MSDC[1].初中数学.圆B级.第02讲.学生版

1、内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解 切线的概念，理解切线与过切点 的半径之间关系；会过圆上一点 画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切 线；能利用直线和圆的位置关系 解决简单问題能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的槪念会根据切线长知识解决简单问题J, 1. 理解直线与圆的位置关系:2. 能够证明切线及利用切线解决相关问题.佞3模版一 直线与圆位置关系的确定设0O的半径为，圆心O到直线/的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定狡性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r O直线/与OO相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一

2、公共点叫做切点d = r O直线/与C)O相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线.J<r<>直线/与OO相交二、切线的性质及判定1. 切线的性质(1) 定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(2) 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圜心.过切点=> 垂直于切线.AB过圆心，AB过切点M , AB丄/ 过圆心，垂直于切线=> 过切点AB过圆心，AB丄/, AB过切点M 过切点垂直于切线=> 过圆心AB丄/, AB过切点M ,则M过

3、圆心2. 切线的判定(1) 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2) 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3) 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：定理的題设是''经过半径外端笃 “垂直于半径两个条件缺一不可；定理的结论是'直 线是圖的切线：因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂 直；作垂直，证垂直在圆上.3. 切线长和切线长定理(1) 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的

4、连线平分两条切 线的夹角三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形2. 多边形的内切圆：和多边形的以边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.3. 直角三角形内切國的半径与三边的关系则内切圆半径为r = -P其中设a、b、e分别为ABC中Z4、AB、Ze的对边，面枳为S p = 1(" + b + c)若 ZC = 90°,则 r = (a + b-c)2 2【例1】如图，已知。O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，ZAoB = 45%点P在数轴上运动,

5、 若过点P且与OA平行的直线与C)O有公共点，设OP = X9则X的取值范围是A. OxB. 一xC. lxlD X > >2AMSDC模块化分级讲义体系初中数学.圆B级.第02讲学生版Page 3 Of 11【例2】RtABC中，ZC = 90。，AC = 3cm , BC = Acm9给出下列三个结论：以点C为圆心，3cm 长为半径的圆与AB相离：以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切：以点C为圆心， 5cm长为半径的圆与直线B相交.上述结论中正确的个数是()AO个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【巩固】在RtSABC中，ZC = 90% AC = 12cm , BC

6、= 16cm,以点C为圆心，厂为半径的圆和AB有怎 样的位置关系？为什么？(I) r = 9cm: (2) r = 10cm： (3) r = 9.6cm.【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD中，AD/BC, ZC = 90% AB>AD + BC, AB是0O的直径, 则直线CD与QO的位宜关系为()A.相离 B.相切 C.相交D.无法确定【巩固】如图，Be是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作G)O的切线AD,创丄BC = 10»那么直线CE与以点。为圆心，汕半径的圆的位置关系是C模版二切线的性质及判定b作垂直证半径【例4】已知：O为ABAC平分线上一点，OD丄于D

7、，以O为圆心.以OD为半径作圆O.求证：OO 与AC相切.【巩固】如图，ABC为等腰三角形，AB = AC, O是底边BC的中点，C)O与腹初相切于点D ,求证AC 与OO相切.少连半径证垂直证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有：(1) 利用定乂，证明直线与圆只有一个交点：(2) 当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直：(3) 当所证直线与圆没有确定的公共点吋，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 总结：连接圆心与切点是一条常用辅助线，由此可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用。求值：圆的证明大题第二问通常是

8、考到了求线段的长度，求值的基本方法有：(1) 设出要求的线段，然后找出直角三角形，利用勾股定理列出方程求出线段的长.(2) 找出相似三角形，利用边的比例求出线段的长，这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必 须要熟练掌握。(3) 牵涉到了锐角三角函数时，需要利用相等的角转换，然后利用三角函数去求解。(4) 利用射影定理，或切线长定理求解【例5】(10年海淀二模)已知：如图，点C在以AB为直径的OO上，点D在AB的延长线上,ABCD = ZA.(1) 求证：CD为OO的切线；4(2) 过点C作CE丄AB于E 若CE = 2,COSD =-,求G)O的半径5【巩固】(10年朝阳二模)已知：如图

9、,AB是00的直径,AB=AC, BC交00于点D,延长CA交C)O于 点F,连接DF, DE丄CF于点E.(1) 求证：DE是00的切线：(2) 若 AB=10, COSZC =芒，求 EF 的长.【拓展】(10西城一模)如图，ZvWC内接于0O AB = AC,点D在C)O上，AD丄AB于点A AD与 3C交于点E ,点F在D4的延长线上，AF = A£(1)求证：BF是G)O的切线：MSDC模块化分级讲义体系初中数学.圆B级.第02讲学生版Page 5 Of 114（2）若D = 4, COSZABF =- > 求BC的长.5C【例6】（10年西城二模）如图，在MBC中，

10、AB=AC,以AB为直径的OO分别交BC、AC于点Zx E, 连结EB交OD于点F.（1）求证：0D1.BE： （2） ME= 脑弓，求AE的长.【巩固】（10年密云一模）如图，等腰三角形ABC中，AC = BC = 6. AB = S.以BC为直径作Oo交AB 于点D,交AC于点G, DF丄AC9垂足为F,交CB的延长线于点E（1）求证：直线EF是（DO的切线；（2）求SinZE的值.A【例7】（10年昌平一模）已知：如图,OA = AB = AD （1）求证：BD是O O的切线:（2）若点E是劣弧3C上一点,O的半径长.点£是OO的直径C4延长线上一点，点B在0上，且AE 与 B

11、C 相交于点 F,且 BE = S, tan ZBFA =52Ii【巩固】（10年石景山一模）已知：如图，AB为Oo的直径，弦AC/OD. BD切OO于B,联结CD.（1）判断CD是否为OO的切线，若是请证明；若不是请说明理由.（2）若AC = 2yOD = 6,求0O的半径【巩固】(10年顺义二模)如图，AB是O的直径，BD交Oo于点C, AE平分ZBAC, EF丄AB,垂 足为F, ZD = ZCAB(1) 求证：AD为G)O的切线：4(2) 若Sin £)= , AD = 6 求 CE 的长.【例8】(09年中考)已知：如图，在ZkABC中，AB=ACAE是角平分线，BM平分Z

12、ABC交AE于点 M,经过B.M两点的C)O交BC于点G交AB于点EFB恰为Oo的直径(1) 求证：AE与G)O相切：(2) 当BC=4osC=-时，求Oo的半径3MSDC模块化分级讲义体系初中数学.圆B级.第02讲学生版Page 9 of 11C【巩固】已知：如图，在RtABC中，ZC = 90 ,点O在ABL9以O为圆心，OA长为半径的圆与 AC, AB分别交于点Z E,且ZCBD = ZA.(1) 判断直线BD与(DO的位置关系，并证明你的结论；(2) 若 AD: AO = 8:5, BC = 2,求 BD 的长.1已知ZABC = 60%点O在ZABC的平分线上，OB = 5cm,以O为圆心3cm为半径作圆，则0OMSDC模块化分级讲义体系初中数学.圆B级.第02讲学生版Page 9 Of 11A与BC的位宜关系是.2. 如图，以等中的腰加为宜径作OO,交BC于点D.过点D作DE丄AC.垂足为£(1) 求证：DE为0O的切线：(2) 若G)O的半径为5, ZE4C = 60o求DE的长.1.如图所示在RlMBC中，ZB = 90o, ZA