随机序列及数字特征PPT课件

1、1n0随机变量和随机过程及其样本)(nx3n2n1n1( )x n2( )x n3( )x n11()nx12()nx13()nx1nX随机变量21()nx31()nx随机序列一个样本随机变量样本( )X n随机过程2.符号与意义:第1页/共23页2注意: : 为方便计，以下讨论有时用 或 表示随机序列或随机变量；将样本序列简单表示为: ; ; ; ; ( )x nnx11( )nx nx22( )nx nx( )inix nx根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。第2页/共23页31.1.21.1.2随机矢量随机矢量 ，是有限维或无限维随机变量的集合，表示为:其中， 表示随机变量

2、在时间 的样本值。有限维( 维)随机矢量： 常用：一维 ；二维 。xT12 ,nx xxxnxnNT12,Nx xxx1x12,x x第3页/共23页41.2 随机序列的统计描述随机变量取值是随机的，但其统计特性(包括概率特性和统计平均特性)是确定的， 因此时域可用其特性量表征；频域用功率谱表征。第4页/共23页5二维: 描述随机序列中两个时间点( 与 )上的随机变量 与 之间的关系，即 上式含义: 与 点的随机变量 与 ，其取值同时满足 及 的概率, 亦称“二维联合概率分布函数”。1.2.1概率描述1.概率分布函数一维: 描述随机序列在某一时刻 的统计特性, 即 上式含义：随机变量 在点 上

3、取值不超过 的概率。(, )()nXnnnFx nP XxnnXnnxnmnXmX,(, ,)(,)nmXXnmnnmmFx n xmP XxXxnmnXmXnnxXmmxX第5页/共23页62.概率密度函数一维: 设 取连续值, 则一维概率密度函数定义为: (1.2.3) 因此， 可等价表示为：式中， 是在范围 到 内， 取值的微概率。二维: 对于连续变量 和 , 其二维概率密度函数为：(1.2.4) nX(, )(, )nnXnXnnpx nFx nx),(nxFnXn(, )( , )nnnxXnXFx npx n dxdxnxpnX),(xdxx nXnXmX2,(, ,)(, ;,)

4、nmnmXXnmXXnmnmpx n xmFx n xmxx 第6页/共23页7说明: 概率分布函数可完整地描述随机序列, 但实际中却很难得到。而随机序列的数字特征（统计平均值， 方差，相关函数等）比较容易测量和计算。 因此常用这些数字特征描述随机序列。第7页/共23页81.2.2 随机序列的数字特征1.1.数学期望( (统计平均值, , 一阶原点矩) )定义： (1.2.5)意义: 表示随机过程的全部样本在同一时刻( 点)随机变量 取值的中心(统计平均值)。( ) ( )( )( , )nxxm nE x nx npx n dx随机变量在n时刻的取值取值区间x , x+x上的微概率(密度函数

5、)nnx第8页/共23页92.均方值与方差（1）均方值 (二阶原点矩)定义:(1.2.6)意义: 如果 代表电流或电压, 均方值则表示在 时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。（2）方差 (二阶中心矩)定义:(1.2.7) 22| | ( )|( , )nnxEXx npx n dxnXn22( )|( )| xnxnE Xm n有时将x称为标准方差第9页/共23页10意义: 方差表示 取值的分散程度（或偏离中心值的大小）。如果 代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均. 3.相关函数与协方差函数（1）自相关函数(二阶联合原点矩)定义:(1.2.8)式中的“*”表示复共轭。意义

6、: 反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。nXnX,( ,)(, ,)nmxxnmnmXXnmnmRn mE XXx x px n xm dx dx第10页/共23页11（2）自协方差函数(二阶联合中心矩)定义:(1.2.9)或者表示为：(1.2.10)若 , 则(1.2.11)即对零均值随机序列, 自相关函数与自协方差函数相等。意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。( ,)() ()nmxxnXmXCn mE XmXm( ,)( ,)nmxxxxXXCn mRn mmm0mnXXmm( ,)( ,)xxxxCn mRn m第11页/共23页12（3）互相关函数定义:

