第五章定积分的几何应用

1、第六节第六节 定积分的几何应用定积分的几何应用引引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积边梯形的面积. .那么定积分在几何上还有其它方面那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？一、微元法一、微元法 微元法也称微元分析法微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问研究的是某些量

2、的计算问题题. 记所研究的量为记所研究的量为 q , 量量 q 如果符合下列条件如果符合下列条件: (1) q 是与一个变量是与一个变量 x 的变化区间的变化区间a, b有关的量有关的量; (2) q 对于区间对于区间 a , b 具有可加性具有可加性, 也就是说也就是说, 如果把区间如果把区间 a , b 分成许多部分区间分成许多部分区间, 则则 q 相应地相应地分成许多部分量分成许多部分量, 而而 q 等于所有部分量之和等于所有部分量之和; (3) q = dq ( x ) + o ( x ). 则整体量则整体量 ( ).baqq x dx微元法或微元分析法遵循如下三个步骤微元法或微元分析

3、法遵循如下三个步骤: 第一步第一步:分割分割 把区间把区间 a , b 分为分为n个小区间（区间个小区间（区间微元），微元），f(x)为高，为高，x为底的小矩形的面积为底的小矩形的面积f(x)dx=da(面面积微元积微元) . 第二步第二步: 求和求和 面积面积a的近似值为的近似值为第三步第三步: 求极限求极限 得面积的精确值得面积的精确值a=lim=( ).baf x dx 由上诉分析，我们抽象出在应用学科中广泛采用的由上诉分析，我们抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量），表示为定积分的方法将所求量（总量），表示为定积分的方法微元法。微元法。( )af x dx( )f x dx。求微

4、元。求微元写出典型小区间写出典型小区间 ,badxxx 上的局部量上的局部量 u 的近似值的近似值dxxfdu)( 这就是局部量的微元这就是局部量的微元。求积分。求积分即把微元即把微元 du在区间在区间 a , b 上上 相当于把相当于把 dxxf)(作积分表达式作积分表达式求它在求它在 a , b 上的定积分上的定积分 即即 badxxfu)(这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由作为一般情况讨论，设平面图形由 a , b 上连续的两条曲线上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与与

5、 y = g ( x ) )()(xgxf 及两条直线及两条直线 x =a ,x =b 所围成所围成在在 a ,b 上任取典型小区间上任取典型小区间 x ,x+dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为面积微元与它相对应的小曲边梯形的面积为面积微元da=f(x)dxda 可用高为可用高为)()(xgxf 底为底为 dx 的矩形面积的矩形面积近似表示近似表示即即dxxgxfda)()( 故故 badxxgxfa)()(ab)(xfy )(xgy xdxx 当当 dx 很小时很小时 例例1 求由曲线求由曲线 y = x 2 与与 y = 2 x 2 所围成的平面所围成的平面图形的面积图形的面积. 解解

6、解方程组解方程组 22,2,yxyx求得两抛物线的交点求得两抛物线的交点 为为( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形故所求平面图形 ( 如图如图5 10 )的面积为的面积为 112231028(2)2 2.33axxdxxx(1, 1)(-1, 1)oxy1-1y = x 2y = 2 - x 2x x+dxxy22 4 xy所围图形的面积所围图形的面积解解首先定出图形所在的范围首先定出图形所在的范围 xyxy242 解得交点为（解得交点为（2，-2）和（）和（8，4）若取若取 x 为积分变量为积分变量 在在 x,x+dx 上取部分量上取部分量则对于则对于 x 的不同值

7、的不同值 局部量的位置不同局部量的位置不同 其其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂较为复杂如下图如下图例例2 计算计算 以以 y 为变量计算将会简单为变量计算将会简单在在-2,4 上任取一小区间上任取一小区间,dyyy 其上相应的窄条左、右曲边分别为其上相应的窄条左、右曲边分别为4,212 yxyx18)214(242 dyyya但若将这一面积看作是分布在区间但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上上 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使特征恰当地选择积分变

