122标准灰矩阵博弈的纯策略解

1、12. 2标准灰矩阵博弈的纯策略解在上节中，我们构建了严格标准和标准灰矩阵博弈模型，本节主要研究标准灰矩阵博弈模型纯策 略解的概念、存在条件及其性质等问题.一、标准灰矩阵博弈纯策略解的概念标准灰矩阵博弈g(®) = ss2;a(®)是经典矩阵博弈g = s,s2m的推广.因此，我们在定 义标准灰矩阵纯策略解的概念吋，考虑仍然采用经典矩阵博弈g的“理智行为”棊本假设，即:在标 准灰矩阵博弈6(0)的过程中,如果双方局中人都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然 会设法使白己所得最少这一点，就应该从各h可能出现的最不利的情形小选择一种最为有利的情形 作为决策依据事实上，

2、这也是博弈双方实际上都能接受的一种稳妥的方法这样，我们就有了标准灰矩 阵博弈6(®)纯策略解的概念,见定义12.2.1.定义1221给定标准灰矩阵博弈g(®) = 5p52;x(®),存在纯策略咎,0厂对应的局势 (%,0”使a.,< q丁也了 < 勺丿,备对i = 1,2,，加;=1,2,«.均成立；则称局势 (竹,0.)为标准灰矩阵聘弈在纯策略意义卜-的解.叭心分别称为局屮人1和2的灰色最优纯策略.局中人1的支付勺了也了称为标准灰矩阵博弈g(®) = 5p52;a(®)的值，记为vg (®).由定义12.2.

3、1可知，若标准灰矩阵博弈(5(0) = s,52m(®)在纯策略意义下有解，则必存在纯 策略，它所对应的第厂行第/列处的灰矩阵博弈值满足i f j"ja ,b . < a.,br < a,. ,b, vi = 1,2,，加;丿=1,2,，几jjjjjj称正整数对(厂,)为灰矩阵博弈g(®) = si,s2'a(<®)的灰鞍点.由g(®) = sps2;a(®)构成的博弈称为具有灰鞍点的灰矩阵廨弈.因此，灰矩阵博弈在纯策略 意义下有解，其灰色损益值短阵a(®)必有灰鞍点反z,若灰色损益值矩阵a(

4、74;)有灰鞍点(/*,门侧 该灰矩阵博弈的解就是灰鞍点(广,7)所对应的最优灰色纯策略a.,0所构成的灰局势(勺<,0.j灰博弈的值vg(®)就是灰损益值矩阵a(®)中灰鞍点(广,.门所对应的第/*行第列处的元素 u了也了，它既是灰矩阵a(®)的厂行中最小的灰数同时又是列中最大的灰数.给定标准灰矩阵廨弈6(0) = 0也；方),设其灰色损益值矩阵方(0)中含冇灰元素岛,切, 满足aijbj既是i行中的最小灰数，同时乂是j列中的最大灰数则(i,j)即为方(0)的灰鞍点丄aij,bij即为灰 矩阵方(0)的博弈值.相应的竹为局中人1的灰色最优纯策略,0为局中人

5、2的灰色最优纯策 略,(竹，0广)为灰矩阵廨弈g(®) = 5p52;a(®)的解.例12.2.1某局中人1和2的标准灰博g(®) = ss2a(®)的损益值矩阵如(12.2.1)式所示; 且在方)的笫二行中，灰数1,2的取数是一致的.由(1221)式可得表12.2的灰矩阵博弈决策表表12.2.1灰矩阵博弈决策表a02队-1,12,33,4卜 1,1a21,21,24,51,2max a.,/?.1,22,34,5由 max min<7/7,/2/7 = min maxa,b(j = a2l,b2l = 1,2 nj* 知该灰矩阵的博弈值冬(0)

6、= 1,2,灰矩阵陣弈g(®) = sps2m(®)的解为，0j，其中与0i分别是局屮人1和 2的灰色最优纯策略.二、标准灰矩阵博弈纯策略解的充要条件及其性质由例12.2.1可知,标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解与灰损益值矩阵広(0)屮的元素满足条件a(®)a.队 0203-1,1 2,3 3,41,21,2 4,5(12.2.1)max ming,/% = min max a, bv)有肓接关系，其实这一结果具有普遍性.定理12.2.2标准灰矩阵博弈g(®) = sps2;a(®)中，a(®) = 67.,z?.为mxn阶灰矩阵,

