无穷小量与无穷大量05408

1、1.4 1.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量1.4.11.4.1 无穷小量无穷小量1.1.无穷小量的定义无穷小量的定义定义定义 1 1 若0limx，则称x为该极限过程中的无穷小量， 简称无穷小。例如：当0 x时，xsin和xtan是无穷小量；当xx时，xx是无穷小量； 当x时， ) 1( aax是无穷小量； 当x时，21x是无穷小量。注意注意 无穷小量是以0为极限的变量； 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量； 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋向； 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。 有限个有限个无穷小量的代数

2、和是无穷小量； 有限个有限个无穷小量的乘积是无穷小量。2 2. .无穷小量的性质无穷小量的性质性质性质 1 1：若yx ,都是无穷小量，则yxyx ,也是无穷小量；注意：注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。例如：1)111(lim 个nnnnn。即有界变量与无穷小量的积是无穷小量。性性质质 2 2 若x是无穷小量，y是有界变量，则yx是无穷小量。3 3函函数数的的极极限限与与无无穷穷小小量量的的关关系系定定理理 1 1 axlim ax，其中0lim，a为常数。必必要要性性 若axfxx)(lim，则0)(limaxfxx，令axf)(， 则0limxx，且 axf)(。充充分分性性

3、 若 axf)(，0limxx，则aaaxfxxxxxxlim)(lim)(lim。例 1求下列极限错！错！错！错！（1）xxx1sinlim0； （2）xxxarctanlim。（1）误解误解：01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx； 01sinlim0 xxx。正解正解： 0lim0 xx，而1 1sin x，（2） 解： 01limxx，而2arctanx，0arctanlimxxx。1 1. .无穷大的定义无穷大的定义1 1. .4 4. .2 2 无无穷穷大大量量定义定义 1 设)(xf在)(xn内有定义，若0g，0， xx0 时，恒有gxf)(，则称当xx时，

4、)(xf为无穷大量无穷大量，记为 )(limxfxx，或)(xf)(xx。 若将上述定义中的不等式gxf)(改为gxf)(或gxf)(，则称当xx时，)(xf为正无穷大量正无穷大量或负无穷大量负无穷大量，记作 )(limxfxx 或)(xf)(xx； )(limxfxx 或)(xf)(xx。 对于自变量的其他几种变化趋势（xx，xx，x，x，x，n） ， 同样可以定义无穷大量。.)( ,0 , 0 , 0)(limgxfxxgxfxx恒有.)( ,0 , 0 , 0)(limgxfxxgxfxx恒有.)( ,0 , 0 , 0)(limgxfxxgxfxx恒有无无穷穷大大量量、正正无无穷穷大大

5、量量和负负无无穷穷大大量量列表对比如下：例如，当2x时，xtan是无穷大无穷大，记作xxtanlim2；当x时，xe是正无穷大正无穷大，记作xxelim；当0 x时，xln是负无穷大负无穷大，记作xxlnlim0。 说一个函数)(xf是无穷大，必须指明x 自变量 的变化趋势。如x1是当0 x时的无穷大，但当 x，x1就不是无穷大，而是无穷小了。 无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如100010， 10001000 等混为一谈。注意注意2 2无穷大量的性质无穷大量的性质性质性质 1 1 若0limlx，ylim，则yxlim； 性性质质 2 2 若lx lim

6、，ylim，则 )(limyx；性性质质 3 3 若xlim，ylim，则 )(limyx；性性质质 4 4 若yx ，xlim，则ylim； 性性质质 5 5 若xlim，则)(limx。例如例如：xxxf212)(，xxg2)(， )(limxfx，)(limxgx，它们都是无穷大量，但021lim)()(limxxgxfxx是无穷小量。又又如如：xxxfcos2)(，xxg2)(，)(limxfx，)(limxgx，它们都是无穷大量，但xxgxfxxcoslim)()(lim不存在。问问：两两个个无无穷穷大大量量的的和和是是否否是是无无穷穷大大量量？答答：不一定。3 3. .无穷小量与无