7、(1.2.12)意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度.（4）互协方差函数定义:(1.2.13)当 时， 有(1.2.11)意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,( ,)(, ,)nmxynmnmXYnmnmRn mE XYxypx n ym dx dy( ,)() ()( ,)nmnmxynXmYxyXYCn mEXmYmRn mmm0mnYXmm( ,)( ,)xyxyCn mRn m第12页/共23页131.2.3 1.2.3 平稳随机序列及其数字特征1.何谓平稳随机序列? 平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化.狭义( (严) )平稳随机序列: :

8、 其 维概率分布函数满足：(1.2.12) 即这类平稳随机序列的 维概率分布函数与 的起始位置无关. 实际很难实现狭义(严)平稳随机序列 N1212,12,12(,1,2,)( ,1,2,)kkN kNXXXkkN kX XXNFxk xkxNkFxxxNNn将随机序列在时间上平移k, 其统计特性不变,意味着与时间起点无关第13页/共23页14广义( (宽) )平稳随机序列: : 均值和均方差不随时间改变, 其相关函数仅是时间差的函数. 下面重点研究广义平稳随机序列, 并简称为“平稳随机序列”.2.实平稳随机序列的数字特征（1）与时间 无关的数字特征：均值:(1.2.13)均方值:(1.2.1

9、4) nxnnmmE xE x22| | nn mE XE X第14页/共23页15方差:(1.2.15) （2）与起始时间 无关, 仅与时间差 有关的数字特征自相关函数:(1.2.16a)或 (1.2.16b)222| | xnxn mxE xmE xmnm( ) ( )()xxRmE x nx nm( )xxnn mRmE xx第15页/共23页16自协方差函数:(1.2.17) 互相关函数:或 (1.2.18)互协方差函数: (1.2.19)22( )() ()( )xxnxn mxnn mxxxxCmE xmxmE xxmRmm( ) ( )()xyRmE x ny nm( )xynn

10、 mRmE xy( )()()( )xynxn myxyxyCmE xmymRmm m第16页/共23页173.3.实平稳随机序列的相关函数, , 协方差函数的性质（1）是 的偶函数:(1.2.20)(1.2.21)（2） 的值等于随机序列的平均功率:(1.2.22) m( )( )()xyxxxxyxRmRmRmRm( )( )()xyxxxxyxCmCmCmCm参见：1王永德.随机信号分析基础(第二版). p46, p492王宏禹.随机数字信号处理.p4)0(xxR2(0)xxnRE X第17页/共23页18（3） (1.2.23)（4）随着时间差的增大, 随机序列内部的相关性减弱: (1

11、.2.24) (1.2.25)（5） (1.2.26)(1.2.27) (0) |( )|xxxxRRm2lim( )xxxmRmmlim( )xyxymRmm m2( )( )xxxxxCmRmm2(0)xyxC第18页/共23页194.4.平稳随机序列互为正交与互不相关条件（1）正交 对于所有的 , 若满足: , 则称两个随机序列相互正交.（2）不相关 于所有的 , 若满足: , , 则称两个随机序列互不相关. 小结 对于平稳随机序列, , 其数字特征中最主要的是自相关函数 . 表现为:m( )0 xyRm m( )xyxyRmm m( )0 xyCm ( )xxRm问题: 解释正交条件和

12、互不相关条件.第19页/共23页20 时, 均方值；当 时, 与 不相关, 则 ；当 时, ；频域: 当 时, 功率谱函数。0m 2(0)xxnRE xm nxn mx2( )xxnn mxRE xE xm 222(0)()xnxxxxxE xmRR0 xm ( )( )xxxxCmRm0 xm FT( )( )xxxxRmP当时,下式成立2lim( )0 xxxmR m m 这时Rxx(m)存在z变换和付氏变换。第20页/共23页211.2.4随机序列数字特征的矢量表示已知 维随机矢量为 的均值矢量 的均值 是一个 维矢量: (1.2.28)式中, 为 维随机矢量 的联合概率密度函数:T12 ,Nx xxxNxxmN ( )NEpdmxxxx( )p xNx第21页/共23页22 的自相关矩阵 是一个 阶正半定对称矩阵:(1.2.29) 的自协方差矩