常用求面积、体积公式

1、1-3 常用求面积、体积公式1-3-1平面图形面积平面图形面积见表1-73。平面图形面积表1-73圈形尺寸符号面积(A)重心(tn正肓形因a边抚d对角线1'A = fl2a=TA=0.707dci = L414ci = 1.414 ZA.在对划线交点上«頰边b长边d对.角线A = a *d a2 + b1在对博线交点上三角形 平行四边形BA I Dc对应痢A、E、邻边 对边何的距离GD= -BDCD - DAA = ft Ji a * ft sm s 5ih0在对甬线交点上CE = ABAF = CDCD （上底边）i = AB 下底边）A高a +2酉HG =专IE：r半栓d

2、直栓卫一圆間长A = nr2=Yicd24= 0.785=0.07958p- nd在0心上a b-1主轴在主轴交点G上r半隹5弧长a孤s的了才应中(?角*1住1QJT, = 180rGO =寺乎当曲=9时GO 二手3 jcr一半径 孤畏<1中心角 b弦长h二寺匸f （ j - &） + 6A J=队017知弋180当a = 180*时GO = 7 = 0.4244r 3开圏形尺寸符号面积（A）<心(G)圆环r 十r1-A-R外半轻r内半轻D外直径d内直径t环宽DPJ平均直桓A = ?r (0)1(D?-屮)=在圆心O部 分 圆 环R外半径r内半径D外直栓d内直径RPJ圆环平

3、均半径t环宽A =( R3 r2)n 360 vJ=R pISO PJR-r38 = 3险击二sin -yxg新 月 形OO）= L 圆心间的'距离d直艮a = T ”一孟口+血" = rFP>- rr - rTa + sinaltJup值见F表 G (lzFD5。- 2pLd102d103d104d103d106d10Id1&10I10P0.400.791.181.561,912.252.552.81，L3,02撇物线 形* °£6底边h高1曲线长：SABC的面积1= >/b2+ 1.3333h2A =专ft= s3亠等多边形0a边怏

4、K,系数* i指余边形 的边数R外接圆半径P,系数* £指正多边形的边数a( = k；*«2=P(* J?3正三边形 K3 = 0.433, p3-1*299 正四边形 K4= 1.000, P2.000 正五边形Ky= 1.720, P严2.375 正六边形 K6=2.598t P« = 2.598 正七边形 K7 = 3.634, P7 = 2.736 正八边形 Ks = 4.82&( Pe2.828 正九边形 K9 = 6.182. P, = 2.H93 正十边形 K10 = 7.694 P1O=2l939 正十一边Ku = 9.364, Pn =

5、2.973 正十二边形Kl2=lbl96,尸总=3.000在内接 圆心或外 '接圆心处1-3-2多面体的体积和表面积多面体的体积和表面积见表1-74。多面体的体积和表面积表1-74尺寸符号重 心(G)体积(眄 底面积(A) 茨面根S)側表面积Si)a棱d-一对角线S表面积Si値表面积在对角线交点上K方侔棱柱)心、占、h边长O底面对熾线左点V=abhS =2 a * b + a * h + t>' h)St = 2h (d + i)d=三棱柱H、b c一边长h高A底面积O底面中线的交点S= (a + b 十亡)f +2AS=n*/ +ASi = «'/GO

6、峠f个组合三角形的面积n-一組合三箱形的个数 O锥底备对角线交点AA】、A3-两平行底面V = y/i (Aj + A2 + VAt/G)S = dn + A1 + ASt = an的面积A-底面间的距离a个组合梯形的面»-一组合梯形数云扣+ 2 /创址+3加 Ai + /AjAj + Az圆柱和空心K柱(管)R外半径r內半径£柱壁厚度P一平均半径51内外儼面积圆柱；V=肿hSt = 2Rh空心直圆柱*¥ =rrh (R2-)= 2nRPthS = 2k (R + r) A + 2(rx ®/)Si =2ir (J? + r) h尺寸符号休积（V） 底面

