkTTTX jTax t edt()( )j tX jx t edt 是原函数是原函数x(t)的频谱密度函数，简称频谱函数的频谱密度函数，简称频谱函数。()X jTd00k变成连续函数kTa即即0011()()|kkaX jkX jTT0001( )()jktjktkkkx ta eX jkeT0001( )()2jktkx tX jke由于由于0 = 2/T,则：则：Td00k)()(txtx0001( )lim ( )lim()21()2jktTTkj tx tx tX jkeX jed傅立叶变换（傅立叶变换（CFT） Fourier transform ( )()CFTx tX j

6、() ( )( )j tX jF x tx t edt11( )()()2j tx tFX jX jed傅立叶正变换：傅立叶正变换：傅立叶反变换：傅立叶反变换： x(t)和和X(j)分别为非周期函数的时域和频域表示，两者构分别为非周期函数的时域和频域表示，两者构成一个傅立叶变换对。成一个傅立叶变换对。 X(j X(j) )告诉我们将告诉我们将x(t)x(t)表示为不同频率正弦信号的线表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息。性组合所需要的信息。 X(j) 的物理含义是：的物理含义是： X(j X(j) )反映了信号反映了信号x(tx(t) )的频谱随频率而变化的分布特性，的频谱随频率而变化

7、的分布特性，是频率是频率的连续函数。的连续函数。一般而言，一般而言， X(j) 是一个复函数，通常将它表示为是一个复函数，通常将它表示为|X(j)| ：描述了描述了 x(t) 的幅频特性，称之为的幅频特性，称之为 x(t) 的的幅度谱幅度谱, ,它它代表信号中各频率分量的相对大小代表信号中各频率分量的相对大小)(| )(|)(jjejXjX()j ：描述了：描述了x(tx(t) ) 的相频特性，称之为的相频特性，称之为 x(tx(t) ) 的的相位谱相位谱，它代表信号中各频率分量的相位关系。它代表信号中各频率分量的相位关系。三、傅立叶变换的收敛三、傅立叶变换的收敛Convergence of

8、Fourier transformx(t)的傅立叶变换是否存在的条件应该和傅立叶级的傅立叶变换是否存在的条件应该和傅立叶级数是否收敛所要求的那一组条件一样。数是否收敛所要求的那一组条件一样。掌握一些典型信号的傅立叶变换，对于我们求一些其它信号掌握一些典型信号的傅立叶变换，对于我们求一些其它信号的傅立叶变换，将会带来很多方便。的傅立叶变换，将会带来很多方便。（1 1）单边指数信号：）单边指数信号： 0)()(1atuetxat0)()(2atuetxat四、连续时间傅立叶变换举例四、连续时间傅立叶变换举例Examples of Continuous time Fourier Transformj

9、ajX1)(1jajX1)(2（2 2）双边指数信号：）双边指数信号：0)(| |aetxta（3 3）矩形脉冲）矩形脉冲 11|0|1)(TtTttx)(2sin2)(111TSaTTjX时域实偶，频域实偶时域实偶，频域实偶?222)(aajX(4)(4)含有奇异函数的傅立叶变换含有奇异函数的傅立叶变换 ( (一一) ) 单位冲激函数和常数单位冲激函数和常数1 1 1|)()(0ttjtjedtetjX)(2)(1)(jXtx)()(ttx（二）符号函数（二）符号函数sgn(tsgn(t) )010001)sgn(ttttjjXttx2)()sgn()(（三）单位阶跃信号（三）单位阶跃信号u

10、(t)u(t)jjXtutx1)()()(（四）指数信号（四）指数信号tje0tjetx0)(cos0tFsin0tF2100tjtjeeF)()(002100tjtjeeFj)()(00jj)(2)(0jX4.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换The Fourier Transform for Periodic Signal0( )jktkkx ta e)(2)()(00jXetxtj将周期信号转换为傅里叶级数将周期信号转换为傅里叶级数故：故：0()2()kkX jak 一个傅立叶级数系数为一个傅立叶级数系数为ak的周期信号的傅立叶变换，是出的周期信号的傅立叶变换，是出现在成谐波关

