平面向量知识点总结材料及训练题

1、第五章平面向量一、向量的相关概念：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、 向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ;坐标表示法：a xi yj (x, y)+3、 向量的模：向量AB的大小 长度称为向量的模，记作| AB4、 特殊的向量：长度为0的向量叫零向量，记作 0-0的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向5、相反向量：与a长度相同、方

2、向相反的向量记作 a6、 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作a b ；7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量 +记作a/b +平行向量也称 为共线向量”规定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量a与b，作OA = a , OB = b，贝UAOB 0叫a与b的夹角说明：(1 )当0时，a与b同向；(2)当时，a与b反向；(3)当-时，a与b垂直，记a丄b ;规定零向量和任意向量都垂直。(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0 < <1809、 实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个

3、向量，记作a，它的长度与方向规定如下：(I) a | a ； (n)当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0 ,方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为，则a b | a | | b | cos叫做a与b的数量积(或内积)规定0 a 011、向量的投影：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0 ;当=0时投影为| b | ;当=180时投影为 | b卜b cosa b|a|R，称为向量b在a方向上的投影 投影的绝对值称

4、为射影任一向量，有且仅有一对实数、重要定理、公式:1、平面向量基本定理：e1 , e2是冋一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内1, 2，使 a 1 e12 e2(1) .平面向量的坐标表示j作为基如图，在直角坐标系内，我们分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i底+任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a x i y j Q我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y)Q其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，C2式叫做向量的坐标表示 与a相等的向量的坐标也为(x, y) +特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0(

5、0,0).(2) 若 A(Xi,yJ , B(X2,y2)，则 ABx?人皿 y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标*2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，设 a(x1, y1), b(x2,y2)，贝Uab a b为 y2x2y103、两个向量垂直的充要条件设 a (X1,yJ , b 化2)，贝V a b a b 0y2 04、平面内两点间的距离公式运算类型几何方法坐标方法运算性质向量abba1平行四边形法则的(a b) c a (b c)2 .三角形法则（首尾相接，首尾连）a b (刘X2, y1y2

6、)加AB BC AC法向三角形法则（首首相接，尾尾相连，量a b a ( b)指向被减）a b (捲 X2,y1 y2)* *的ABBA2 2(1 )设 a (x,y)，则 |a| xy2或|a| x2 y2.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(Xi,yJ、B(X2,y2)，那么I22-| AB | . x1 x2y1 y2 （平面内两点间的距离公式 ）5、两向量夹角的余弦（0a bx1x2 y1y2cosi 22I 22|a | |b |x1y1x2y2、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质a (xi,yi),y2减法OB

7、 OAAB实数入与向量a的积是-一个向量，向记作:a(a)a量(1)a1 1£Ia ( x, y)aaa的(2)0时,a与a同向；(a b)ab乘当0时，a与a异向；a/ bab法当0 时，a 0。任意方向a b b a向a ba bx1 x 2y 1 y 2(a) ba ( b)(a b)|a| b | cos向量的数量积的几何意量0*(a b) cactc的1a0或b 0时，义：22|a | a或|a| i/22J x y数量积a b等于a的数ab0|ab| |a|b|长度与b在a方向上投a ba b0量2*a0且b 0时，积影| b | cos的乘积a ba b|a |b |c

8、osa, bcos|a| |b|特别注意：(1 )结合律不成立：a (b c) (a b) c ；(2) 消去律不成立a b a c不能得到b c(3) a b 0不能得到a= 0或b= 0乘法公式成立:2 2(a b)(a b) a b |a |2 |b|22 2(a b)2 a 2a b b | a |2 2a b |b |2线段的定比分点公式：设点P分有向线段P1P2所成的比为人即RP =入PF2，则x1x2yiy21(线段定比分点的坐标公式当入=i时，得中点公式:x1OP = - (OP1 + OF2 )或2 1 2y2*y22平移公式： 设点P(x, y)按向量a = ( h , k

9、)平移后得到点 P' X')x x h,则 OP = OP + a或y y k.曲线y= f (x)按向量a = ( h , k平移后所得的曲线的函数解析式为:y k= f (x h )正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径)bsin Bcsi nC2R(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,si nC2Rc2R_ a _ _(3) sinA 2R,sinAB余弦定理2 2 2(1) b = a c 2accosB(2)cos Ab2c22bc(3) S1a ha ； S21bcsin A2bsin C2csin B ；2附：KBC的判定：2 2 2cabA

10、ABC 为直角ZA + ZB = _2c2 v a2 b2ABC 为钝角22I 2c > a bABC为锐角ZA +ZB v 2ZA +ZB >-2附：证明:cosC2 . 2 2 a b c2ab2 2 2得在钝角厶ABC中，cosC 0 a b c 0tan AtanBtanC .在ZABC中，有下列等式成立 tanA tanB tanC结论!证明：因为 A B C,所以 tan A B tan C，所以 tan A tanB tanC， 1 tan Ata nB三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点

11、 垂心：三角形三边上的高相交于一点aa 非零向量a与=有关系是：円是a方向上的单位向量aa练习题:a,b方向相同一、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足a b 1 |b，则a与b必须满足的条件为2、若 AB b, AC c ,贝U BC 等于(B )A. b cB. c bC.b cD .3、正六边形ABCDEF 中，BACDEF(D)-F-A . 0B. BE中,C. CDD .CF4、在边长为1的正方形ABCD设ABa, ADb, ACc ,文案大全b c贝 H a b c =25、在 ABC中，已知BC3BD，贝U AD等于(AA . 1(AC 2AB)3B. 1(AB 2AC)3

