第四章多元函数微积分

1、第四章 多元函数微积分第一节第一节 多元函数微分多元函数微分第二节第二节 多元函数积分多元函数积分第一节 多元函数微分一、多元函数的定义一、多元函数的定义二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续三、偏导数及全微分三、偏导数及全微分四、多元函数的极值四、多元函数的极值一、多元函数的定义1. 预备知识预备知识1 1）邻域）邻域 )(0oppu 00pp点集点集 , ),(0ppu 称为点称为点 p p0 0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxpu 在空间中在空间中, , ),()(0zyxpu ,( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域

2、半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0pu点点 p p0 0 的去心邻域记为的去心邻域记为 0pp 2020)()(yyxx 202020)()()(zzyyxx平面上的方邻域为平面上的方邻域为 ),(),u(0yxp 。0p可以互相包含可以互相包含. .,0 xx0 yy在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,因为方邻域与圆邻域因为方邻域与圆邻域2 2）区域）区域设有点集设有点集 e e 及一点及一点 p p : : 若存在点若存在点 p p 的某邻域的某邻域 u(p)u(p) e e , , 若存在点若存在点 p p 的某邻域的某邻域 u(p)

3、u(p) e = e = , ,则称则称 p p 为为 e e 的内点；的内点；则称则称 p p 为为 e e 的外点的外点 ; ;则称则称 p p 为为 e e 的边界点的边界点 . .的外点的外点 , ,显然显然, , e e 的内点必属于的内点必属于 e e , , e e 的外点必不属于的外点必不属于 e e , , e e 的的边界点可能属于边界点可能属于 e,e, 也可能不属于也可能不属于 e e . . e 若对点若对点 p p 的任一邻域的任一邻域 u(p)u(p) 既含既含 e e中的内点也含中的内点也含 e e e e的边界点的全体称为的边界点的全体称为e e的边界的边界

4、若集若集 d d 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 d d 的折线相连的折线相连 , ,则称则称 d d 是连通的，即是连通的，即 d d 为连通集为连通集 若点集若点集 e e 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 e e 为开集；为开集； 若点集若点集 e e e e , , 则称则称 e e 为闭集；为闭集； 开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域. . 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域 , ,简称区域简称区域 ; ; 若存在某一正数若存在某一正数 r r , , 使使e e u（o，r），其中，其中o o是原点坐标，则是原点坐标，则

5、称称e e为有界点集；否则称为无界点集为有界点集；否则称为无界点集例如，在平面上例如，在平面上 0),( yxyx 41),(22 yxyx 0),( yxyx 41),(22 yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo212. 多元函数定义多元函数定义 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,(为常数）为常数）rvtrp )2(cbap cba 0, 0),(ttvtv cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpapps 多变量之间依赖关系举例： 定义定义 设非空点集设非空点集,rnd dppfu , )(或或点集

6、点集 d d 称为函数的定义域称为函数的定义域 ; ;数集数集 dp,pfuu )(称为函数的值域称为函数的值域 . .特别地特别地 , , 当当 n = 2n = 2 时时, , 有二元函数有二元函数2r),(),( dyxyxfz当当 n = 3n = 3 时时, , 有三元函数有三元函数3r),(),( dzyxzyxfu映射映射r:df称为定义称为定义在在 d 上上的的 n n 元函数元函数 , ,记作记作),(21nxxxfu 二、二元函数的极限与连续1. 二元函数的极限二元函数的极限 则称则称 a 为函数为函数 z = f ( (x , y) ) 当当 时的极时的极限限，) )(

7、() )( (00,yxyx 设函数设函数 z = f ( (x , y) )在点在点 p0( (x0 , y0) ) 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义( (点点 p0 可以除外可以除外) )， 如果当如果当点点 p( (x , y) )无限地接近于点无限地接近于点 p0( (x0 , y0) )时，时，任任意意地地小小的的正正数数) ), ,是是( (指指00( ,),limx yxyf x ya()()记为.lim 0apfpp ) )( (或或定义定义 1 apf) )( (恒有恒有 为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限也叫做二重极限也叫做

