山西省预赛试题解答

1、2017年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答填空题（每小题8分，共64 分）1、20172017的正因数个数是.答案：2018 .解：由于2017是质数，所以，20172017的正因数必具有2017k形 式，其中，k 0,1,2,L ,2017，这种数共计 2018个.2、函数y Sin2x 3的值域是.sin x cosx 2答案：2 ,2, 2 J .解: y2sin 2x 3(1 sin 2x) 4 (si nx cos x) 4.小sin x cosx 2 si nx cosx 2 si nx cosx 2sin x cosx 2因 2 sinx cosx ,2，所以 2 、2 y 2

2、 ,2 .3、边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，现将图形沿EC线段EC,ED折起，使得线段EA,EB重合，这样得到一个四面体CDEA （点B已重合于点A）,则此四面体的体积是.解：如图，显然 ACD为正三角形，其边长为2，取CD的中点F，贝U AF , CD 垂直于平面 AEF , AF .3 , EF 2, AE 1,所以据勾股定理，AEF为直角三角形，其面积为 S 1AE AF,2 2四面体被截面AEF分成两个等体积的四面体，11 73V3V 2 S CF 2133 234、 将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数为3 , 取后续两数和为a2，再取后续三数和为as，如此继

3、续，得到数列an ，即：印 1耳 3 5,a37 9 11丄，则an的前20项之和 a1 a2 L a20.答案：44100.解：an a2 L a20为前1 2 L 20 210个奇数之和，答案是221044100 .5、直线y kx 2交抛物线y2 8x于A, B两点，若线段AB中点的 横坐标为2，则线段AB的长度AB .答案：2.15 .解：据 kx y 2，则 ky2 8kx 8y 16 , %2 -，于是k kX1,2彳什怡厂，据条件，2宁-占，得k 2或k k k k2 k kk 1 ;若k 1，由y2 % 2，这时直线与抛物线只有唯一交点(2, 4),y 8x不合题意.若 k 2

4、,贝V由y2 2x 2 解得两交点y2 8xA 2、3, 2 2、3 , B 2、3, 2 2 3 ,这时AB 2届.6、若三个角x,y,z构成等差数列，其公差为-，则tanx tany tany tanz tanz tanx答案：3.解：3 y -tan y 31: 3 tan ytan z tan y 3所以 tan xtan z,2小ta n y 32 ，13ta n ytan y tan x tan ztan2 y . 3tany tan2 y , 3tany1 、3ta ny1 、3ta ny8tan2 y ；2 ；1 3ta n y相加得tanx tan ytan y tan z

5、tan z tan x201k 112347、10k77172737 Lk 02017202的末位数字是.答案：6 .解:20110kk 0,d 2017k1的末位数字与7k1的末位数字相同，注意对k 0任意自然数n,74n 1,74n 2,74n 3,74n 4的末位数字顺次为7,9,3,1 ,其和的末位数字为0，所以20110k 7k1的末位数字等于7201 7202的末位数字，也即71 72的 k 0末位数字6.8、设M 1,2,L ,2017是前2017个正整数构成的集合，若从M中去掉一个元素后，M中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是.答案：1677.2017 20182解：

6、1 2 L 20172017 100914262 2033476,22017 2018 而2033476 1677 .2二、解答题(16分)求所有的正整数n,使得集合M1,2, L ,4 n可以分拆成n个四n元子集：M UMk，对于每个子集 Mkak，bk，Ck，dk ， k 1,2,L ,n，k 1中的3k，bk，Ck，dk四个元素而言，其中的一个元素等于另外三个元素 的算术平均.解：不妨设，每个子集中，dk是ak,bk,Ck的算术平均，dk akCk，则有ak bk Ck dk 4dk，所以，4© d? L 因此，2n.dn) 1 2 L4n4n(4n 1)2另一方面，当2 n时

7、，集M确有满足条件的划分，为此记n 2m ,m 1M 1,2,L ,8m U Ak，其中 Ak8k 1,8k 2L ,8k 8 MkUMk,k 1Mk 8k 1,8k 3,8k 8,8k 4ak,bk,ck,dk ,有8k 4(8k 2) (8k 6) (8k 7)3(8k 1) (8k 3) (8k 8) 8k 53，三、解答题（20分）ABC的内心为I，过B作1b CI，过C作1c BI , D是1b, lc的交点；若1b I AC N , 1c I AB M，线段BN, CM的中点分别为E,F ；证明：EF AI .证：由于 CD BI , CD I AB M ,BPC故BI是CBM的高

8、与顶角 CBM的平分线，因此 CBM是等腰三角形，于 是BI也是 CBM底边CM上的中线，所以 B,I,F共线，BM BC .取BC的中点P，则PF 1BC，且PF / BM ,2 ' '即 PF / BA，同理有 PE -CN=1 BC ,2 2PE / CA .因此PEF是等腰三角形，其顶角EPF的平分线PK EF ;又因CAB与EPF的夹边对应平行：PE / CA , PF / BA，所以其 对应的角平分线也平行，即 AI / PK，而 PK EF，所以 EF AI .四、解答题（20分）证明：有无穷多组正整数x,y,z，满足：2（x y z） 2（x y z） 5（xy yz zx）.证：米用调整法，显然（为屏,乙）（1,1,1）是一组解，若（Xk,yk,zQ是 方程的一组解，不妨设z min （xk，yk，zk）,以z为主元，变形原方程 为当取x Xk，y yk时，关于z的一元二次方程有一根z z，设另 一根为z Zk , 则Zk 3xk 3yk 2 Zk ,且易知Zk z ,于是（xk, yk, zk）也是方程的一组 解。由于Xk yk Zk Xk y