11、系的频率现在成谐波关系的频率k0 上的一串上的一串冲激函数冲激函数，冲激函数的，冲激函数的面积是对应傅立叶系数的面积是对应傅立叶系数的2倍。倍。example：周期为：周期为T的周期性脉冲串：的周期性脉冲串：-T1tT0)(tx( )()kx ttkT该信号的傅立叶级数是该信号的傅立叶级数是0/2/211( )TjktkTat edtTT周期脉冲串的傅立叶变换周期脉冲串的傅立叶变换22()()kkX jTT 0()X j2T2T2T4.3 连续时间傅立叶变换性质连续时间傅立叶变换性质 Properties of the Continuous time Fourier Transformx(t)

12、和和X(j)这对傅立叶变换对用下列符号表示：这对傅立叶变换对用下列符号表示：( )()Fx tX j ()( )j tX jx t edt1( )()2j tx tX jed注：注：1( )()2j tx tX jed当当t=0时时1(0)()2xX jd对对()( )j tX jx t edt当当 =0时时(0)( )Xx t dt一、线性一、线性(Linearity)若若( )()Fx tX j ( )()Fy tY j ( )( )()()Fax tby taX jbY j 二、时移性质二、时移性质(Time Shifting)若若( )()Fx tX j 则则00()()j tFx t

13、teX j 即：信号在时间上移位，并不改变它的傅立叶变换的模，即：信号在时间上移位，并不改变它的傅立叶变换的模，只是引入相移。只是引入相移。例例x(t) 1 2 3 41.51x1(t)-0.5 0.51-1.5 1.51x2(t)121( )(2.5)(2.5)2x tx tx t而而12sin(/2)()Xj22sin(3/2)()Xj 利用线性和时移性质利用线性和时移性质5/2sin(/2)2sin(3/2)()jX je三、共轭及共轭对称性三、共轭及共轭对称性Conjugation and Conjugate Symmetry若若( )()Fx tX j 则则*( )()Fx tXj

14、若若x(t)为实函数为实函数*()()XjXj ( )()FveE x tR X j ( )()FdmOx tjIX j ()()FxtXj 而：而：若若x(t)为为实偶函数实偶函数，那么，那么X(j)也是也是实偶函数实偶函数。若若x(t)为为实奇函数实奇函数，那么，那么X(j)是是虚奇函数虚奇函数。)(RejX例例1：信号：信号x(t)如图所示，求如图所示，求 t 1 -1 x(t) 1 解：解： t 1 -1 xe(t) 0.5 由于由于x(t)是实信号，则：是实信号，则：)(Re)(jXtxFe2)()()(txtxtxe而sin)(txFe例例2：因果实信号：因果实信号x(t)的傅立叶

15、变换的实部的傅立叶变换的实部212)(RejX求求x(t)解：解：由于由于x(t)是实信号，则：是实信号，则：)()()(Re)(| |1tuetueejXFtxttte而：而：2)()()(txtxtxe则：则：2)()()()()()(tutxtutxtutxe又因为：又因为：)()()()(tutxtxtx是因果信号，满足：且：且：0)()(tutx故：故：)(2)()(2)()(tuetutxtutxte四、微分与积分四、微分与积分Differentiation and Integration若若( )()Fx tX j 则则( )()Fdx tj X jdt 讨论利用傅立叶变换来分析

16、由微分方程描述的讨论利用傅立叶变换来分析由微分方程描述的LTI系统时，系统时，特别有用！特别有用！( )()()nFnnd x tjX jdt 积分关系积分关系若若( )()Fx tX j 则则1( )()(0) ( )tFxdX jXj 例：已知例：已知 t 1 -1 x(t) 1 求：求：)(jX解：解： t 1 -1 g(t) 1 x(t)的导数为的导数为g(t)5 . 05 . 05 . 0sin25 . 0sin2)(jjeejG2)5 . 0(sin4j22)5 . 0(sin4)() 0 ()()(GjjGjX频域微积分：频域微积分：()( )FdX jjtx td ()()(