8、二重极限 ,0,),(2222yxyxxyyxg例例0,022 yx(,)( 0, 0)当 时的极限x y,00时时而而即当即当 xy当当 ( x, y ) 沿沿 y 轴趋向于原点轴趋向于原点，,00lim)0 ,(lim),(lim0000 xxyxxgyxg有有解解考察函数考察函数但是，当点但是，当点( x , y )沿着直线沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点趋向于点(0, 0) 时时， ,1lim),(lim),(lim222220000kkxkxkxkxxgyxgxxkxyx 即当即当 y = k x ，,0时时而而x.00lim), 0(lim),(lim0000 yy

9、yxygyxg而当点而当点 (x, y) 沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，有有. ),(lim 00不存在不存在故极限故极限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 随着随着 k 的取值不同的取值不同，0,0 yx而而即即时，时， 设函数设函数 z = f(x , y) 在点在点 p0(x0 , y0) 的的一个邻域内有定义，一个邻域内有定义，2. 二元函数的连续性二元函数的连续性 且等且等于它在点于它在点 p0 处的函数值，处的函数值， 如果当点如果当点 p(x , y) 趋向于点趋向于点p0(x0 , y0) 时，时，函数函数 z = f(x , y) 的的极限存在，极限存在，, )

10、,(),(lim0000yxfyxfyyxx 即即定义定义,)()(lim 00pfpfpp 或或则称函数则称函数 z = f(x, y) 在点在点 p0(x0, y0) 处连续处连续. 若函数若函数 f f( (x x, , y y) )在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）d d内的内的每一点连续，称函数每一点连续，称函数 f f( (x x, , y y) )在在d d内连续，或者称内连续，或者称f f( (x x, , y y) )是是d d内的连续函数内的连续函数 若函数若函数f f( (x x, , y y) )在点在点 p p0 0( (x x0 0, , y y0 0) )

11、处不连续，处不连续，则称则称p p0 0为函数为函数f f( (x x, , y y) )的间断点的间断点三、偏导数及全微分1. 偏导数偏导数 定义定义),(yxfz 在点在点), (), (lim000yfyfx 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数xyxyxfz对对在点在点),(),(00 的偏导数，记为的偏导数，记为;),(00yxxz ),(00yx的某邻域内的某邻域内极限极限;),(00yxxf xx 00 x设函数设函数x ;),(00yxfx;),(00yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:同样

12、可定义对同样可定义对 y y 的偏导数为的偏导数为),(yxfz d0 limy若函数若函数 在域在域 内每一点内每一点 处对处对 x,xzxfxz 则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数, ,也简称为也简称为偏导数偏导数 , ,( , )xfx y( , )yfx y) ,(0 xf),(0 xf y 记为记为yy 00y或或 y 偏导数存在偏导数存在 , ,yzyfyz ),(yx二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: :00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxtm000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfz

13、ytm0在点在点 m0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率. .在点在点m0 处的切线处的切线斜率斜率. .是曲线是曲线yxz0 xytoxt0y0m对对 y 轴的轴的2. 高阶偏导数高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 d 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数的二阶偏导数 .按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶有下列四个二阶偏导数偏

14、导数: :22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义更高阶的偏导数义更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数例如，例如， 关于关于 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzx 关于关于 的的 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于 的一阶偏导的一阶偏导) (y yxznn 1数为数为11 nnxz),(yxfz x),(yxfz x1 ny3. 全微分全微分 定义定义 如果函数如果函数 z = f

15、( x, y )在定义域在定义域 d 的内点的内点p p( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oybxaz 其中其中 a , b 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，则称函数则称函数称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) 的全微分的全微分, , 记作记作ybxafz dd若函数在域若函数在域 d 内各点都可微内各点都可微, ,22)()(yx f ( x, y ) 在点在点p p( x, y) 可微，可微，处的全增量处的全增量则称此函数在则称此函数在d d 内可微内可微. .a xb y 定理定理1 1( (必要条

16、件必要条件) )若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 , ,则该则该函数在该点偏导数函数在该点偏导数yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同样可证同样可证,byz yyzxxzz d证证: : 由全增量公式由全增量公式, )( oybxaz ,0 y令令)(xoxa 必存在必存在, ,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 xzxx 0lima 反例反例: : 函数函数 ),(yxf易知易知,0)0, 0()0, 0( yxff 但但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因此因此, ,函数在点函数在点 (0

