数字信号处理第二章时域离散信号和系统的频域分析

1、23 时域分析方法时域分析方法 变换域分析方法变换域分析方法 序列域分析方法序列域分析方法 拉普拉斯变换，傅里叶变换拉普拉斯变换，傅里叶变换 z z变换，傅里叶变换变换，傅里叶变换 信号与系统分析方法：信号与系统分析方法：45一一 连续时间、连续频率的傅里叶变换连续时间、连续频率的傅里叶变换 :()( )j tx jx t edt 正1: ( )()2j tx tx jed反0()x j0t( )x t时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的6二二 连续时间、离散频率的傅里叶级数连续时间、离散频率的傅里叶级数pt0t( )x t-00()x jk02pt0/ 20/ 21:()( )ppt

2、jkttpxjkx t edtt正00:( )()jktkx txjke 反时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的7三三 离散时间、连续频率的序列傅里叶变换离散时间、连续频率的序列傅里叶变换 x(nt)t-t0t2tt2st 0-()jj tx ex e或:()()jtjntnxex n te 正/ 2/ 21:()()ssjtjntsx ntx eed 反时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的8x(nt)=x(n)1ptft0t 2t1 2 n ptntnt四四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换离散时间、离散频率的离散傅里叶变换0002 0 1 2 30(1)(1)nn0nnk21

3、sstft时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft） :()()jjnnxex n e 正1:( )()2jjnx nx eed反()nxn 10( )( )nx nrn( )x n10()( )11jj nnnnj nnj njx ern eeee解：11 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 1.ft1.ft的周期性的周期性(2)(2)2()( )( )( )()jmjm nnj njmnnj njnx ex n ex n eex n ex e12 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 2.ft

4、2.ft的线性的线性11221212()( )()( )( )( )()()jjjjx eft x nxeft x nft ax nbx nax ebxe13 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 3.ft3.ft的时移与频移的时移与频移0000()()( )()()( )()jj njjnjx eft x nft x nnex eft ex nx e 14 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 4.ft4.ft的时域卷积定理的时域卷积定理( )( )( )()()()jjjy nx nh ny ex eh e15 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶

5、变换（ftft）的性质）的性质 5.ft5.ft的频域卷积定理的频域卷积定理()( )( ) ( )1()()()21()()2jjjjjy nx n h ny ex eh ex eh ed 16 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 6.6.帕斯维尔定理帕斯维尔定理221( )()2jnx nx ed17 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（ftft）的性质）的性质 7.ft7.ft的对称性的对称性( )( )( )()()()rijjjeox nx njx nx exexe( )( )( )()()()eojjjrix nx nx nx exejxe18( )( )

6、( )()()()rijjjeoh nh njh nh ehehe( )( )( )()()()eojjjrih nh nh nh ehejh e1( ) ( )()21( ) ( )()2eoh nh nhnh nx nhn(0),00,0( )( )/2,0 ,( )( )/2,0()/2,0()/2,0eohnnh nh nnh nh nnhnnhnn( ),0(0),0( )2( ),0, ( )2( ),00,00,0eeohnnhnh nhnnh nhnnnn19 周期序列的离散傅里叶级数（周期序列的离散傅里叶级数（dfsdfs） ( )nx n 周期序列不满足2( )jknnkk

7、x na e傅里叶级数：222110021()0( )nnjmnjknjmnnnnknnknjk m nnkknx n ea eeae 21()0,0,njk m nnnn kmekmkka n202101( )njknknnax n en 周期序列的离散傅里叶级数（周期序列的离散傅里叶级数（dfsdfs） ( )kx kna令210( )( )( )njknnnx kx n ex ndfs，称为的离散傅里叶级数，为2101( )( )( )njknnkx nx k ex kidfsn，称为的反离散傅里叶级数，为214( )( )x nr n8( )x n221788800340444( )(

8、 )( )11njknjknnnnjknnjkjkx kx n ex n eeee解：22 周期序列的傅里叶变换（周期序列的傅里叶变换（ftft） :()( )j tx jx t edt 模拟信号的傅里叶变换000( ):()2()jtjtj taax texjeedt 当00(2)0( ):()2(2)jnjr njrx neex er 当2101( )( )njknnnx nx k en2211001011()( )( )()12( )2(2)nnjknjknjnnkknkrx eftx k ex k ft ennx kkrnn 23 周期序列的傅里叶变换（周期序列的傅里叶变换（ftft）

