第十章第3节格林公式及应用1

1、1一、几个概念 1 1、设、设d d为平面区域为平面区域, , 如果如果d d内任一闭曲内任一闭曲线所围成的部分都属于线所围成的部分都属于d, d, 则称则称d d为平面单为平面单连通区域连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域dd单连通区域单连通区域是无无“洞洞”区域 复连通区域复连通区域是有有“洞洞”区域 第三节第三节 格林公式及其应格林公式及其应用用2连成连成与与由由21lll组成组成与与由由21lll2 2、边界曲线、边界曲线l l的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域d总在他的左边总在他的左边.2l

2、d1l2l1ld.向向为为逆逆时时针针方方向向单单连连通通域域边边界界曲曲线线的的正正3 设设闭闭区区域域d由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线l围围成成, ,函函数数),(),(yxqyxp及及在在d上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有 ldqdypdxdxdyypxq)( ( (1 1) ) 其其中中l是是d的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线, , 公公式式( (1 1) )叫叫做做格格林林公公式式. . 二、格林公式定理定理1 14),()(),(21bxaxyxyxd 证明证明),()(),(21dycyxyyxd yxo abdcd)(1xy )(2xy abce)

3、(2yx )(1yx lddyyxqdxdyxq),(lddxyxpdxdyyp),(和和:只要证明只要证明 dldxdyypxqqdypdx)(若区域若区域d满足平行于满足平行于坐标轴的直线和边界至多坐标轴的直线和边界至多交于两点交于两点.5dxxqdydxdyxqyydcd)()(21 dcdcdyyyqdyyyq),(),(12 caecbedyyxqdyyxq),(),( eaccbedyyxqdyyxq),(),( ldyyxq),(同理可证同理可证 lddxyxpdxdyyp),(yxod)(2yx dcce)(1yx 两式相加得两式相加得 ldqdypdxdxdyypxq)(.其

4、它情况类似可证其它情况类似可证ba6三、简单应用三、简单应用1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分,)()(dyxexdxxeyyly222221计算计算例例.)(的的正正向向为为闭闭曲曲线线其其中中4222yxl:解解22222xexyxqxeyyxpyy),(,),(所以由格林公式 dyxexdxxeyyly)()(22222ddxdyypxq)(ddxdyyx)(22 cos40222)sin(cos2dd d)sincos(cos22343128 167例例2. 计算计算,)()(dyxydxyxl223其中其中l为上半圆周为上半圆周24xxy从从 o (0, 0) 到到 a (4, 0

5、).dya xol解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段ao, 它与它与l 所围区域为所围区域为d , 则则原式原式ydxyxdyxaol)()(2233644dydxdaoydxyxdyx)()(223204- x dxddxdyypxq)(3648 8dyyyedxyyexabx)cos()sin(弧弧计计算算例例3.),(),(第一象限的单位圆弧第一象限的单位圆弧到到弧为从弧为从其中其中0110baab解解 引引入入辅辅助助曲曲线线l,oabol 弧弧弧弧aboabooaboabdoaboabxxdxdyypxqdyyyedxyye)()cos()sin(弧

6、弧xyoab9dxxdxdyyeye)coscos(1ddxdy4 boxxdyyyedxyye)cos()sin(0100 dxoaxxdyyyedxyye)cos()sin(10dyyy)(cos211 sin41212114 sin)(sin原原式式xyoab10例例 4 4 计算计算 lyxydxxdy22, , 则则当当022 yx时时, , 有有ypyxxyxq 22222)(.记记l所所围围成成的的闭闭区区域域为为d, 解解令令2222,yxxqyxyp ,.:条条件件应应用用格格林林公公式式要要注注意意其其注注意意.)()()(的正向的正向为圆周为圆周111122yxl.)(的

7、正向的正向为正方形为正方形12 yxl11由由格格林林公公式式知知 lyxydxxdy022作作位位于于d内内圆圆周周 222ayxl:, 记记1d由由l和和 l所所围围成成, 应应用用格格林林公公式式,得得.)()()(的正向的正向为圆周为圆周111122yxl.)(的正向的正向为正方形为正方形12 yxllyxydxxdy22llyxydxxdy22lyxydxxdy22取顺时针方向。取顺时针方向。121ddxdyypxq)(lyxydxxdy22lyxydxxdy22 022222sincos)sin(sincoscos dttatatatatata 02 dt 2 13格林公式格林公式: ldqdypdxdxdyypxq)(取取,xqyp 得得 ldydxxdydxdy2闭闭区区域域d的的面面积积 lydxxdya21.取取, 0 xqp 得得 lxdya取取, 0, qyp 得得 lydxa. . 计算平面面积计算平面面积14正向闭曲线正向闭曲线 l 所围区域所围区域 d 的面积的面积lxdyydxa21格林公式格林公式ldydqxdpydxdypxq例如例如, 椭圆椭圆 20sincos:byaxl所围面积所围面积lxdyydxa2