17、,0) 不可微不可微 .)( o 注意注意: : 定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .即即: :22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! !0,2222 yxyxyx0,022 yx ),(yyxxf 定理定理2 (2 (充分条件充分条件) )yzxz ,证证：),(),(yxfyyxxfz )1,0(21 yyyxfy ),(2 xyyxxfx),(1 ),(yyxf ),( yxf ),(yyxf 若函数若函数),(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连续连续在点在点yx则函数在该点可微分则函数

18、在该点可微分. .yyxfy ),(xyxfx ),( 0lim00 yx,0lim00 yx zyyxfxyxfyx ),(),(yyxfxyxfzyx ),(),( yx所以函数所以函数),(yxfz ),(yxyx 在点在点可微可微. . 0lim00 yx,0lim00 yx注意到注意到, , 故有故有)( o 4. 多元复合函数的求导公式多元复合函数的求导公式1 1）多元复合函数的求导法则）多元复合函数的求导法则( ( ),( )zfxx处偏导连续处偏导连续, ,则复合函数则复合函数 定理定理1 1 若函数若函数( ),( ),uxvxx在点 可导),(vufz ),(vu在点在点在

19、点在点 t 可导可导, ,且有链式法则且有链式法则ddddddzzuzvxuxvx推广推广: :设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 . .（1 1） 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. . 例如例如, , ),(wvufz tzdd 321fff（2 2） 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形. .例如例如, ,),(, ),(, ),(yxvyxuvufz xz1211 ff2221 ff yzzzwvuvuyxyxttttuuzdd tvvzdd twwzdd xuuz xvvz yuuz yvvz )(, )(, )(twtvtu 2 2）全微分形式

20、的不变性）全微分形式的不变性设函数设函数 具有连续偏导数具有连续偏导数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 的全微分为的全微分为yyzxxzzddd xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz uz 可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, ,其全微分表达其全微分表达 )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv ) (fz ),(, ),(yxyx udvz vd, ,则复合函数则复合函数形式都一样形式都一样, ,这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性. 两端两端对对 x 求导，求导，5. 隐函数的求导公式隐函数的求导

21、公式设方程设方程 f (x , y) = 0 确定了函数确定了函数 y = y(x)，得得,0dd xyffyx, 0 yf若若则则.ddyxffxy 得到一元得到一元 隐函数的求导公式隐函数的求导公式. 两边分别对两边分别对 x ，y 求导，求导， 设方程设方程 f (x , y , z) = 0 确定了隐函数确定了隐函数 z = z (x , y),若若 fx，fy，fz 连续，连续，, 0 zf且且得得, 0 xzffzx. 0 yzffzy这就是二元隐函数的求导公式这就是二元隐函数的求导公式.zyzxffyzffxz ,0, zf因为因为所以所以四、多元函数的极值1. 二元函数的极值二

22、元函数的极值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则则称函数在称函数在),(00yx有有极大值极大值；若满足不等式；若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有有极极小值小值； 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点),(00yx ),(yx),(00yx证证 不妨设不妨设定理定理1 （极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）设函数设函数

23、),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有 ),(yxf),(00yxf,类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00 yxfx;故当故当0yy ，0 xx 时，时，有有 ),(0yxf),(00yxf,

24、 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点均称为函数的驻点. .问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例如例如, 点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点.定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00，cyx

25、fyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时具有极值，时具有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值，当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论, 0),( yxfx0),( yxfy求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx

26、，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.2. 二元函数的最大、最小值二元函数的最大、最小值求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在d d内的所有驻点、偏导数不存在的点处的内的所有驻点、偏导数不存在的点处的函数值及在函数值及在d d的边界上的最大值和最小值相互比较，其的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值中最大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，可以利用函数的极值来求函数与一元函数相类似，可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值的最大值

27、和最小值. .解解32m设水箱的长为设水箱的长为,mx,my.2mxy宽为宽为则其高应为则其高应为则水箱所用材料的面积则水箱所用材料的面积).0, 0()22(2 yxyxxya求偏导数得求偏导数得, 0)2(22 xyax. 0)2(22 yxax例例 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。料最省。 解这方程组，得解这方程组，得,23 x.23 y 根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域并在开区域 0, 0),( yxyxd内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内