9、 21022()( ) ()( )( )jknjknnnx ex kknnx kx n e 244( )( )x nr n8( )x n4441( )1jkjkex ke解：已知44422()( ) ()1()441jkjkjkkx ex kknneke 250( )cosx nn0001( )cos2jnjnx nnee解：000001()cos ()2 (2)(2)jnjnjrx eftnfteerr 26时域离散信号与模拟信号的时域离散信号与模拟信号的ftft关系关系 ()( )j taaxjx t edt 1( )()2j taax txjed( )() ()aanx tx nttnt

10、1()()aasnxjxjjkt 27时域离散信号与模拟信号的时域离散信号与模拟信号的ftft关系关系 ( )()ax nx nt()()jjnnxex n e 1( )()2jjnx nx eed28时域离散信号与模拟信号的时域离散信号与模拟信号的ftft关系关系 1( )()2j taax txjedtnt1()()2j ntaax ntxjed1( )()2jjnx nx eed区间不同区间不同(21)/(21)/1()2rtj ntartrxjed 2tr 2/()2/1()()2ttjntaattrx ntxjjr ed 29时域离散信号与模拟信号的时域离散信号与模拟信号的ftft关

11、系关系 2/()2/1()()2ttjntaattrx ntxjjr ed /2/1()2tj ntattrxjjr ed交换区间 t211()2j nattrxjjr edt1( )()2jjnx nx eed21()()jattrx exjjrt300( )cos(2)ax tf t()( )aaxjft x t 模拟信号的傅里叶变换：050fhz( )ax t200sfhz( )x n( )ax t( )ax t( )ax t( )x n000221200()cos2 (2)(2) (100 )(100 )j tajf tjf tj txjf tedteeedtff 310( )cos(

12、2)ax tf t0( )cos(2) ()anx tf nttnt采样信号：050fhz( )ax t200sfhz( )x n( )ax t( )ax t( )ax t( )x n100()( )() (2)(2)aaastksstkxjft x txjjkfkfk 周期延拓：00() (2)(2)axjff 2 /2sstf 320( )cos(2)ax tf t2000/1()() (22)(22) (/22 )(/22 )sjattrsssskktfx exjjrtffkfffkftkkt 序列的傅里叶变换，将代入即可：050fhz( )ax t200sfhz( )x n( )ax

13、t( )ax t( )ax t( )x n33z z变换与变换与z z反变换反变换 z z变换的定义及收敛变换的定义及收敛 z z反变换反变换/ /逆逆z z变换变换 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 利用利用z z变换解差分方程变换解差分方程 34 z z变换的定义及收敛变换的定义及收敛 ( ) ( )( )nnx zz x nx n z( )nnx n z 35四种序列的收敛域四种序列的收敛域 有限长序列有限长序列0n2n1n (n).x12( ),( )0,x nnnnx nn其他2112( )( )( )nnn nnx zx n zx n znnn 若，00,(0,)zz

14、zz 所以收敛域也就是除外的开域，即所谓“有限 平面”re zim jz36120nn0 ( )( )1nnznn zz0,zz ( )( )x nn0,z 37一些序列的收敛域一些序列的收敛域 右边序列右边序列11( ),( )0,x nnnx nnn1110( )( )( )( )nnnn nn nnx zx n zx n zx n zx(n)n0n1.1.xrre zim jz第一项收敛域为0|z|第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为 rx-|z|38( ),0( )0,0 x nnx nnxrz 391101( )( )()1nnnnnx za u n zazaz( )

15、( )nx na u nre zim jzza40一些序列的收敛域一些序列的收敛域 左边序列左边序列11( ),( )0,x nnnx nnn2201( )( )( )( )nnnnnnnnx zx n zx n zx n z第二项收敛域为0|z|第一项为z的正幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为 0|z|rx+x(n)0n n2re zim jzxzr41111101( )(1)()()111nnnnnnnnnnx zb unzb zb zb zbz ( )(1)nx nb un zbre zim jzb42一些序列的收敛域一些序列的收敛域 双边序列双边序列10( )( )( )( )nn

