第十节 闭区间上连续函数的性质

1、目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(bacxf12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy o目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也无最大值和最小值 又

2、如又如, xy11oxyo11目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此12mm二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(bacxf,)(mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(bacxf至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy oxyab)(xfy o目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(bacxf且,)(aaf,)(babbf则对 a 与 b

3、之间的任一数 c ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数cxfx)()(则,)(bacx 且)()(ba)(cbca0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(cf推论推论: 在闭区间上的连续函数c使.)(cf至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xabya)(xfy bo目录 上页 下页 返回 结束 o1x例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取

4、 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则4321内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(bacxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 a 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(cs因,0)(sas)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0as使)(s目录 上页 下页 返回 结束 则, 2,0)(acxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(acx 易证0)()0(a2. 设一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 ,4,0)(上连续在闭区间xf3 1e3xx至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1e)(3