随机变量的方差PPT课件

1、Nov-21.)()()( dxxfXExXDXi2常用计算公式常用计算公式：D(X)E (X2) E(X)2证证 明明 重要分布的方差计算重要分布的方差计算证证 明明 见见P110例例4.2.51.XP(l) , 则 E(X) = l , D(X) = l ;2. XB(n, p) , 则 E(X) = np;D(X) = np(1p)第1页/共26页Nov-21典型分布的数学期望与方差：典型分布的数学期望与方差：5.均匀分布均匀分布E(X)=(b+a)/2 ， D(X)=(ba)2/12 1. XP(l) , 则 E(X) = D(X) = l ;2. XB(n, p) , 则 E(X)

2、= np;D(X) = np(1p)4. XN(m , s 2 ) , 则 E(X) = m ;D(X) = s s 2 2 证证 明明3. XN(m , s 2 ) , 则 E(X) = m ;D(X) = s s 2 2 6.指数分布指数分布1()E Xl l 21()D Xl l 第2页/共26页Nov-21例例 4.2.1例例 4.2.3例例 4.2.2设设X , X1, X2, ., Xn 是随机变量是随机变量，c, b 是常数是常数1）E( c ) = c，2）E( c X) = cE(X)，D( c ) =0；D( c X) = c2 D(X) ；练习练习第3页/共26页Nov-

3、21 nijijjiiniiniiXEXXEXEXDXD111)()(2)()(; )()()311 niiniiXEXE若若X1, X2 ,., Xn 相互独立相互独立，则，则 niiniiXDXD11)()()()(11 niiniiXEXE第4页/共26页Nov-21证明证明: )()(2111 niiniiniiXEXEXD)(21 niiiXEXE nijijjiiniiiXEXXEXEXEXE112)()(2)(若若Xi , i=1,2,n 相互独立，则相互独立，则)()()(jijiXEXEXXE 第5页/共26页Nov-21)()(jjiiXEXXEXE niiniiXDXD1

4、1).()(故有故有0)()()( jijiXEXEXXE例例 4.2.4例例 4.2.5例例 4.2.64）D( X ) =0P X =E(X) =1.第6页/共26页Nov-21)()5不等式不等式Chebyshev :|()|()( )xxE XP XE Xf x dx 2)()( XDXEXP 22:|()|()( )xxE XxE Xf x dx 有有存在，则存在，则的方差的方差若随机变量若随机变量0)( XDX证明证明第7页/共26页Nov-21 dxxfXEx)()(1222)( XD方差刻划了随机变量方差刻划了随机变量 X 相对数学期相对数学期望的平均偏离程度！望的平均偏离程度

5、！2)()( XDXEXP 方差是随机变量方差是随机变量 X 关于任何值的关于任何值的偏离程度的最小值！偏离程度的最小值！第8页/共26页Nov-21谁的技术水平发挥的更高？谁的技术水平发挥的更高？已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)05678910 X00.10.10.030.020.050.7P(Y=yk)05678910 Y甲甲乙乙E(X)=100.5+90.2+80.1+70.1+6 0.05+ 50.05=8.85(环环）E(Y)=100.7+90.05+80.02+70.03+6 0.1+

6、5 0.1=8.92(环环）第9页/共26页Nov-21从从平均水平平均水平来看，乙的技术水平略高些来看，乙的技术水平略高些.考虑其平方偏差值的平均值考虑其平方偏差值的平均值甲：甲：2275.22)(1052)( XEXEiiXPXEi乙乙：4860.32)(1052)( YEYEkkYPYEk说明甲的技术水平发挥的更稳定一些说明甲的技术水平发挥的更稳定一些.第10页/共26页Nov-21证明证明D(X) = EXE(X)2= EX22XE(X) + E(X)2= E(X2 ) 2E(X ) E(X) + E(X)2= E(X2 ) E(X)2D(X)= E(X 2 ) E(X)2第11页/共

