随机过程与排队论06PPT课件

1、2021-11-20281上一讲内容回顾独立增量过程正态过程维纳过程第1页/共30页2021-11-20282本讲主要内容泊松过程 泊松过程的两个定义及其等价性 泊松过程的概率分布 泊松过程的数字特征 泊松过程的性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程更新计数过程第2页/共30页2021-11-202833.泊松过程 泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过程的理论和应用方面都起着重要的作用，特别在运筹学和排队论中的作用更为显著。泊松过程的实例很多，例如：在0,t)时间内，1) 到达某超级市场的顾客数N(t)；2) 某电话交换台的呼唤数N(t)；3) 某车间发生故障的机器数N(t)；4) 某计数器

2、接受到的粒子数N(t)；5) 某通信系统出现的误码数N(t)；等等，N(t),t0都是泊松过程的典型实例。第3页/共30页2021-11-20284泊松过程的定义1如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足：1) N(0)0；2) 具有独立增量；3) 对任意0st,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，即, 2 , 1 , 0k,e!k)st (k)PN(t)-N(s)st (k 则称则称N(t),t 0为为参数参数(或平均率、强度或平均率、强度)为为 的的(齐齐次次)泊松过程泊松过程。第4页/共30页2021-11-20285泊松过程的定义2如果取非负整数值得计数过程N(t),t

3、0满足下列条件：a) N(0)0；b) 具有平稳独立增量；c) PN(h)=1h+o(h)；d) PN(h)2o(h)则称N(t),t0为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊松过程。第5页/共30页2021-11-20286等价定理定理 泊松过程的定义1与定义2是等价的。证明证明 12：条件条件a)与与1)相同。条件相同。条件b)可由可由2)和和3)直接得到。直接得到。 PN(h)=1PN(h)-N(0)=1he! 1)h( 2khke!k)h(2)h(NP)h(o)h(oh1 )h(o! 2)h(2 即即d)。 h1- h+o(h) h+o(h)即即c)。第6页/共30页2021-11-20

4、287证明21：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。设pk(t)PN(t)=k，利用归纳法证明：, 2 , 1 , 0k,e!k) t() t (ptkk (1) k=0，p0(t+h)PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0,h)h(o) t (ph) t (p)ht (p000 10)0(NP)0(p) t (p) t ( p0h000得，得，令令解得：解得：p0(t)e- t。独立增量过程独立增量过程平稳性平稳性 PN(t)=0PN(h)=0 p0(t)1- h+o(h)

5、因为因为1 i)h(NP0i 第7页/共30页2021-11-20288证明(续1)(2) k1pk(t+h)PN(t+h)=k,h)h(o) t (p) t (ph) t (p)ht (p1kkkk ), 3 , 2 , 1k( ,0k)0(NP)0(p) t (p) t (p) t ( p0hk1kkk 得，得，令令 k0jjkN(t)h)N(t, jPN(t) k0jjkN(h)P jPN(t) 2k0jjkj11k0kk0jjkj(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pppk(t)1- h+o(h)+pk-1(t) h+o(h)+o(h)，第8页/共30页2021

6、-11-20289证明(续2)k=1时, 0)0(pe) t (p) t ( p1t11解得：解得：p1(t) te- t，所以，所以k=1时结论成立。时结论成立。假设假设k-1时结论成立，时结论成立，。t1k1ke)!1k() t() t (p ,0)0(p) t (p) t (p) t ( pk1kkk解解得得。tkke!k) t() t (p 结论成立。结论成立。由归纳法知，对一切由归纳法知，对一切k=0,1,2,，结论成立。，结论成立。得证得证。, 2 , 1 , 0k,e!k) t(k) t (NPtk 再由平稳独立增量性质，对一切再由平稳独立增量性质，对一切0 s0,N(t)(t)