7、贝ij, max minai：,bi； 1 < min maxa；i,b.ij j jji j证明：対于每-一个 j = 1,2,zn;必有:min|afj, b < a.,即:min bi < a.tj同样，对每一个 /=12曲；必有:mina.,fc: < maxa,即:min 仇 < max a；.:(/ v；u u； v；vmin/?. < maxai j j i j因此，max mkia沪切< maxd沪為即：max从rfn有,max min% < min max陽 ，即：max minftz.,/?. < min maxf.,.

8、ij j ji jij j jji j j定理12.2.2的直观意义为：局中人1的最少所得不大于局中人2的最多所失. 以下讨论标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解的充要条件.定理1223标准灰矩阵博弈g(®) = 5,52;a(®),在纯策略意义下有解的充要条件是: max min | au, b . = min max |an, b . |.ij j jjj j j证明：先证充分性设m诃旬,如在心厂达到最人,maxd“血在j =丿"达到最小，则，=maxji j 1 jimax"打=mini tminmax(12.2.2)由条件 max = min可得mi

9、nu/尸呼x%,如(12.2.3)由极小值定义可得 mina< 仏.血 j 故 maxad w aq.j 1 j 1 j1 j 1 ji ij vi j 3再从极大值定义可知，对一切i = 1,2,，加，均有 a. <竹丁.从而maxd# > 仏(12.2.4)/ u /f j由(1223)式和(12.2.4)式可得 min> a,.，又根据极小值定义，对一切 j i j i j9 j 1 jj = 1,2,；均有。力,br. > 气丁，勺了,故对一切i = 1,2,，加;j = 1,2,/?;均有：cz胪,b. < 竹丁,勺了 < a.,br. 由定

10、义12.2.8可知，此时灰矩阵博弈g(®) = sps2; a(®)有解(竹,冷).再证必要性若灰矩阵聘弈g(®) = s,s2;a(®)有解,由定义1228可知，存在竹,0厂使ss,对切i = 1,2,，加,j = 1,2,;成立."丿 j" j ' )因而max6f./?., < a,."w mina，»(1225)i v u33j i j i j由于 min maxtz.,/?. < maxa.j,. < max minji lj iji ij ijj i j i jij j ij根

11、据(12.2.5)式min max a., h. < max min a.,/?.(12.2.6)ji j jij j j又由极小值和极大值定义可知mintz0 ,z?. < aif,bv) < maxafy,/?,y .故minu，/?” 5 min maxfz.,br(12.2.7)将(12.2.7)式两端对i 取 max 贝ij, max< min maxf.z,z?/7(12.2.8)由(12.2.6)和(12.2.7)式可得，max mintzr7,/?/7 = min maxcz/；/.,/?/7.推论1221若灰矩阵博弈g(®) = 5i?52m

12、(®)在纯策略意义下的解为(勺，的)，则博弈值 vc (®) = q丁,勺丁满足竹了,勺了 = max minfo",如=min max知,bj.证明:由定义1228可知，此时%,也.< a.,£. < 仏.上.,j = 1,2,，加;j = 1,2,，;(12.2.9)') lj'j ' jj ' j将(1229)式两端分别取极人和极小，则maxa胪"胪w 竹了旳了 w皿叫气】，如,再根据(12.2.2) 式有,min maxa,b“< a,.,., b. < max min6f.,z?

13、.(12.2.10)由所设灰矩阵廨弈g(®) = 5p52;a(®)有解，根据定理12.2.2可知，不等式(12210)式两端应相等, 故a. ,».* = max mirfrt.,/?. = min1 j 1 j i j j j i j j定理223给出了标准灰矩阵博弈在纯策略意义下冇解的充分必要条件.该定理可用灰鞍点的概 念重新叙述为：标准灰矩阵博弈6(0) = sl9s2;a(®)冇解的充要条件是至少存在一个灰鞍点.但其 灰鞍点可能不只一个.定理12.2.4设(%,人),(6,人2)分别是标准灰矩阵博弈g(®) = sp52;a(