16、nnnnx zx n zx n zx n z第二项为负幂次级数，其收敛域为rx-|z|第一项为z的正幂次级数，其收敛域为 |z|rx+0nxxrxrre zim jz43100011( )( )11111nnnnnnnnnnnnnnx zx n za zb za zbzazbz,0( ),0nnanx nbnazb44 单位圆上的单位圆上的z z变换变换, , 就是抽样序列的傅里叶变换。就是抽样序列的傅里叶变换。z z变换与序列变换与序列ftft的关系的关系( )()jjzex zx e45 z z 反反 变变 换换 111( )( )( )2ncx nzx zx z zdzjxrxr0im

17、jzre zc46求求z z反变换的方法反变换的方法 一一 留数法留数法11111( )re ( ),21( )re ( ),2nnkcknnmcmx z zdzs x z zzjx z zdzs x z zzj mzkz47求求z z反变换的方法反变换的方法 一一 留数法留数法1111re ( ),1()( )(1)!rnrllnrlz zs x z zzdzzx z zldz11re ( ),()( )rnnrrz zs x z zzzzx z z4821( ),414(4)()4zx zzz z1111( )( )( )212(4)(1/4)ncncx nzx zx z zdzjzdzj

18、zz111( )1114( )re /(4)(), 4 ,11441544nnnx nszzzn 1nz1/ 4rz 4xr1/4xr0im jzre zc4921( ),414(4)()4zx zzz z4xr1/4xr0im jzre zc1211( )re /(4)(), 44,2415nnx nszzzn 214 ,115( )14,215nnnx nn 因此1111( )( )( )212(4)(1/4)ncncx nzx zx z zdzjzdzjzz502( ),41(4)()4zx zzz z4xr0im jzre zc112111( )re /(4)(), re /(4)()

19、,4444144,115nnnnx nszzzszzzn 1111( )( )( )212(4)(1/4)ncncx nzx zx z zdzjzdzjzz1nz512( ),41(4)()4zx zzz z4xr0im jzre zc1111( )( )( )212(4)(1/4)ncncx nzx zx z zdzjzdzjzz( )0,2x nn 2144,1( )150,2nnnx nn 因此52求求z z反变换的方法反变换的方法 二二 部分分式展开法部分分式展开法01( )nmmmaa zx zzzzz通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得

20、到原序列。列。5311( )1 (1 2)(1 0.5) ,2x zzzz211121( )(1 2)(1 0.5)(2)(0.5)( )(2)(0.5)20.5zx zzzzzaax zzzzzzz1141( )3230.541113 1 23 1 0.5zzx zzzzz2,412(0.5) ,0( )330,0nnznx nn又查表得54求求z z反变换的方法反变换的方法 三三 长除法长除法2012( )( )( 2)( 1)(0)(1)(2)nnx zx n zxzxzxzxzxz5521( ),414(4)()4zx zzz z543123221( )(41)156416441664

21、1(4),115( )11( ),015 4nnzzzzzzx zzznx nn 得进而得：116( )()15 41/4zzx zzz( )nnx n z56 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 线线 性性1 1 ( )( ), ( )( ),xxyyz x nx z rzrz y ny z rzr( )( )( )( ),max(,)min(,)xyxyz ax nby nax zby zrrzrr57 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 序列的移位序列的移位2 2 ( )( ),xxz x nx z rzr ()( ) ;mxxz x nmzx zrzr 例例2-

22、8 2-8 求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)x(n)=u(n)-u(n-3)的的z z变换。变换。23222 ( ),11 (3),1111 ( ),111zz u nzzzzz u nzzzzzzzzz x nzzzz58 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 乘以指数序列乘以指数序列3 3 ( )( ),xxz x nx z rzr( )( );nxxzz a x nxa rza ra证明：证明：( )( )( )( )( );nnnnnnxxxxzzz a x na x n zx nxaazrra rza ra即590( )cos() ( )x nn u n0000

23、00000001110111cos() ( ) ( )21( )( ),11( ),111( ),11111cos() ( ),12 11jnjnnjnjjjnjjjjn u neeu nzz a u nxzaaazz eu nzeezz eu nzeezzn u nzezez因此，60 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 序列乘以序列乘以n n4 4 ( )( ),xxz x nx z rzr( )( ),xxdz nx nzx z rzrdz 证明：证明：11( )( ),( )( )( )()( )( )( )( )nnnnnnnnnnx zx n zdx zddx n zx

