第1节微分中值定理

1、1中值定理与中值定理与导数的应用导数的应用第四章第四章2第一节第一节 中值定理中值定理 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日 (lagrange) 中中值定理，值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它是它的特例，的特例，柯西定理柯西定理是它的推广是它的推广.预备定理预备定理费马费马( (fermat) )定理定理 费马（费马（fermat，1601-1665），），法国人，法国人，与笛卡尔共同创立解析与笛卡尔共同创立解析几何几何. 因提出费马大、因提出费马大、小定理而著名于世小定理而著名于世.3一、罗尔一、罗尔( (rolle) )定理定

2、理xo ycx x by= =f (x)ab几何解释：几何解释： 如果连续光滑的曲如果连续光滑的曲线线 y= =f (x) 在端点在端点 a、b 处的纵坐标相等处的纵坐标相等. 那么，在曲线弧上至那么，在曲线弧上至少有一点少有一点 c(x x , f(x x)，曲线在曲线在 c点的切线是点的切线是水平水平的的.设函数设函数)(xfy = =满足：满足： (1) 闭闭区区间间,ba上上连连续续; (2) 开开区区间间),(ba内内可可导导; (3) 端端点点函函数数值值)()(bfaf= =, 则则至至少少存存在在一一点点),(ba x x , 使使得得0)(= = x xf. a4证证,)1(

3、mm = =若若,)(连续连续在在baxf.mm和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(mxf 则则,0)(= = xf由此得由此得),(ba x x. 0)(= = x xf都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf= =),(afm 设设.)(),(mfba= = x xx x使使，则则由费马引理由费马引理,.0)(= = x xf所以最大值和最小值不可能同时在端点取得所以最大值和最小值不可能同时在端点取得.5注意：注意： f (x)不满足条件不满足条件(1) f (x)不满足条件不满足条件(3) f (x)不满足条件不满足条件(2)bxo yaabxo yababcxo yabab

4、如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立论就可能不成立.6在在, 0 上上连连续续, ,), 0( 内内可可导导, , 且且0)()0(= = = ff, , 例例1 1验证验证，xxfsin)(= =，xxfcos)(= = ，0)2(= = f. ), 0(2 7xxxf = =3)(是是定定义义在在3,( 上上的的初初等等函函数数,所所以以它它在在3, 0上上是是连连续续的的; 验验证证函函数数xxxf = =3)(在在区区间间 3, 0上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的所所有有条条件件,并并求求出出定定理理中中的的 x x. 例例

5、2 2解解xxxxf = = 323)(,32)2(3xx = =在在)3, 0(内内有有定定义义, 故故)(xf在在)3, 0(内内可可导导; 0)3()0(= = = ff, 所所以以)(xf在在3, 0上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的所所有有条条件件. 8例例3 3d（a a） = = = =0 , 0 0 , 1sin)(xxxxf （b b） = = = =0 , 0 0 , 1sin)(xxxxxg （c c） = = = =0 , 0 0 , 1sin)(2xxxxxh （d d） = = = =0 , 0 0 , 1sin)(22xxxxx （a a）间断；间断； （b b）连

6、续但不可导：连续但不可导： （c c）可可导导但但) 1() 1 ( ff 解解xxxxgxgxx1sinlim0)0()(lim00= = 不存在不存在.9例例4 4 不求导数，判断函数不求导数，判断函数f (x)= =(x 1)(x 2)(x 3)的导数的导数有几个零点，以及其所在范围有几个零点，以及其所在范围.解解 f (1)= =f (2)= =f (3)= =0，f(x)在在1, 2，2, 3上满足罗尔定上满足罗尔定理的三个条件理的三个条件. 在在 (1, 2) 内至少存在一点内至少存在一点 x x1，使使 f (x x1)= =0，x x1是是 f (x)的一个零点的一个零点. 在

7、在(2, 3)内至少存在一点内至少存在一点 x x2，使使f (x x2)= =0，x x2也是也是f (x)的一个零点的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及及(2, 3)内内.思考：思考：f (x)的零点呢？的零点呢？10 如果函数如果函数f (x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续， (2)在开区间在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点x x (a, b)内，内，使得使得几何意义：几何意义： 得到得到将罗尔定理条件中去掉将罗尔定理条件中去掉),()(bfaf=

8、=二、拉格朗日二、拉格朗日( (lagrange) )中值定理中值定理.,abcab行行于于弦弦该该点点处处的的切切线线平平在在至至少少有有一一点点上上在在曲曲线线弧弧.)()()(abafbff = = x xc2h h xo yababy=f (x)c1x x 11证明证明容容易易验验证证, ,)(xf满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, , 于于是是),(ba x x, ,使使 即即 abafbff = = )()()(x x. . 作辅助函数作辅助函数 ，)()()()()()(axabafbfafxfxf = =，0)()()()(= = = = abafbfffx xx x12x