14、4;)的灰鞍点,则(4，血)，仇2,儿)也是该灰矩阵博弈的灰鞍点，且在灰鞍点处的博弈值相等，即 =1 气心仏"ml h证明：由于佩，几),(g，人£ )均为该博弈的灰鞍点，所以有% % 5 气妒也5 %；细2血2 1 - um g i -气欣2心1,2,，加;丿丄1,2,曲,k与k2分别表示其灰鞍点的编码；'是气怡'勺"2 i -气几2 * %2人2 -气和6s 气禹,久山-气几2 ' 4山2 气人"曲=气人2"认i =气人2 "m2 i =气禹% i从而有仏'如2】-也：a21 § %，九1

15、 ；心12,加;j = 12丿；即(，人2)是灰博弈g(®) = s,s2m(®)的一个灰鞍点.同理可证(/,2,人)也是一个灰鞍点.定理12.2.4说明具有灰鞍点的灰矩阵博弈具有两个性质：一是灰鞍点的可交换性，即若 (气，0岛)和(气,，0屁)是灰矩阵博弈g(®) = sp52;a(®)的两个解，则(气，0尼)和(仏，0岛)也是解；二是灰鞍点的无差别性，即若(气，0禹)和(气，仇,)是灰矩阵博弈 0(®) = s“2；永0)的两个解，则灰博弈们匕©)=气禹如几=气心勺认 三、严格标准和标准灰矩阵博弈纯策略解的关系节12.1中证明了严

16、格标准灰矩阵博弈g0(®) = s1°,s;a0(®)是标准灰矩阵博弈 g(®) = ss2；永0)的特例，而后者则是前者的推广.下面，我们将证明g(®)的纯策略解必然也是 g°(®)的纯策略解.引理12.2.1任一标准灰矩阵博弈g(®) = s ,52m(®),如果存在纯策略意义下的解，则其灰博 弈值必然在行(列)的最小最大(最大最小)可判定灰数上取到.证明：不火一般性，不妨设g(®) = si,52;a(®)中的灰博弈矩阵方(0)如式(12211)所示.a ,h 1- 12 12

17、j(12.21)a ,b ab j a、b % 九av2,hv2 - awn,hwh根据式(12211),若数列min = min %,乞,%，乞，%，休$ (12.2.12)j/(7，rt-,5为a(®)中各行的最小可判定灰数;而数列max ab . = max %，几,% ,叽,，°祕，几(12213)iif 川为a(®)>|«各列的最人可判定灰数.则根据定义12.2和定理12.2.3可知，灰矩阵博弈6(0)在 纯策略意义下的博弈值匕(0)必然为式(122中的最大者和式(12213)中的最小者ji.二者相等,即:max mindg,b# = m

18、in maxa“，b#, 即：匕) = max min 气九 = min max切,加,此也,叽,“这样，博弈值匕;()所在的行和列，7所对应的纯策略竹，0分别称为局中人1和2的灰色最 优纯策略；局势a., 0"为标准灰矩阵博弈在纯策略意义下的解.由此可见，若g(®) = s,s2;a(®)存在纯策略意义下的解贝虛博弈值(灰数)必然在行(列)的 最小-最人(最人-最小)可判定灰数上取到.定理1225标准灰矩阵博弈g(®) = 5i,52;a(®)的纯策略解必为严格标准灰矩阵博弈 g°(®) = s,°,s；;&qu

19、ot;(®)的纯策略解.证明：不失一般性，不妨设0(0) = 5, ,52;a(®)中的灰博弈矩阵方(0)如式(12211)所示.根据引理12.2.1可知，若e(0) = s|,s2；%(0)存在纯策略意义下的解，则其博弈值(灰数) 匕;(0)必然在行(列)的最小-最大(最大-最小河判定灰数上取到;且博弈值匕()所在的行和列 所对应的纯策略竹,/3j分别为局中人1和2的灰色最优纯策略;局势(竹,/)为标准灰矩阵膊 弈在纯策略意义下的解.那么,6(0)的纯策略解是否为g°(®)的纯策略解呢？如杲标准灰博弈矩阵永(8)(式(12211)不是一个严格标准灰博弈矩阵a°(®);ih就是说，在 入(0)小必然存在不可判定的灰数.但是，