24、 nznx n zdzdzdzdx zznx n zz nx nzdz 对其两端求导得即，61 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 共轭序列共轭序列5 5 ( )( ),xxz x nx z rzr*( )(),xxz x nxzrzr证明：证明：*( )( ) ( )()( )()()nnnnnxxnz x nx n zx n zx n zxzrzr，62 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 初值定理初值定理6 6( )(0)lim( )zx nxx z对于因果序列，则证明：证明：012( )( ) ( )( )(0)(1)(2),lim( )(0)nnnnzx zx

25、 n u n zx n zxxzxzx zx显然63 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 终值定理终值定理7 71( )( ) ( )1lim ( )lim(1)( )nzx nx zz x nzx nzx z对于因果序列，且的极点在单位圆内，且只允许单位圆上处有一阶极点，则有64 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 序列的卷积和序列的卷积和8 8( )( )( )( ) ()( ) ( ),( ) ( ),mxxy nx nh nx m h nmx zz x nh zz h nrzr如果而且( ) ( )( )( )max,min,xhxhy zz y nx z h

26、zrrzrr65 ( )( ) ( )( )() ()()()()( )()( )( )( )max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhz x nh nx nh nzx m h nmzx mh nm zx mh l zzx m zhzxz hzrrzrr 661( )( ), ( )( )(1),( )( )( ),.nnnx na u n h nb u nabu ny nx nh nba例：已知求1( ) ( ),;( ) ( ),;( )( )( )( )( )( ).( )( )( )( )( )nzx zz x nzazazazah zz h nzbzbzbzbzzazy z

27、x z h zza zbzbx zh zy zzby nx nh nzy zb u n的极点与的零点相消，的收敛域扩大，为67 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 复卷积定理复卷积定理9 9( )( )( ),( ) ( ),;( ) ( ),xxnny nx nh nx zz x nrzrh zz h nrzr如果且111( ) ( )( )( )21( )( );2cxnxnczy zz y nxh v v dvjvzx v hv dv r rzr rjv681( )( ), ( )(1),( ) ( ) ( ).nnx na u n h nbu ny zz x n h n例：

28、 已知求1( ) ( ),;1( ) ( ),;11( ) ( ) ( )21,;2()()cczx zz x nzazah zz h nzbzbvy zz x n h nvdvzjvabvvadvzabjvazbvzab69 z z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 帕斯维尔定理帕斯维尔定理1010( ) ( ),;( ) ( ),1xxnnxnxnx zz x nrzrh zz h nrzrr rr r 如果且*111( )( )( )()2cnx n h nxhdj70 利用利用z z变换解差分方程变换解差分方程 00()()nnkkkka y nkb x nk左边左边x(n)x(

29、n)为因果序列为因果序列1 10( ) ( )( )nnx zzt x nx n z0 ()()( )nmknmkzt x nkx nk zx m zz0( )( )mkkmx m zzzx z71 利用利用z z变换解差分方程变换解差分方程 右边右边y(n)y(n)为任意序列为任意序列2 20( ) ( )( )nny zzt y ny n z0 ()()( )nmknmkzt y nky nk zy m zz10( )( )mkmkmmky m zzy m zz1 ( )( )kmmkzy zy m z72 利用利用z z变换解差分方程变换解差分方程 100 ( )( )( )nmkmkk

30、kkmkka zy zy m zb zx z73( )(1)( ),( )( ), ( 1)2,( ).ny nby nx nx na u nyy n例： 已知差分方程 其中求1( )( )( 1)( )y zbz y zbyx z12( )( )1bx zy zbz1111( )2(),0nnny nbabnab11121( )max(,)1(1)(1)by zza bbzazbz，收敛域74h(n)x(n) (n)y( )( )( )( ),( )( )( )nny zy zx zh zh zh n zx z75 用系统函数分析系统的因果性和稳定性用系统函数分析系统的因果性和稳定性因果性：

31、因果性：n0n0，h(n)=0h(n)=0( )( )nnh zh n z收敛域包含无穷大点收敛域包含无穷大点 收敛域包含单位圆收敛域包含单位圆稳定性：稳定性：( )nh n 收敛域包含收敛域包含无穷大点和无穷大点和单位圆单位圆76211( ), 01(1)(1)ah zaazaz1az 1）收敛域为0za2）收敛域为1aza3）收敛域为77 用系统函数分析系统的频率特性用系统函数分析系统的频率特性 1111(1)( )( )( )(1)mrrmrrc zy zh zax zd z11()()mrn mrnrrzcazzd()11()()()mjrjj n mrnjrrech eaeedre zim jz11mrrnrrc bad b 111