课件76空间直线及其方程

1、第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程 和参数式方程和参数式方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空间直线的一般方程空间直线的一般方程l一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一条已知直线

2、，这个向量称为条已知直线，这个向量称为这条直线的这条直线的方向向量方向向量sl, ,sm n p 记记为为（）. .二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程 直线的任一方向向量的三个坐标直线的任一方向向量的三个坐标m,n,p叫做该直线的一组叫做该直线的一组方向数方向数. .方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. .pzznyymxx000 直线的直线的对称式对称式方程方程smm0/即即0000(,),mxy z设设( , , ),m x y zl0000,m mxxyyzz （）有有且且xyzoslm, ,sm n p （）. .0m建立

3、直线方程建立直线方程或或点向式点向式方程方程2,0 xy 25002xyz说明说明:在直线方程中某些分母为零时在直线方程中某些分母为零时, 其分子也其分子也即平行于即平行于z轴的直线轴的直线.25032xyz表示表示5322yzx 即平行于即平行于yoz面（在平面面（在平面x=2上）的直线上）的直线.理解为零理解为零.例如例如表示表示而而tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程则则pzznyymxx000 点向式方程点向式方程解解故可取直线的方向向量故可取直线的方向向量因此所求直线方程为因此所求直线方程为234.413xyz )4 , 3,

4、2( a例例1 一直线过点一直线过点，且与直线，且与直线平行，求其方程平行，求其方程. .依题意依题意, ,所求直线与已知直线平行所求直线与已知直线平行, ,1(41 3)s ， ，已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为1(4, 1, 3),ss 12413xyz 例例2 用对称式方程及参数方程表示直线：用对称式方程及参数方程表示直线：.043201 zyxzyx解解 在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点的坐标点的坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取

5、21nns (4, 1, 3),对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx312111 kji1l2l定义定义直线直线:1l1111(,)sm np 直线直线:2l121212cos(,)ssl lss 两直线的方向向量的夹角（锐角）两直线的方向向量的夹角（锐角）则两直线的则两直线的夹角公式：夹角公式：三、两直线的夹角三、两直线的夹角称为称为两直线的夹角两直线的夹角. .121212222222111222|m mn np pmnpmnp 2222(,)sm np 1s2s 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnn

6、mm21)2(ll/,212121ppnnmm 直线直线:1l直线直线:2l1(1, 4,0),s 2(0,0,1),s , 021 ss,21ss 例如，例如，12.ll 即即解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为(, ,),sm n p 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ( 4, 3, 1), .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例3定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax(, ,),sm n p ( ,),na b c ( , )2s n 由由图图知

7、知四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角(0)2 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角ns222222|ambn cpabcmnp 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系位置关系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnamsincos( , )s n ( , )2s n snsn sin 解解 取已知平面的法向量取已知平面的法向量124231xyz则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为2340 xyz垂直的直线方程垂直的直线方程. 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. (2,3,1)n n例例4 求过点求过点(1,2 , 4) 且与

8、平面且与平面(1,2 , 4)解解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角例例5解解 先作一过点先作一过点m且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点n n, ,1lml1n n过过m,n的直线的直线l即为所求直线即为所求直线. .例例6求交点：求交点：把已知直线化为参数方程把已知直线化为参数方程代入平面方程得代入平面方程得 , ,73 t交点交点)73,713,72( n取所求

9、直线的方向向量为取所求直线的方向向量为2133(2,1,3)7776(2, 1,4),7 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx令令tzyx 12131. 1213 tztytxmns 1lml1n ns 12l111122220,0.a xb yc zda xb yc zd 1 2 利用平面束的方程解题利用平面束的方程解题通过定直线的所有平面的全体称为通过定直线的所有平面的全体称为平面束平面束.称为通过称为通过l平面束方程平面束方程设直线设直线 l由方程组由方程组111122220,0.a xb yc zda xb yc zd 所确定所确定, , 其中系数其中系数111,a b

10、c与与222,a b c不成比例不成比例. .2222()0.a xb yc zd 1111a xb yc zd 解解例例7 求直线求直线10,10 xyzxyz 在平面在平面0 xyz 上的投影直线的方程上的投影直线的方程. 过直线过直线10,10 xyzxyz 的平面束的方程为的平面束的方程为(1)(1)0.xyzxyz 其中其中 为待定常数为待定常数.解解 通过通过 l的平面束的方程为的平面束的方程为(1)(1)0.xyzxyz 垂直条件是垂直条件是这平面与平面这平面与平面0 xyz (1) 1(1) 1(1) 10. 1. 2220yz 10.yz 所求投影直线的方程为所求投影直线的方

11、程为10,0.yzxyz 代入代入( )( ),得投影平面方程为得投影平面方程为一、空间直线方程一、空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式1111222200a xb yc zda xb yc zd 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp222(0)mnp小 结1111111,xxyyzzlmnp：直线直线1212120m mn np p2222222,xxyyzzlmnp：111222mnpmnp二、线与线的关系二、线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式: :1111(,)smnp 2222(,)smnp 120ss12ll 12/ll120ss 1212cosssss 0,axbyczdmnpabc平面平面 :l l / 夹角公式：夹角公式：0manbpc sin ,xxyyzzmnp三、面与线间的关系三、面与线间的关系直线直线 l :(,)n