9、xfln)(= =, ,在在e, 1 上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的条条件件, , 例例5 5，xxf1)(= = ，1e11e)1() e ( = = ff，e), 1(1e = = x x.1e)1() e ()( = = fffx x使使13)10()()()(000 = = xxxfxfxxf).10()(0 = = xxxfy拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.，)()()(abfafbf = =x x之之间间和和介介于于bax x或或)()()(ababafafbf = = ,10 , 特别地特别地,或或.的的精精确确表表达达式式增增量量 y

10、 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：abafbff = = )()()(x x14推论推论1 1),(, ),(2121xxxxba 内内任任取取两两点点在在)( )()()(211212xxxxfxfxf = = x xx x则则，0)()(, 0)(12= = = = xfxffx x. )()(12xfxf= =即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, ,= =)(xf常常数数, ,),(bax . . 证明证明在在,21xx上上对对)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 15由由推推论论 1 1 知知 cxgxfx= = = =)()()( ，

11、 作作辅辅助助函函数数 )()()(xgxfx = = , , 则则 0)()()(= = = = xgxfx , , 推论推论2 2证明证明即得结论即得结论.16而而 2)0( = =f, , 故故 2)( xf, ,1, 1 x. . 证证明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1, 1 x 设设 xxxfarccosarcsin)( = =, ,1 , 1 x 01111)(22= = = = xxxf, ,)1, 1( x cxf )( ,)1, 1( x 且且 2)1()1( = = = ff, , 类似可得：类似可得：2cotarcarctan xx, ,rx .

12、 . 例例6 6证证由推论由推论1知知,17利用拉格朗日定理证明不等式利用拉格朗日定理证明不等式证明：证明：aababb1lnln1 ,)0(ba 令令 xxfln)(= =, ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例例7 7证证，ababf = = = lnln1)(x xx x,ba x x,111ab x x.1lnln1aababb 即得即得18例例8 8.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当证证, 0)(条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf = = x xx x,11)(, 0)0(xxff

13、= = = =由上式得由上式得,1)1ln(x x = = xxx x x0又又x 111x x, 11111 x xx,11xxxx x x),1ln()(ttf = =设设.)1ln(1 xxxx 即得即得19证证设设)(xf在在 1, 0上上连连续续, ,在在) 1, 0(内内可可导导, ,且且0) 1(= =f，证证明明：存存在在, ) 1, 0( x x使使得得 .0)(1)(= = x xx xx xff 作作辅辅助助函函数数 , )()(xxfxf= = 则则 , )()()(xfxxfxf = = 显显然然)(xf在在1, 0上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, , 故故

14、存存在在, ) 1, 0( x x 使使得得 ,0)()()(= = = = x xx xx xx xfff例例9 9原原式式改改为为 .0)()(= = x xx xx xff ,0)(1)(, 0= = x xx xx xx xff由由于于20证证设设)(),(xgxf在在,ba上上可可导导, ,0)( xg = =)(af,0)(= =bf 证证明明存存在在,),(ba x x使使 .)()()()(x xx xx xx xgfgf = = 作作辅辅助助函函数数 ,)()()(xgxfxh= = 则则 ,)()()()()()(2xgxgxfxgxfxh = = 显然显然)(xh在在,b

15、a上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件, , 故存在故存在,),(ba x x 使使,0)(= = x xh 即即 .)()()()(x xx xx xx xgfgf = = 例例101021不不妨妨设设yx , ,令令ttfsin)(= =, , 在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理： 而而 1|cos| x x, , 故故 |sinsin|yxyx . . 在在上上式式中中令令0= =y，即即得得结结论论. . ),(yx x x, ,使使 )(cossinsinyxyx = = x x, , 例例1 11 1证证类似可证：类似可证： ，|arctanarctan|yxyx

16、ryx ,，证证明明|sinsin| yxyx ryx ,推论推论，|sin|xx rx 22三、柯西三、柯西( (cauchy) )中值定理中值定理 设函数设函数f (x)及及g (x)满足条件：满足条件： (1)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续， (2)在开区间在开区间(a, b)内可导，内可导， (3)在在(a, b)内任何一点处内任何一点处g (x)均不为零，均不为零，则至少存在一点则至少存在一点x x (a，b)内，使得内，使得)()()()()()(x xx xgfagbgafbf = = 如果取如果取g(x)= =x，那么柯西中值定理就变成了拉那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理格朗日中值定理.说明说明：证略证略. .23例例1212证证右端改为右端改为,11)()()()(abaafbbfabaafbbf = = 令令,1)(,)()(xxgxxfxf= = =则则)(xf和和)(xg在在,ba上满足上满足柯柯西西中中值值定理的条件定理