7、,PN(t)=k；tke!k) t( 0ktkiuk) t (iuNe!k) t(ee E)u(2)均值函数均值函数m(t)EN(t) t；3)方差函数方差函数D(t)DN(t) t。2. 一维特征函数一维特征函数)1e( ttte0ktkiuiuiueeee!k)te( 第10页/共30页2021-11-202811泊松过程的概率分布和数字特征3. 二维概率分布PN(s)=j, N(t)=kPN(s)-N(0)=j,N(t)-N(s)=k-jts)st (jksje)!jk()st (e! j) s( ts0,e)!jk( ! j) st (stjkjk PN(s)=j PN(t-s)=k-

8、j独立增量过程独立增量过程第11页/共30页2021-11-202812泊松过程的概率分布和数字特征4. 协方差函数和相关函数协方差函数C(s,t)min(s,t)，相关函数R(s,t)min(s,t)2st。证明证明 R(s,t)EN(s)N(t)EN(s)N(t)-N(s)+N(s) st表示在表示在0,t)内泊松事件还没有出现，因此，事内泊松事件还没有出现，因此，事件件T1t的发生当且仅当没有泊松事件在在的发生当且仅当没有泊松事件在在0,t)内出现，内出现，于是对于是对t0，有，有P T1tPN(t)=0e-tP T1t1- P T1t 1- e-t对对tt0因此，因此，T1的分布函数为

9、的分布函数为 0t, 00t,e1) t (FtT1第14页/共30页2021-11-202815T1的概率密度为 0t, 00t,e) t (ftT1即即T1服从参数为服从参数为的（负）指数分布。的（负）指数分布。 T2表示事件第表示事件第1次出现至第次出现至第2次出现的点间间距次出现的点间间距 P T2t|T1=s1P在在(s1,s1+t)内没有事件出现内没有事件出现|T1=s1 P在在(s1,s1+t)内没有事件出现内没有事件出现P N(s1+t)N(s1)=0P N(t)=0e-t 1)T(E1 ts12dxdy)y, x( fsT, tTP tsT|Tdxdy)y( f )y|x(f

10、12sTPedy)y( fe1tst 21sPTt |Tyf(y)dy sTP tTP12 第15页/共30页2021-11-202816当s0时，可见T2也服从参数为的（负）指数分布且T2与T1独立同分布。类似地，可用数学归纳法证明当n2时，Tn，n=1,2,相互独立，都参数为的（负）指数分布。第16页/共30页2021-11-202817泊松过程的性质3设 N ( t ) , t 0 是 参 数 为 的 泊 松 过 程 ， n, n = 1 , 2 , 为 等 待 时 间 序 列 ， 则 n ( n , ) ， 即 概 率 密 度为： 。0t, 0, 0t,et)n() t ( ft1nn

11、即即n阶爱而朗分布。阶爱而朗分布。第17页/共30页2021-11-202818非齐次泊松过程, 2 , 1 , 0k,e!k )m(tt)m(tk)t)-N(tPN(t )m(tt)m(tk000000 如果计数过程N(t),t0满足下列条件：a)N(0)0；b)N(t),t 0是独立增量过程；是独立增量过程；c)PN(t+ t)-N(t)=1 (t) t+0( t)；d)PN(t+ t)-N(t) 20( t)则称N(t),t0为参数(或平均率、强度)为(t)的非齐次泊松过程。特别，当(t)=时，即为齐次泊松过程。定理定理 若过程若过程N(t),t 0是非齐次泊松过程，则在时间间距是非齐次

12、泊松过程，则在时间间距t0,t0+t)内事件内事件A出出现现k次的概率为：次的概率为：式中式中 t0ds) s () t (m第18页/共30页2021-11-202819例某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:30到9:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商

13、店的顾客的均值为多少？第19页/共30页2021-11-202820解设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9，第二天8:00可以为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数： 9t5),5t (2205t3,203t0, t55) t ( (t) (t-9) 根据题意，在根据题意，在0,t)内到达的顾客数内到达的顾客数N(t),t 0是一个非齐次泊松过程。是一个非齐次泊松过程。 在在8:30到到9:30无顾客到达商店的概率为无顾客到达商店的概率为10dt) t55(dt) t ()5 . 0(m)5 . 1(m0eeee)5 . 1 , 5 . 0(p5