17、)nFnnd X jjtx td djXtxtxjt)()()0()(1例：已知例：已知)()(tutetxat求：求：)(jX解：解：jatueat1)(则：则：2)()1()()(jajjatuejtat故：故：2)(1)(jatuteat五、时间与频率的尺度变换五、时间与频率的尺度变换Time and Frequency Scaling若若( )()Fx tX j 则则1()()|Fjx atXaa 当当a=-1,a=-1,()()FxtXj 信号在信号在时域中压缩时域中压缩（a1a1）等效于在）等效于在频域中扩展频域中扩展；反之，信号在反之，信号在时域中扩展时域中扩展（a1a1）则等效

18、于在）则等效于在频域频域中压缩。中压缩。信号在时域中沿纵轴翻褶等效于在频域中频谱也沿信号在时域中沿纵轴翻褶等效于在频域中频谱也沿纵轴翻褶。纵轴翻褶。补充：补充：001 ()()|tjajF x attXeaa例：已知例：已知)62( tx求：求：x(t)与与X(j)所覆盖的面积分别等于所覆盖的面积分别等于X(j)与与x(t)在零点的数在零点的数值值X(0)或或x(0).1(0)()2xX jd(0)( )Xx t dt等效带宽等效带宽信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作为代价。所以在无线信号的持

19、续时间，则不得不以展宽频带作为代价。所以在无线电通信中，电通信中，通信速度通信速度和和占有频带宽度占有频带宽度是一对矛盾。是一对矛盾。tx(t)x(0)BX()X(0)(0)(0)(0)(0)xXXBx例：例：4.24(作业题）作业题）六、对偶性六、对偶性(Duality )若若( )()Fx tX j 则则)(2)(xtX例：例：tttxcsin)(求：)(jX解：因为解：因为 t c -c x(t) 1 cjXsin2)(ttttXcsin2)( c -c x(j) 2 故：tttxcsin)( c -c X(j) 1 例：例：212)(ttx|2)(ejX c -c X(j) 1 即：即

20、：tttxcsin)(频移性质频移性质00( )( ()jtFex tX j u基于频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理中得到了基于频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理中得到了广泛的应用，例如，载波幅度调制、同步解调、变频和混频广泛的应用，例如，载波幅度调制、同步解调、变频和混频等技术！等技术！00( )( ()jtFex tX j 因为因为导出导出0000001 ( )cos( ()( ()2 ( )sin( ()( ()2F x ttX jX jjF x ttX jX j0000001cos()21sin()2jtjtjtjtteeteej七、帕斯瓦尔定理七、帕斯瓦尔定理Parseva

21、ls Relation (Energy theorem)221| ( )|()|2x tdtX jd信号的总能量既可以按每单位时间内的能量在整个时间内信号的总能量既可以按每单位时间内的能量在整个时间内积分出来，也可以按每单位频率内的能量在整个频率范围内积分出来，也可以按每单位频率内的能量在整个频率范围内积分出来。积分出来。2|()|X j为信号的能谱密度为信号的能谱密度。例：已知例：已知x(t)的傅立叶变换如图所示，的傅立叶变换如图所示，（1）求）求x(t)；（2）求）求 的傅立叶变换的傅立叶变换Y(j)（写（写出表达式，并画出波形）；出表达式，并画出波形）；（3）求）求 的值。的值。 X(j

22、) -2 2 1 tjetxty10)()(dttxA)(2解：解：（1）（2）根据频移特性：根据频移特性：)()(00jXetxtj则：则：)10()(jXjY Y(j) 8 12 1 tttx2sin)(（3）根据帕斯瓦尔关系式：）根据帕斯瓦尔关系式：22221| ( )|()|2122x tdtX jdd4.4、 卷积性质卷积性质The Convolution Property 在信号与系统的理论和方法中，最重要的变换性质就是在信号与系统的理论和方法中，最重要的变换性质就是卷积性质。卷积性质。( )( )( )()()()Fy tx th tY jX jH j 卷积性质将两个信号的卷积映