12、1 F C.严 3AB)D. 1(AC 2AB)6、在 ABC 中，E、F分别是AB和AC的中点，若ABa, AC b，贝U EF 等于(A. 1(a b)2B.】(a b)2C. 1(b a)21 (a b)27、已知：向量a, b同向，且a、平面向量的基本定理及坐标表示8、若 AB 3ei, CD5ei，且 |ad| |bc| ，则四边形ABCD是( C )A 是平行四边形B.菱形C.等腰梯形D .不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3, 1),C( 3, 4)且 CM 3CA, CN2CB，试求点 M、N和MN的坐标199页(答案：M (0,20), N(9,2), MN ( 9,

13、 18)10、已知向量a ( 3, 4)，则与a同向的单位向量是( A )343 4A . ( -, -)B. (, )C . ( 3, 4)D . (3,4)555 511、 已知A( 3,2), AB (8,0)，则线段 AB中点的坐标是(1 , 2 ) 12、若三点 P(1,1), A(2, 4), B(x, 9)共线，求 x (答案：x 3 )13、若向量a (x 3,x2 3x 4)与AB相等地，已知 A( 1,2),B(1,2)，则x的值为(A )B . -1 或-4二、线段的定比分点14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A ( 3 , -6 ), B (-5 , 2 )，若点

14、C的横坐标为6 ,311求点C分AB所成的比及点C的纵坐标(答案:15、若线段 AB 的端点 A(lgx,lgy),B( 6,3)，中点 M( 2,0)，则 x 100、1 16、已知0(0,0)和A( 6，3 )两点，若点 P在直线 OA上，且OP pA，又P是OB的中点,则点B的坐标为( 4 , 2)3917、已知直线l与x轴，y轴分别交于点 A、B，AOB的重心为(-1 ,3)，则AB中点坐标为(-,-)18、已知三个点 A( 2,1), B(1,4), D(4, 3)，点C在AB上，且2AC CB，连结DC并延长至E，使1CE DE，则E点的坐标为(D )4511811A .( 0，1

15、)B.( -8，3)C.( 0，1 )或(2, )D .( 3，)19、 已知点A(x,5)关于P(1,y)R对称点是B( 2, 3)，则点(x, y)到原点的距离是(D )A.-.13B.、.15C. 4D.、17四、平面向量的数量积20、 已知，a 2, b 3,a b 3-3，则a与b的夹角等于 30°12521、已知ABCD为菱形，则(AB BC) (AB AD)的值为 0 22、已知b 5，且a b 12，则向量a在b方向上的投影为 23、已知向量a与b的夹角为120°，且a 4, b 2，(1 )求a在b方向上的投影(2 )求 3a 4b(3)若向量a kb与5

16、a b垂直，求实数k的值(答案：(1)-2，(2)4、7，(3)19)424、已知 a、b 满足 a 1,b1 且(a b)23，则 a b25、若a b| |a b，且a与b不共线，则a与b的夹角为 90° 26、已知 a 2/3, b ( 2,3)，且a b，求a的坐标27、已知a(2, 1),b(,1)，若a与b的夹角为钝角，贝U的取值范围是(A)1A -(匚,2)(2,)B. (2, )C. ( 7,)1D-(,-)2228、已知a(6,0), b (5,5)，则a与b的夹角为135o129、已知A(3,2),B( 1, 1)，若点P(x,)在线段AB的中垂线上，则x =2五

17、、平移30、把点A( 3，4)，按a (1,2)平移，求对应点 A 的坐标(x,y)(答案(4 , 6)2x 12 x 731、把函数y - 的图象I按a ( 1,2)平移得到I，求I的函数解析式(答案 y -)3332、一个向量把点（2, -1 ）平移到（-2 , 1）,它把点（-2 , 1 ）平移到（ A ）A . (2, 1)B. (-2 , 1)C . (6 , -3 )D . (-6 , 3 )33、若向量a使点(3 , -9 )平移到点(1 , 1 ),则将函数y 3x212x 2的图象，按a平移后的解析式为(A )2 2 2 2A . y 3xB. y 3(x2)C. y 3(x

18、2)10D. y 3(x 2)1034、 已知A (5 , 7 )、B (2 , 3 ),将AB按向量a (4,1)平移后的坐标为(-3 , -4 )六、解斜三角形35、在ABC 中，已知C45o, A30o,a2.2，求 b（答案：2.32 )36、在ABC 中，已知B45o,b-,2,c 1，求a（答案622)37、在ABC 中，已知B150o,a3.3, c2，求b（答案7)38、在ABC 中，(1 ) A120o,b3,c5 ,求 sin Bsin C(2) (ab c)(abc)3ab，求C（答案：（1 ）（2） C 600）39、若三角形的三边长分别为，5 , 6，则此三角形一定是（A ）A .锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D .锐角或钝角三角形40、在 ABC中，若a2bcosC，贝U ABC 为(A 直角三角形B 等腰三角形C .等边三角形D .等腰三角形或直角三角41、在 ABC 中，S abc .3, A 60°,b 1，则 a 的值为( C )A . 、,13B. 13C. .3D. 9 42、已知三点 A (1 , 2 ) , B ( 3, 1 ) , C (-1 , 0)(1 )若ABCD为平行四边形，求 D点坐标；(2 )若P在直线AB上，且pA 3pB|，求P的坐标(3 )求