7、穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系性质性质 6 6 若xlim，则01limx； 反之，若)0( 0limxx，则x1lim。例如，xxelim，0limxxe；0sinlim0 xx，xxsin1lim0。例2.求下列极限（1）23lim22xxxx 误解误解：010)2(lim)3(lim23lim22222xxxxxxxxx。正解正解：0100)3(lim)2(lim32lim22222xxxxxxxxx，23lim22xxxx。（2）)1113(lim31xxx.误解误解：011lim13lim)1113(lim13131xxxxxxx。正解正解：3213112lim)1113(li

8、mxxxxxxx)1)(1 ()2)(1 (lim21xxxxxx. 112lim21xxxx例2.求下列极限（1）357243lim32xxxxx)(型解：0357243lim357243lim323232xxxxxxxxxxx；（2）243357lim23xxxxx)(型解：2x4x33x5x7lim23x。 若000ba，nnm ,，则 . , 0 , , , ,lim00110110nmnmnmbabxbxbaxaxammmnnnx当当当1.4.31.4.3无穷小量的比较无穷小量的比较 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小的商却有多种可能性。 例如，当0 x时，xxxxxco

9、s1 ,sin , ,3 ,2都是无穷小，而03lim20 xxx，203limxxx，1sinlim0 xxx，21cos1lim20 xxx。 这种多样性反映了不同的无穷小量趋于零的速度是不同的。为了定量地描述无穷小量趋于零的速度的快慢程度，我们引入以下的术语与记号。 定定义义 3 3：设0limx，0limy，且0y，（1）若0limyx，则称yx 是的高阶无穷小量高阶无穷小量，记为)(yox ；而称xy 是的低低阶阶无无穷穷小小量量。（2）若0limkyx，则称yx 与是同阶无穷小量同阶无穷小量，记为)(yox ；（3）若1limyx，则称yx 与是等价无穷小量等价无穷小量，记为xy；

10、（4）若)0 , 0( limkllxxk，则称0 x时， 的是 xxk k阶阶无无穷穷小小量量。 例如例如：0lim30 xxx， 当0 x时，)(3xox 。21cos1lim20 xxx，当0 x时，)(cos12xox，的且是 x二阶无穷小量。 1sinlim0 xxx， xsin)0( xx； 1tanlim0 xxx， xtan)0( xx； 21cos1lim20 xxx， xcos1)0( 212xx； 1arcsinlim0 xxx， xarcsin)0( xx； 1arctanlim0 xxx， xarctan)0( xx； nxxnx111lim0， 11nx)0( xn

11、x。定定理理 2 2（1）若xy，则)()(yoxoyx；（2）若xy，且)(limzy存在，则)(lim)(limzyzx。证明证明： （1）0111 limlimxyxyx， )(xoyx（同理可证得)(yoyx） 。（2）)(lim)(limlim)(lim)(limzyzyyxzyyxzx。定理表明定理表明： 两个等价无穷小量yx 与之差是比) ( yx 或高阶的无穷小量； 在乘积的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。在乘积的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。例4求下列极限： （1）求xxxxxarctantansinlim20；误解误解：0limarctantansin

12、lim2020 xxxxxxxxxx。正解正解：xxxxxxxxxx2020)cos1 (tanlimarctantansinlim21)21(lim320 xxxx。解：xxxnxxxxnx2)(1lim2sin11lim2020nnxx2121lim0。解：mnxmnxxxxx00lim)(arcsin)sin(lim. , , 1 , 0m nmnmn等价无穷小量等价无穷小量（2）xxxnx2sin11lim20；（3）mnxxx)(arcsin)sin(lim0（4）)cos1 (cos1lim0 xxxx；解：)cos1)(cos1 (cos1lim)cos1 (cos1lim00 xxxxxxxxx)cos1 (cos1lim210 xxxx.21)(2121lim2122