23、射为它们傅立叶变换的乘积。卷积性质将两个信号的卷积映射为它们傅立叶变换的乘积。其中其中()( )j tH jh t edt为频率响应，它控制着每一频率为频率响应，它控制着每一频率上输入傅立叶变换复振幅上输入傅立叶变换复振幅的变化。的变化。用频率响应来描述系统的级联性质：用频率响应来描述系统的级联性质：12121212( )*( )()()( )( )()()h th tHjHjh th tHjHj例：已知下列关系：例：已知下列关系：（1）y(t)=x(t)*h(t)（2）g(t)=x(3t)*h(3t)（3）x(t)的傅立叶变换是的傅立叶变换是X（j）,h(t)的傅立叶变换是的傅立叶变换是H（

24、j）；求：利用傅立叶变换性质证明求：利用傅立叶变换性质证明g(t)为：为：g(t)=Ay(Bt)求出求出A和和B的值。的值。解：解：) 3/() 3/() 3/()()()(jHjXjYjHjXjY) 3/(313(jXtxF) 3/(313(jHthF) 3/(313(jYtyF而：而：则：则：)3/(31(31) 3/(31) 3/(31)(jYjHjXjG故：故：)3(31)(tytg则：则：A=1/3,B=3例：考虑一信号，其傅立叶变换为例：考虑一信号，其傅立叶变换为X(j），假设给出以下），假设给出以下条件：条件：1. x(t)是实的且是非负的；是实的且是非负的；A与与t无关。无关。

25、)()()121tuAejXjFt（2| )(|. 32djX求求x(t)的闭合表达式。的闭合表达式。2、解：解： 由（由（2）,等式两边同时进行傅立叶变换，则：等式两边同时进行傅立叶变换，则：jAjXj2)()1（）（)21)11()1)2()(jjAjjAjX则则)()()(2tueeAtxtt（3）根据帕斯瓦尔关系式：）根据帕斯瓦尔关系式：22|()|2| ( )|1X jdx tdt带入带入x(t)的表达式，得的表达式，得|A|2=12由于由于x(t)是非负的实信号，故：是非负的实信号，故：)()(12)(2tueetxttttth)3sin()(nnttx)()()(Hjktjkke

26、atx0)(例：已知一连续时间例：已知一连续时间LTI系统，其单位冲激响应为系统，其单位冲激响应为求：（求：（1）画出）画出 的波形；的波形；（3）求系统的响应）求系统的响应y(t)。当输入信号为：当输入信号为：(2)写出写出x(t) 的傅立叶级数表示式：的傅立叶级数表示式： 1、解：、解： H(j) 1 -3 3 nntxtjk2tjkkeea)(02、1021)(adtettjkk2210TT3、根据特征函数特征值的概念，、根据特征函数特征值的概念， ktjkejkHty2)2()(而：而：othkjkH02|1)2(ktjkejkHty2)2()(tjtjejHejHH22)2()2()

27、0(teetjtj2cos21122例：研究如下所示的互联系统：例：研究如下所示的互联系统： h1(t) x(t) y(t) H2(j) H3(j) ttth3sin)(1 H2(j) -3 3 0 1 H3(j) -3 3 0 1 已知：已知：（2 2）当输入信号）当输入信号x(t)x(t)为如下图所示周期方波信号为如下图所示周期方波信号时，求系统的输出时，求系统的输出y(t)y(t)。 0 x(t) 1 t 1 -1 1/4 -1/4 （1 1）试求该互联系统的频率相应）试求该互联系统的频率相应H(j)H(j)； 解：解：)()()()()()()(313321jHjHjHjHjHjHjH

28、而：而：)(1jH H1(j) -3 3 0 1 故：故： H (j) -3 3 0 1 2 （2)输入信号是周期信号，则先将其转换为傅立叶级数的形输入信号是周期信号，则先将其转换为傅立叶级数的形式，然后根据特征函数特征值的概念进行求解：式，然后根据特征函数特征值的概念进行求解：周期周期T=1，则基波频率为，则基波频率为220Tkktjkeatx2)(kktjkejkHaty2)2()(而：而：1|01|0)2(kkjkH故：故：tjtjejHaejHajHaty21210)2()2()0()(而：而：4141021dta1|2141414141221tjtjejdtea由于由于x(t)为实偶