14、. 15 . 05 . 15 . 0 在在8:30到到9:30到达商店的顾客均值为到达商店的顾客均值为10dt) t55(dt) t55()5 . 0(m)5 . 1(m5 . 005 . 10 第20页/共30页2021-11-202821复合泊松过程 设N(t),t0是参数为的泊松过程，Yn，n=1,2,是相互独立同分布的随机变量序列，且N(t),t0与Yn，n=1,2,相互独立，令0t,Y) t (X) t (N1nn 称称X(t),t 0为为复合泊松过程复合泊松过程。第21页/共30页2021-11-202822例 某计算机相继两次出现故障的间隔时间为相互独立服从相同指数分布的随机变量

15、。每出现一次故障需要支付费用来维修。设发生在不同时间的故障所花的维修费用是相互独立、同分布的，且维修费和故障时间相互独立，设Yn表示第n次的维修费，N(t)表示0,t)内的故障次数，令0t,Y) t (X) t (N1nn 表示0,t)内的总费用，则X(t),t 0是一个复合泊松过程。第22页/共30页2021-11-202823复合泊松过程的数字特征 设X(t),t0为复合泊松过程， 。其中N(t),t0是参数为的泊松过程，Yn，n=1,2,，相互独立、与Y同分布的，Y的特征函数为y(u)，则复合泊松过程有：(1)特征函数为X(t,u)=(2)均值函数 mX(t)=EX(t)=EN(t)EY

16、=tEY(3)方差函数 DX(t)=DX(t)=EX2(t)-E2X(t) =tEY2=EN(t)EY2N(t)nn 1X(t)Y Yt(u) 1e 第23页/共30页2021-11-202824更新计数过程 设N(t),t0是计数过程，如果它的时间间距T1,T2, ,Tn,是相互独立同分布的随机变量，是相互独立同分布的随机变量，则则称称N(t),t 0为为更新计数过程更新计数过程，称时间间距为，称时间间距为更新更新间距间距。例例 电话台呼唤流电话台呼唤流 设有一个不断受到呼唤的电话台，电话呼唤设有一个不断受到呼唤的电话台，电话呼唤到达的时间为到达的时间为 1, 2, n，时间间距，时间间距T

17、1= 1,T2= 2- 1，Tn= n- n-1是相互独立同分布的随机变量。是相互独立同分布的随机变量。令令N(t)表示在时间表示在时间0,t)内收到的呼唤数，则内收到的呼唤数，则N(t),t 0是更新过程。是更新过程。第24页/共30页2021-11-202825更新过程的概率分布 设N(t),t0是更新过程，其到达的时间为1,2,n。时间间距T1=1,T2=2-1,Tn=n-n-1相互独立都与随机变量T同分布。设T的分布函数为FT(t)，故Tk的分布函数为FTk(t)FT(t)，k=1,2,令更新计数过程的分布函数为令更新计数过程的分布函数为FN(t)(k)PN(t)k，则，则1)由时间间

18、距由时间间距T的特征函数的特征函数 T(u)，计算到达时间，计算到达时间 k 的特征函数：的特征函数： k1iiTk(u)(u)kk 2)由由 k的特征函数的特征函数 k(u)确定确定 k的概率密度的概率密度f k(t)和分布函数和分布函数F k(t)；3)由由F k(t)确定更新计数过程确定更新计数过程N(t),t 0的分布函数。的分布函数。由于事件由于事件 kt与事件与事件N(t) k等价，从而等价，从而P ktPN(t) k1-PN(t)k即即F k(t)1FN(t)(k)故故FN(t)(k)1F k(t)第25页/共30页2021-11-202826更新过程的均值函数设N(t),t0是更新过程，则 0kk) t (NPk)t (NE) t (m 0k)t (F) t (Fk1kk )t (F) t (F2)t