7、积（A）表茴积CS）侧表面积（S1）心（G）無«直圖柱ft I最小离度A 2Jft大高度r底面半径4 （A | + A;）r半徑d直径V =nr2= = 0.5236</3S = 4«rr2 wd2在球心上球扁晤球锲)r球半径圧弓形底圆克径h弓形高V=yjrr2h 2.0944r2hS+刃= 1*5" +T）h球缺的高r球缺半锂d平切圆直鏡 s*曲面面租S球缺表羽积y=厂-号）$曲=2灿=令+刊S = jrfi （4r h）d2 = 4h （2r-fi）尺寸符号R圆环体平均半桎 D圆环悴平均宜径 dIE环体哉面直植 r圆环体截面半径体积(V) 底面积(A)表

8、面积(S)侧表面积 ®h.V =2?t2Kt3峠畑zS =4v2Rr=n2 Dd = 39.47Rr£ 心(G)在环中応上交叉圆柱休R一球半径口、r；底面半径h麗奇球心0至带底 圆心Q 的距 离V= ¥ (3十+ 3沁+屏)St = 2RhS = 2it/?A + ?r ( ri + r；)0中间断面直锂 d底直径t一桶高4 b、c半轴r圆柱半径 g I同柱长庄、b卜底边长対、bl上底边快h上、下底边胆离(高对于抛樹线形桶板；X ( 2DJ+ a/ + y3)对于圆形糯板：v = -j (2DJt rf1)V =亍赧JTS= 22' br /a'

9、+ b2V =石：2 也 + ai)6+(2*| +在轴交点上在轴兗直上在二轴线兗点上1-3-3物料堆体积计算物料堆体积计算见表1-75。1-3-4壳体表面积、侧面积计算1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1 ）图1-1圆球形薄壳计算图球面方程式：X2 + YZR2 （对坐标系XYZ,原点在0）式中R半径；x、y. z在球壳面上任一点对原点o的坐标。殳 £一0 F弦lx (AC); 己扩匸 f 4 u X T、厶 jT-izS / j26弦长(BC)iF、GABt BC的中点；f弓形AKC的高（KOJ）；一弓形AEB的高（EF）；弓形BDC的高（DG）;S,弧AEB的长;Sy-一弧另D

10、C的获；Ak弓形AEB的面积（侧面积”Ay弓形BDC的面积*20”对应弧忑的圆心角（弧度）；2%对应弧赢的圆心角（弧度）*CT新坐标系工平的原点（XOY平面平移后与Z轴的交点人SJ0 n si=arcsin0_R=arcsin |h 丫 二 J- #2 J一 戊'占2 弧忌与赢之曲线方程式分别为：z2= (R2' 2)(AEB)y2+ z2 = R2-a2 (BDC)1. 弧长按下式计算：Sx = 2 yR1 - b1 ' arcsin 丁斜； JR2 一 h22. 侧面积按下式计算:= (R% b2) * arcain a * JR2 a2 b2VR2 - b2= (

11、R2 a2) * arcsin -了 = b *R- a1 b2Jr2 - a23. 壳表面积按下式计算：A = SK*Sy其一次近似值为：LA = 4oR arcain = _ = 4 aR* r其二次近似值为:A 二 4 aKarcsiti +a3b1-3-4-2椭圆抛物面扁壳（图1-2 ）X.图1-2椭圆抛物面扁壳计算图壳面方程式：Z吟疋+令严£1 0在壳面上任一点对原点0的坐标；Y. Z加一对应弧ADB的弦长匚2b对应弧BEC的弦长;Ak弓形ADB的高；hv弓形BEC的高冷假设：Sx弧忑的长:；W 、Sy弧BEC的长；弓形ADB的面积;Ay弓形EEC的面积。1. 弧长按下式计

12、算式中b或若；SI = 2ax系数K&Sy2&x系数心式中系数K外Kh可分别根据*的值，查表1-兀得到。3 2b2.壳表面积按下式计算A = Sx * Sy3.侧面积按下式计算A- = 3at h-A厂扌h,1-3-4-3椭圆抛物面扁壳系数计算见图1-2，壳表面积（A）计算公式:A= S Sy = 2ax系数 KaX2bx系数 Kb式中Ka、Kb椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。椭圆抛物面扁壳系数表表1-76系数或瓦2a 2b系数 K.或$Aa歳2a2b系数 K.或心Aa或H2a *2&垂数 K,或 KbAa或虹2a2bM数 氐或心0.0501.00660.080