29、，故为实偶，故ak也为实偶：也为实偶：111aa2)0(jH34)2()2(jHjH故：故：teetytjtj2cos38134341)(224.5 相乘的性质（频域卷积性质）相乘的性质（频域卷积性质）The Multiplication Property (Modulation)在时域中，一个信号和另一个信号相乘，可理解为用一个信在时域中，一个信号和另一个信号相乘，可理解为用一个信号去调制另一个信号的幅度，叫做号去调制另一个信号的幅度，叫做幅度调制。幅度调制。)()()(tptstr)()(21)(jPjSjR频域卷积性质在信号与系统的理论和方法以及在通信和频域卷积性质在信号与系统的理论和方

30、法以及在通信和信号处理中，有很多十分重要的应用。信号处理中，有很多十分重要的应用。例：求例：求223sin)(tttx的傅立叶变换的傅立叶变换解：令解：令tttx3sin)(1 X1(j) 3 0 -3 )()(21)(11jXjXjX X (j) 0 3 -6 6 4.5.1 可变中心频率的频率选择型滤波器可变中心频率的频率选择型滤波器利用幅度调制实现带通滤波器利用幅度调制实现带通滤波器带通滤波器带通滤波器频谱右移c通过带宽为0的低通滤波器频谱左移c4.6 傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对列表傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对列表Tables of Fourier Properties and

31、 of Basic Fourier Transform Pairs掌握表掌握表4.1和表和表4.2。4.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统 System Characterized by Linear Constant- Coefficient Differential Equation连续时间连续时间LTI系统的线性常微分方程描述：系统的线性常微分方程描述：00( )( )kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt利用傅立叶变换的微分性质。利用傅立叶变换的微分性质。00( )( )kkNMkkkkkkd y td x tFaFbdtdt00()()()

32、()()MkkkNkkkbjY jH jX jaj)(3)()(8)(6)(22txdttdxtydttdydttyd例：例：(1)求系统的单位冲激响应求系统的单位冲激响应h(t)。(2)若系统的输入信号是若系统的输入信号是e-3tu(t)，求响应，求响应y(t)解：对微分方程两边同时进行傅立叶变换：解：对微分方程两边同时进行傅立叶变换：)(3)()(8)(6)()(2jXjXjjYjYjjYj86)(3)()()(2jjjjXjYjH)4121(21jj则：)()(21)(42tueethtt(2)若系统的输入信号是若系统的输入信号是e-3tu(t)，则：，则：31)j (jX)4121(2

33、18)(6)(1)j ()j ()j (2jjjjXHY)()(21)(42tueetytt补充：补充：定义：定义：ttxty1)()(称为希尔伯特变换称为希尔伯特变换（1）求该系统的傅立叶变换）求该系统的傅立叶变换（2）当输入信号为）当输入信号为cos3t时，输出信号为多少？时，输出信号为多少？ttxthtxty1)()()()(解：解：tth1)(则：则：由于：由于：jtF2)sgn(根据对偶法则：根据对偶法则：)sgn(2)sgn(22jtF故：故：00)sgn()(jjjjH（2）当输入信号为）当输入信号为cos3t时，时，2) 3() 3()(33tjtjejHejHtytjeeje

34、jetjtjtjtj3sin223333例：设例：设)()()(tutxtx)()()(jjIjRjX求证：求证：1*)()() 1 (jRjI)()(11)()2(2tutxjR，求若)(1*)(21)(jjXjX解：解：代入：代入：)()()(jjIjRjX)(211*)(21jXjjXjjXjX1*)(1)(1)(11)(11)()(1)()(jIjjRjjjIjRjjIjR1*)()(jRjI则：例：设输入信号例：设输入信号tttx6sin2cos)(求冲激响应分别为以下系统时，求冲激响应分别为以下系统时，分别求系统的输出分别求系统的输出ttth4sin)() 1 (1228sin4sin)()2(tttthtttth8cos4sin)() 3(3jeeeetttxtjtjtjtj226sin2cos)(6622解：输入信号是周期信号，将其表示为傅立叶级数形式：解：输入信号是周期信号，将其表示为傅立叶级数形式：则根据特征函数特征值的概念，输出则根据特征函数特征值的概念，输出y(t)为：为：jejHejHejHejHtytjtjtjtj2)6()6(2)2()2()(66221)2()2(11jHjH则：则：