8、量找出相应的面积微元可使计算简化计算简化上述问题的一般情况是上述问题的一般情况是平面区域由平面区域由 c,d 上连续的曲线上连续的曲线)(),(yxyx )()(yy 及直线及直线y = c ,y = d 所围成所围成 则其面积为则其面积为 dcdyyya)()( cddyy y)(yx )(yx 例例3 求椭圆求椭圆 22221xyab所围成区域的面积所围成区域的面积. 解解 椭圆关于坐标轴对称椭圆关于坐标轴对称, 见图见图, 220044aaaydxax dxyoxx x + dxba214.4baaba它在第一象限部分面积的它在第一象限部分面积的4倍倍, 因此因此 所求面积为所求面积为2

9、 极坐标系极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 )(),( rr给出给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线而是由射线 与)( rr 及及曲曲线线所围成的称为曲边扇形的区域所围成的称为曲边扇形的区域有有关关与与 很很小小时时当当 d的的变变化化不不大大)( ra 可用半径为可用半径为)( r圆心角为圆心角为 d由于曲边扇形的面积分布由于曲边扇形的面积分布故面积元素为故面积元素为 dra)(212 drda)(212 d d)( rr 的圆扇形的面积来近似

10、的圆扇形的面积来近似解解由对称性知总面由对称性知总面积积=4倍第一象限倍第一象限部分面积部分面积14aa daa2cos214402 .2a 2cos22a xy 例例6 6 求求心心形形线线)cos1 ( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积) 0( a. 解解 d dada22)cos1 (21 利用对称性知利用对称性知 d2)cos1 ( 02212aa d )coscos21 (2 02a 通过以上几例可见在实际计算中应通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的充分利用所求量的对称性对称性和和等量关系等量关系来来简化计算。简化计算。 2sin41sin2232a 0.232a

11、三、旋转体的体积三、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体, 这条直线叫做旋转轴这条直线叫做旋转轴. 由连续曲线由连续曲线 y = y ( x ) , 直线直线 x = a , x = b 及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体轴旋转一周所得的旋转体的体积可用定积分计算的体积可用定积分计算. 2 ( ).bavf xdx 以以 x 为积分变量为积分变量, x a , b 取取 x, x+dx a , b , 在在 x , x + dx上立体的体积可以近似看成以

12、上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面为底面yoxxx+dxy = f (x)ab元素为元素为 dv = f ( x ) 2 dx. 旋转体的体积为旋转体的体积为 半径半径, 高为高为 dx 的小圆柱体的体积的小圆柱体的体积, 见图见图5-17, 则体积则体积 类似地类似地, 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线 x = ( y ) , 直直线线 y = c , y = d 及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转轴旋转2 ( ).bavxdxyoxdx = (y)一周而成的立体一周而成的立体, 见图见图5 18 , 则体积为则体积为例例7 计算由椭圆计算

13、由椭圆 22221xyab所围成的图形所围成的图形 绕绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解解 这个旋转体可以看成由半个椭圆这个旋转体可以看成由半个椭圆 22byaxa而成的立体而成的立体, 见图见图5-19, 及及 x 轴围成的图形绕轴围成的图形绕 x 轴旋转一周轴旋转一周图图5-1922221xyabyoxx x+dxab222aabvaxdxa特殊地特殊地, 当当 a = b 时时, 得球的体积得球的体积 34.3va222202abaxdxa22320123aba xxa24.3ab求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系

14、下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.求旋转体的体积求旋转体的体积（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）小结小结 1.设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程. 思考题思考题122ss

15、xdxxfs02)( xdxxfxysxys021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导x)(xfy xyo1s2s),(yxyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c思考题思考题 1 解答解答,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长思考题思考题 2 解答解答练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1

16、 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互

17、垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积s，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaa，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积s最最小小 . . 二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、 、 、xy1 与直线与直线xy 及及2 x。2 2 y2x与直线与直线xy 及及xy2 。3 3 )cos2(2 ar4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx3

18、33 . .三三、 求求抛抛物物线线342 xxy及及其其在在点点)3,0( 和和)0,3(处处的的切切线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积 . . 四四、 求求位位于于曲曲线线xey 下下方方， 该该曲曲线线过过原原点点的的切切线线的的左左方方以以轴轴及及x上上方方之之间间的的图图形形的的面面积积 . . 五五、 求求由由抛抛物物线线axy42 与与过过焦焦点点的的弦弦所所围围成成的的图图形形面面积积的的最最小小值值 . . 练习题答案练习题答案一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. . 二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. . 三三、49. . 四四、2e. . 五五、238