单元9++组合变形

1、单元9 组合变形 知 识 点：1.组合变形的概念及工程实例2.斜弯曲变形的应力及强度计算3.偏心压缩(拉伸)杆件的应力和强度计算4.截面核心教学目标：掌握组合变形计算的叠加方法；掌握用强度条件及强度理论对组合变形进行强度计算；理解截面核心的概念。 课题1 组合变形的概念 在前面几章中，分别研究了杆件在基本变形(拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲)时的强度和刚度。在实际工程中，有许多构件在荷载作用下常常同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。例如，下图所示屋架上的檩条，可以作为简支梁来计算，它受到从屋面传来的荷载q的作用，若q的作用线并不通过工字形截面的任一根形心

2、主惯性轴，所引起的就不是平面弯曲。如果把q沿两个形心主惯性轴方向分解，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲或者双向弯曲。又如下图所示，厂房的吊车柱子，承受屋架和吊车梁传来的荷载、，、的合力一般与柱子的轴线不相重合，而是有偏心。如果将合力简化到轴线上，则必须附加力偶、和，而附加力偶、和将引起纯弯曲，所以这种情况是轴向压缩和纯弯曲的共同作用，称为偏心压缩。 其他如卷扬机的机轴，同时承受扭转和弯曲的作用，楼梯的斜梁、烟囱、挡土墙等构件都同时承受压缩和平面弯曲的共同作用。 对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可先将荷载进行简化或分解，使简化或分解后的静力等效荷载，各自只引起一种简单变形，分

3、别计算，再进行叠加，就得到原来的荷载引起的组合变形时应力和变形。当然，必须满足小变形假设以及力与位移之间成线性关系这两个条件才能应用叠加原理。 下面讨论斜弯曲、拉伸(或压缩)与弯曲的组合作用、偏心压缩等情况。其他形式的组合变形，其分析方法与上述几种情况相同课题2 斜弯曲变形的应力和强度计算2.1 斜弯曲变形 横截面具有对称轴的梁，当外力作用在纵向对称平面内时，梁的轴线在变形后将变成为一条位于纵向对称面内的平面曲线。这种变形形式称为平面弯曲。当外力不作用在纵向对称平面内时，如下图所示。实验及理论研究表明，此时梁的挠曲线并不在梁的纵向对称平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。2.2 斜弯曲

4、变形应力和变形 现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲的应力和变形的计算。 如下图右所示悬臂梁，在自由端受集中力F作用，F通过截面形心并与y轴成角。 选取坐标系如上图右所示，梁轴线作为x轴，两个对称轴分别作为y轴和z轴1、应力将力F沿y轴和z轴分解为两个分量Fy和Fz，得： 这两个分量分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。求距自由端为x的截面上任意点K的正应力，该点的坐标为z和y。 先求出x截面的弯矩和式中是F对x截面的弯矩。 由上两式可知，弯矩Mz和My也可以由总弯矩M沿两坐标轴按矢量分解。 由于已把x截面上的弯矩分解为两个引起平面弯曲的弯矩，所以，任一点K的正应力可以应用上一章中计算公式进行计算

5、，设Mz引起的应力为/，My引起的应力为/，则有：    应力的正负号可以通过观察梁的变形来确定。拉应力取正号，压应力取负号。应用叠加法，K点的应力为： 在作强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险点。对斜弯曲来说，与平面弯曲一样，通常也是由最大正应力控制。所以对如上图右所示的悬臂梁来说，危险截面显然在固定端，因为该处弯矩Mz和My的绝对值达到最大。至于要确定该截面上的危险点的位置，则对于工程中常用的具有凸角而又有两条对称轴的截面，如矩形、工字形等，根据对变形的判断，可知最大正应力max发生在D1点，最小正应力min发生在D2点，且ymax = |y

6、min|, Zmax=|Zmin|，max=|min| ,因此若材料的抗拉与抗压强度相同，其强度条件就可以写为：   对于不易确定危险点的截面，例如边界没有棱角而呈弧线的截面，如下图左所示，则需要研究应力的分布规律，确定中性轴位置。为此，将斜弯曲正应力表达式改写为  上式表明，发生斜弯曲时，截面上的正应力是y和z的线性函数，所以它的分布规律是一个平面，如下图右所示。此应力平面与y、z坐标平面(即x截面)相交于一直线，在此直线上应力均等于零。所以该直线为中性轴。         

7、; 设中性轴上点的坐标为y0、Z0,由于中性轴上应力等于零，所以把y0、Z0代入上式，并令其等于零，即： 由于不等于0，则由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设它与z轴的夹角为，如下图所示，则有  上式表明：当F力通过第一、三象限时，中性轴通过第二、四象限；中性轴与F力作用线并不垂直，这正是斜弯曲的特点。除非Iz=Iy，即截面的两个形心主惯性矩相等，例如截面为正多边形的情形，此时中性轴才与F力作用线垂直，而此时不论F力的角等于多少，梁所发生的总是平面弯曲。工程上常用的正方形或圆形截面梁就是这种情况。当中性轴的位置确定后，就很容易确定应力最大的点，这只要在

8、截面的周边上作两条与中性轴平行的切线，如上图右所示，切点E1和E2即为距中性轴最远的点，其上应力的绝对值最大，其中一个是最大拉应力max。，另一个是最大压应min(按代数值)。把这两点的应力与材料的许用正应力相比较，即可进行强度计算。2、变形斜弯曲的变形计算也可以采用叠加法，仍以悬臂梁为例，设欲求自由端的挠度0，方法是先分别求出两个平面弯曲的挠度，y方向的挠度y为：z方向的挠度y为：总挠度 总挠度的方向， 与y轴的夹角为 上式表明，荷载平面不于挠曲线平面重合。     课题3 偏心拉伸(压缩)杆件的强度计算及截面核心3.1 偏心拉压的

9、应力计算杆件受到平行轴线但不与轴线重合的力作用时，引起的变形称为偏心拉伸(压缩)，如下图a所示         现以上图 (a)所示矩形截面杆在A点受拉力F作用的情况来说明应力的计算。设F力作用点的坐标为yF和ZF。现将F力简化到截面的形心O，于是得到一个轴向拉力F和两个力偶mz、my，从而引起轴向拉伸和两个平面弯曲组合变形，如上图 (b)所示，由截面法可求得任一横截面上的内力为上图（c） 由弯矩引起的正应力分别为：由轴力N引起的正应力分别为 偏心压缩总应力 =   3.2 偏心拉伸(压缩)的最大应力与强度条件从上面推导过程及应力分布情况，可知偏心拉伸(压缩)时的最大应力为   强度条件 3.3 截面核心 从前面的分析可知，构件受偏心压缩时，横截面上的应力由轴向压力引起的应力和偏心弯矩引起的应力所组成。当偏心压力的偏心距较小时，则相应产生的偏心弯矩较小，从而使MN，即横截面上就只会有压应力而无拉应力。 在工程上有不少材料的抗拉性能较差而抗压性能较好且价格便宜，如砖、