7、26页Nov-21 l l l l l l l l 1202)!1()11(!)(kkkkkkekkeXE l l l l l l l l 12)!1()!2(kkkkkekel ll ll ll ll ll leeee 21. XP(l) , 则 E(X) = l , D(X) = l ;l ll l 2l l l l l l l l 2222)()()(XEXEXD第12页/共26页Nov-21 dxxfxXD)()()(:2m m证明证明s sm m xt dtett22222 s s2s s分部积分分部积分 s s 2222ttde dxexx222221s sm mm m s s)(

8、)(3. XN(m , s 2 ) , 则 E(X) = m，2s s )(XD第13页/共26页Nov-211 . 2 . 4例例222)(2)()()(xXxEXExXEx 证证明明).(, 02)(2)(XExxXEx 得得到到令令, 02)()( XExx又又 随机变量随机变量X关于自身数学期望的偏离程度比关于自身数学期望的偏离程度比相对其它任何值的偏离程度都小相对其它任何值的偏离程度都小.)()(处处取取到到最最小小值值在在故故XExx .)(, )()(2时达到最小时达到最小当当函数函数证明证明XExRxxXEx 第14页/共26页Nov-21例例4.2.2 设随机变量设随机变量X

9、的分布律为的分布律为X101P1/21/31/61)求求D(X). 2) Y=X 2+1, 求求D(Y). 解 1) E(X)=(1)1/2+01/3+11/6=1/3,E(X2)=(1)21/2+021/3+121/6=2/3,D(X)= E(X2) E(X)2=5/9.第15页/共26页Nov-21 2) E(Y)=(1)2+11/2+ 02+11/3 +12+11/6=5/3, E(Y2)=E(X4+2X2+1)=3,D(Y)= E(Y2) E(Y)2 = 2/9.第16页/共26页Nov-21例例4.2.3且且相相互互独独立立与与设设随随机机变变量量,YX.的方差的方差求求YX )1

10、, 0(), 0(,21NYXNYYX 具有可加性具有可加性正态分布正态分布相互独立相互独立解解,/2)( ZE) 1, 0( NZYXZ则则令令 , 1)(, 0)( ZDZE则则), 0(,21NYX222()()( ) ( )1,E ZE ZD ZE Z 21)()()(22ZEZEYXD第17页/共26页Nov-21练习练习： 设一次试验成功的概率为设一次试验成功的概率为p ,进行进行100次独次独立重复试验，当立重复试验，当p = 时，成功次数的时，成功次数的标准差的值最大，其值为标准差的值最大，其值为 .),100(pBXX，则则设设成成功功次次数数为为解解, )1(10)1(10

11、0)()(ppppXDX s s, 10),1()( pppp引引入入函函数数1/25,21021)( ppp令令第18页/共26页Nov-21,21)(取最大值取最大值在在 pp. 5110 s s）（）（故故ppX, 2)5 . 0 p(p又又因因第19页/共26页Nov-21 XDXEXXXDXDXEX)(0)()(),(* 令令存在，且存在，且的的随机变量随机变量. 1)(, 0)(* XDXE证证明明, 0)()(1)(* XEXEXDXE证证, 1)()()()(1)(* XDXDXEXDXDXD例例4.2.4第20页/共26页Nov-21称称X* 为为 X 的标准化随机变量的标准

12、化随机变量.特别地特别地)1 ,0(),(2NXNXs sm ms sm m 则则第21页/共26页Nov-21 ).(),(,)1 , 0(,2222YXDYXEYXNYX 求求相互独立相互独立且且设设, 1)()()(),1 , 0(,22 XEXDXENYX由由解解例例4.2.5,)()()(2242XEXEXD xxedx24211312.2 , 1)(2 YE同理同理, 2)(22 YXE第22页/共26页Nov-21. 4)()()(,2222 YDXDYXDYX相互独立相互独立又又分布.的服从自由度为2222cYX第23页/共26页Nov-21 例例3.3.6 假设进行了假设进行了n次独立试验，事件次独立试验，事件A在第在第k次试验时出现的概率为次试验时出现的概率为pk, 求事件求事件A在在n次独立试验中出现的总次数次独立试验中出现的总次数 X 的期望和方差的期望和方差. 解解 设事件设事件A在第在第k次试验时出现的次数为次试验时出现的次数为Xk，则则nkpBXkk, 2 , 1), 1( 相互独立，且总出现次数为相互独立，且总出现次数为 n