13、1.0168OJW1.03140.1401.05000.1701.07240.0511.00690.081L.01720.1111.03200.1411.05070.1711.07330.0521.00720.0821.0177OJ121,03250,1421.05140.1721.07410.0S31.00740.083L.018L0.1131.03310.1431.05210.1731.07490.0541.00770.0S41.0185OJ141.03370.144L05280.1741.07570.0551.00800.0851.01890.1151.03420.1451.05350.

14、1751.07650.0561.00830.0861.01940.1161.03480.146L05420.1761.07730.0571.00860.0871.01980.1171.03540.1471.05500.1771.07820+0581.00890.0&8U02030.1181.03600.1481.055703781,07900.0591.00920.089L.02070.1191.03660L1491.05640.1791.07980+C601.00950,0901.02120.1201.03720,1501,05710.1801.08070,0611.QQ9Bth 0

15、911.02170.1211.03780.1511.057S0.1811.08150.0621.01020.0921.02210.122L03B40,1521,05860.1821,08240.0631.01050.093L.02260.1231.03900.1531.05930.1831.08320.0641.010S0.0941.02310.1241.03960.154L06010.1841.08410.0651.G1120.0951.02360.1251.04020.1551.06080.1851.08490.0661.01150.0961.02410.1261440801561.061

16、60,1861.08580.0671.011&0.097L.02460.1271.04150.1571.06230.1871.08670.0681,01220.0981.02510.1281.0421OhISSL06310.1881.08750.069L01260.09»1.02560J291.0428UJ591.063B0.1891.08840.0701.01290.1001.02610.1301.04340.1601.06460.1901.W30.0711.0133oaoiL02660.1311.04400161L065401911.09020.0721.01370.10

17、21.02710.1321.04470.1621.06610.1921.09100.073J.O14Ooao31.02760,1331.04530.1631.06690.1931.09190.0741.01440.1041.02810.1341.04600.1641.06770.1941.09280.0751.01480.1051.02&70.1351.04670.1651.068$0.195IM370.0761.01520.106L.02920.1561.04730.1661.06930.1961.09460.0771.015&0.1071,0270,1371.O4S00.1

18、671.07000.1971.09550.0781.01600.1081.Q3030.1381.04870.1681,07080.1981.09640.0791.01640.1091.03080.1391.04940.169L07160.1991.0973查表说明例已知2a=24.0m, 2b= 16.0m, hx = 3.0m, hy = 2.8m，试求椭圆抛物面扁壳表面积 A。先求出 hx/2a = 3.0/24.0 = 0.125hy/2b = 2.8/16.0 = 0.175分别查表得系数Ka为1.0402和系数K为1.0765，则扁壳表面积A= 24.0 X 1.0402 X 16.

19、02X 1.0765 = 429.99m1-3-4-4 圆抛物面扁壳(图1-3)X图1-3圆抛物面扁壳计算图壳面方程式：Z二寺(X2+ Y2)式中 X、Y、-在壳面上任一点对原点O的坐标;R-半径；假设2a-对应弧忌的弦长*2b-对应弧赢的弦长；S衣一弧AGB的长；A、-弧BDC的长；弓形AGE的高*弓形BDC的高；-弓形AGB的面积；Ay一弓形BDC的面积；f-壳顶到底面距离；£ -AC的长。M：c 2 J a1 + b1十=更 .一 £Z 2Rk 知-2R弧长按下式计算S# =董 Jr2 + d2 + i? 询芸 + + J炉 + a2 片=詈 Jr2 + b2 + R m倍 + 寺 A2 + b212. 壳表面积按下式计算3. 侧面积按下式计算打二鈴1-3-4-5单、双曲拱展开面积1 单曲拱展开面积=单曲拱系数x水平投影面积。2