第八节多元函数的极值76241

1、1 1、 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻的某邻域内有定义，对于该邻域内异于域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式：若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则，则称函数在称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf ， 则称函数在， 则称函数在),(00yx有极小有极小值；值； 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值一、极值和最值一、极值和最值处有极小值

2、处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(yxz22 处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz xyzxyzxyz2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 y

3、xfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例例如如, 点点) 0 , 0 (是是函函数数xyz 的的驻驻点点, 但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的的点，称为函数的 驻点驻点.驻点驻点极值点极值点注意：注意：点点 是函数是函数 的极小值点，但

4、不是驻点的极小值点，但不是驻点. .)0 , 0(22yxz 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 a、b、c. 第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例1. 1. 求函数求函数解解: 得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) ,

5、(3, 2) .在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;由由),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f,0)6(122 bac,0a在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba

6、)2, 1 (f,0)6(122 bacabc及是否取得极值是否取得极值.解解: 易证易证 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时时当当 yx222)(yxz 0)0,0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 bac33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz例例2.讨论函数讨论函数221242221242xzyzfzxxxfzzfzyyyfzz 则则，由由函函数数取取极极值值

7、的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( p,解解222( , , )22410f x y zxyzxyz令令,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 函函数数在在p有有极极值值.将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在 d 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 d 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和

8、最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值特别特别, ,当区域内部最值存在当区域内部最值存在, ,且且只有一个只有一个极值点极值点 p 时时, )(pf为极小为极小 值值( (大大) )(pf为最小为最小 值值( (大大) )解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点例例4. 某厂要用铁

9、板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2xy2ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxya0)(222yyxa因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233解解先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxd解方程组解方程组 0

10、)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域d内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxd例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxz

11、x, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解由由,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .二、条件极值二、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下下在条件在条件 yx 的的极极值

12、值求求函函数数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出中解出从条件从条件)(,(xxfz ,0),(下下在条件在条件 yx 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,故极值点必满足故极值点必满足设设 记记.),(的极值的极值求函数求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,0dddd xyffxzyx,ddyxxy 因因0 yxyxff yyxxff 故有故有 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数f 称为拉格朗日称为拉格朗日( lagrange )函

13、数函数.0 xxxff0yyyff0f利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则则极值点满足极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxff推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxff021xxxxff021yyyy

14、ff021zzzzff01f01f例例7. 要设计一个容量为要设计一个容量为0v则问题为求则问题为求 x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z , 使在条件使在条件xf02zyyzyf02zxxzzf0)(2yxyxf00vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0vzyxyxzyzxs)(2)()(20vzyxyxzyzxfxyz得得唯一驻点唯一驻点,2230vzyx由题意可知合理的设计是存在的由题意可知

15、合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,340vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何 ?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何 ? 提示提示:)()(20vzyxyxzyzxf2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxf

16、 , 120020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为解解1202020 czzbyyaxx化简得化简得)1(),(222222 czbyaxxyzzyxf v 最小等价于最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大，最大，故取拉格朗日函数故取拉格朗日函数 四面体的体积最小四面体的体积最小abcv23min .得得由由 01020202222222222czbyaxczxyfbyxzfaxyzfzyx 22yxz 例例10 求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的

17、最短距离之间的最短距离.解：解：2261 zyxd设设为为抛物面抛物面上任一点，上任一点， 则则 p ),(zyxp22yxz 的的距离为距离为022 zyx问题归结为问题归结为(min)22(2 zyx约束条件约束条件:022 zyx目标函数目标函数:22 zyx作作拉氏函数拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxf 到平面到平面.81,41,41 zyx令令22yxz 解此解此方程组得唯一驻点方程组得唯一驻点02)22(2 yzyxfy 0)2)(22(2 zyxfz02)22(2 xzyxfx 由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在 ,241414161min d647 故故

18、内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函

19、数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求求驻点驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxff0 xxxff0yyyff0f解解不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.思考与练习思考与练习2. 已知平面上两定点已知平面上两定点 a( 1 , 3 ), b( 4 , 2 ), 试在椭圆试在椭圆上求一点上求一点 c , 使使abc 面积面积 s最大最大.解答提示解答提示:cbaoyxed设设 c 点坐标为点坐标为 (x , y),)103, 0,0(21 yx)0,0(14922 yxyx则则 acabs2110321yx设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 c 与与 e 重合时重合时, 三角形