格林公式及其应用60511

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第三节第三节一、格林公式一、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用格林公式及其应用 二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束引言引言牛牛莱公式：莱公式：)()()(afbfdxxfba 特点特点： .)(,)(来来表表达达在在这这个个区区间间端端点点上上的的值值原原函函数数上上的的定定积积分分可可通通过过它它的的在在区区间间xfbaxf 格林公式格林公式特点特点：在平面闭区域在平面闭区域d上的二重积

2、分可通过沿闭区域上的二重积分可通过沿闭区域d的边界曲线的边界曲线l上的曲线积分来表达上的曲线积分来表达. .两者共性两者共性（实质实质）：）：把把内部内部问题转化为问题转化为边界边界问题来处理问题来处理. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束ld区域区域 d 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区域区域 )多多(复复)连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 d 边界边界l 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左【定理定理1】 设区域设区域 d 是由分段光滑是由分段光滑正向曲线正向曲线 l 围成围成,则有则有, ),(yxp),(yxq ldyqx

3、pyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 d 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【应用格林公式时应注意应用格林公式时应注意】1. .积分曲线积分曲线l必须是必须是封闭封闭曲线，取曲线，取d的正向边界的正向边界. .2. . . ,续偏导数续偏导数及其边界上具有一阶连及其边界上具有一阶连在区域在区域dqp（三条缺一不可）（三条缺一不可）3. .d可为可为单单连通域，也可为连通域，也可为复复连通域；连通域；当当d为复连通域时，为复连通域时，l包括包括d的所有正向边界的所有正向边界. .机动

4、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 l 所围区域所围区域 d 的面积的面积 lxyyxadd21格林公式格林公式 ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 椭圆椭圆 20,sincos: byaxl所围面积所围面积 lxyyxadd21 2022d)sincos(21ababab 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用【例例1】设设 l 是分段光滑的闭曲线是分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22 yxxyxl【证证】 令令,22xqyxp 则则ypxq 利用格林公式利用格林公式 ,

5、 得得yxxyxldd22 022 xx dyxdd00 1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分boaboal xyolabd ldxdydxdy, boaboaxdyxdyxdy, 0, 0 booaxdyxdy由于由于.412rdxdyxdydab 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,d)(d)3(22yxyxyxl 其中其中l 为上半为上半24xxy 从从 o (0, 0) 到到 a (4, 0).【解解】 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,ao它与它与l 所围所围圆周圆周区域为区域为d , 则则【例【例3】计算】计算ya xold原式原

6、式yxyxyxaold)(d)3(22 dyxdd4 oayxyxyxd)(d)3(22 402dxx3648 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,dd2 dyyxe其中其中d 是以是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 【解解】 令令, 则则2, 0yexqp ypxq利用格林公式利用格林公式 , 有有 dyyxedd2 dyyexd2yexoayd2 yeyyd102 )1(211 exy oyx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bd2ye 有多种取法有多种取法, ,则选最简单的则选最简单的2. 简化二重积

7、分简化二重积分【例【例4】 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,dd22 lyxxyyx其中其中l l为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线. .【解【解】令令22222)(yxxyxq 设设l所围区域为所围区域为d, ,)0 , 0(时时当当d 由格林公式知由格林公式知0dd22 lyxxyyx,22yxyp 22yxxq yp yxol【例【例5】计算计算,)0 , 0(时时当当d 由于由于p,q在在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条件点无定义，不满足格林公式条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

8、结束结束记记 l 和和 l 所围的区域为所围的区域为 , dsincos2022222 rrr 2 在在d 内作圆周内作圆周,:222ryxl 取逆时取逆时针方向，针方向，1d对区域对区域1d应用格应用格林公式林公式 得得 lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd llyxxyyx22dd llyxxyyxyxxyyx2222ddddl1dloyx为了使用格林公式为了使用格林公式 1)(ddxdyypxq. 0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ldydxxdydxdy23. 计算平面面积计算平面面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解

9、解】 lydxxdya21 amoonaydxxdyydxxdy2121)0 ,(aanm amoydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 1lqdypdx 2lqdypdx gyxo1l2lba等式等式的任意两条曲线的任意两条曲线到点到点从点从点内内以及以及内任意指定的两个点内任意指定的两个点定义：如果对于定义：如果对于, ,21llbagbag机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【定理定理2

10、】 设设d 是是单连通域单连通域 ,),(),(yxqyxp在在d 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿d 中中任意光滑闭曲线任意光滑闭曲线 l , 有有.0dd lyqxp(2) 对对d 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 l, 曲线积分曲线积分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d (4) 在在 d 内每一点都有内每一点都有.xqyp lyqxpdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 d 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

11、返回 结束结束根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xqyp 则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 内的原函数内的原函数:dyx ),(00及动点及动点,),(dyx yyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或或 yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为 yyyyxq0d),( xxxyxp0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点

12、1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;yx),(yx【说明说明】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例7】【解解】,2)(2xyxyyyp ),()(xyxyxxq ,),(2xyyxp ),(),(xyyxq 10100ydydx.21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束yyxxyxdd22 是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 【解解】,22yxqyxp 则则xqyxyp 2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd

13、22 ),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 利用曲线积分与路径无关利用曲线积分与路径无关设设【注注】所取起点不同，所所取起点不同，所求函数的最后结果求函数的最后结果中的常数可能不同中的常数可能不同. .【例【例8】验证验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解 】 不定积分法不定积分法(求原函数的方法求原函数的方法)由于由于ydyxdxxydu22 故故(1) 2xyxu (2) 2yxyu 由由(1)式得式得)(2222yyxdxxyu )(为待定函数为

14、待定函数y 求导得求导得)(2yyxyu 结合结合(2)式得式得yxyyx22)( cyy )( 0)( cyxyxu 2),( 22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 【证证】 令令2222,yxxqyxyp 则则)0()(22222 xyqyxxyxp由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数 ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,( x)0 , 1(),(yx【例【例

15、9】验证】验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束oxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1(y)0(arctan xxy还可用不定积分法还可用不定积分法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】【例【例10】 lxxdymxyedxmyye)cos()sin（求求.,0),cos1(),sin(:增加的方向增加的方向tttayttaxl myexqx cosxp lxxdymxyedxmyye)cos()sin（aboaxxdymxyedxmyye)cos()sin（aadymaye20)cos(.sin222maaea如图如图与路径无关与路径无关机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、小结四、小结1. 格林公式格林公式 lyqxpdd2. 等价条件等价条件在在 d 内与路径无关内与路径无关.ypxq 在在 d 内有内有yqxpuddd dyxypxqdd lyqxpdd对对 d 内任意闭曲线内任意闭曲线 l 有有0dd lyqxp在在 d 内有内有设设 p, q 在在 单连通域单连通域d 内具