典型的抽象函数问题例题分析

1、高考中的抽象函数问题及其解法由于函数概念比较抽象，同学对解有关函数记号f x 的问题感到困难，学好这部分学问，能加深同学对函数概念的懂得，更好地把握函数的性质，培育敏捷性；提高解题才能，优化同学数学思维素养；现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1. 换元法： 即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培育同学的敏捷性及变形才能；例 1：已知f x x2 x11, 求f x .解：设xu , 就 xx1uu f u 21u1u12u 1u2xf x1x2. 凑配法： 在已知f g xhx 的条件下，把h x并凑成以g u 表示的代数式

2、，再利用代换即可求f x . 此解法简洁，仍能进一步复习代换法；例 2：已知13xx31 x1 x211 x1 x1 23 又 | x1 | | x |12xxxxxx| x |f xx1 ， 求 f x解：f x1 f xx x23x33x ， |x | 13. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数；例 3已知f x 二次实函数，且f x1f x1x2 +2 x +4, 求f x .解: 设f x = ax2bxc ，就f x1f x1a x12b x1ca x12b x1c2ac4= 2 ax22bx2acx22x4 比较系数得2a12b213a

3、, b1,cf x221 x2x3224. 利用函数性质法: 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式.例 4. 已 知 y = f x为奇函数 , 当x >0 时,f xlg x1 , 求f x解: f x 为奇函数，f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0 时的表达式；- x >0, f xlgx1lg1x , f x 为奇函数，lg1xf xf x 当 x <0 时f xlg1x f xlg1lg1x, x0x, x0例 5一已知f x为偶函数，g x 为奇函数，且有f x + g x1， 求x1f x ,g x .解：f x 为偶函数，g x 为奇函数，f

4、 xf x , gxg x ,不妨用 - x 代换f x+ g x =1x1中的x , f xg x1即 f x x1g x1x1显见 +即可消去g x, 求出函数f x1x21再代入求出g xxx215、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分；例 6. 已知1f x+2f xx1，求f x 的表达式解：用 1代替 x 得到f 1 +2f x11（ 1）xxx又1f x+2f xx1（2）2（ 1）- （ 2）得到3 f x2x1 ，于是f x2x1二、求值问题例 7.已知定义域为r 的函数xf x ，同时满意以下条件：3 x33f 21, f61 ；5f x. y

5、f x. f y ，求f 3,f 9的值；解：取 x2, y3 ，得f 6f 2f 3由于f 21, f61，所以5f 345又取 xy3得 f 9f 3f 385评析：通过观看已知与未知的联系，奇妙地赋值，取x2, y3 ，这样便把已知条件f 21, f61与欲求的5f 3沟通了起来；赋值法是解此类问题的常用技巧；三、定义域问题例 8.已知函数f x2 的定义域是1， 2，求f x 的定义域；解：f x2 的定义域是1， 2，是指 1x2 ，所以f x2 中的x满意 1x422从而函数fx的定义域是1， 4评析：一般地，已知函数f x 的定义域是a，求 fx的定义域问题，相当于已知f x 中

6、 x 的取值范畴为a，据此求 x的值域问题；例 9.已知函数f x的定义域是1,2 ，求函数f log 132x的定义域；解：f x 的定义域是1,2 ，意思是凡被f 作用的对象都在1,2 中，由此可得所以函数f log 132x 的定义域是1,11 ；4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f x的定义域是a ，求函数f x 的定义域；正确懂得函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键；这类问题实质上相当于已知 x此求 x 的取值范畴；例2 和例 1 形式上正相反；四、值域问题的值域a ，据例 10.设函数f x定义于实数集上，对于任意实数x, y ，f xyf x f y 总成立，且存在x

7、1x2 ，使得f x1 f x2 ，求函数f x 的值域；解：令 xy0 ，得f 0f 0 2 ，即有f 00 或f 01 ；如 f 00 ，就f xf x0f x f(0) 0 ，对任意xr均成立，这与存在实数x1x2 ， 使得 f x1 f x2 成立冲突，故f 00 ，必有f 01 ；由于f xyf xf y 对任意x, y 均成立，因此，对任意xr ，有下面来证明，对任意xr,f x0设存在 x0r ，使得f x0 0 ，就f 0f x0x0 f x0 f x0 0这与上面已证的f 00 冲突，因此，对任意x r,f x0所以f x0评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行

8、适当的赋值，这是一般向特别转化的必要手段；五、判定函数的奇偶性：例 11 已 知f xyf xy2 f xf y , 对一切实数x 、y 都成立，且f 00 , 求证f x为偶函数；证明：令x =0,就已知等式变为f yf y2 f 0f y在中令y =0 就 2f 0 =2f 0 f 0 0f 0=1f yf y2 f y f yf y f x为偶函数；六、单调性问题例 12.设f x定义于实数集上， 当 x0 时，f x1 ，且对于任意实数x, y 有f xyf xf y ，求证：f x 在 r上为增函数；证明：在f xyf x f y 中取 xy0 ，得f 0f 0 2如 f 00 ，令

9、 x0, y0 ，就f x0 ，与f x1 冲突所以f x0 ，即有f 01当 x0 时，f x10 ；当 x0 时，x0, f x10而 f x f xf 011所以f x0f x又 当 x0 时，f 010所以对任意xr ，恒有f x0设x1x2， 就 x2x10, f x2x1 1所以f x2 f x1 x2x1f x1 f x2x1 f x1所以 yf x 在 r 上为增函数；评析：一般地，抽象函数所满意的关系式，应看作给定的运算法就，就变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联；2七、解抽象不等式（确定参数的取值范畴）例 13：奇函数f x 在定

10、义域（ -1 ， 1）内递减，求满意f 1mf 1m 0 的实数 m 的取值范畴；解：由f 1mf 1m2 0 得f 1mf 1m2 ，f x为函数，f 1mf m2111m1又 fx在（ -1 ， 1）内递减，1m2110m11mm21八、对称性问题（ 1）设a ,b 均为常数，函数y f x 对一切实数x 都满意f axf ax2b函数yf x 的图象关于点a, b 成中心对称图形；（ 2）设 a ,b 均为常数， 函数yf x对一切实数x 都满意f axf bx0函数 yf x的图象关于点 ab ,02成中心对称图形；（ 3）设a, b 均为常数，函数yf x 对一切实数x 都满意f a

11、xf bx函数 yf x 的图象关于轴xab对称；2例 14：假如f x = ax2bxc 对任意的 t 有f 2t f 2t , 比较f 1、 f 2、f4的大小解：对任意t 有f 2t f 2t x =2 为抛物线y = ax2bxc 的对称轴又其开口向上f 2 最 小，f 1=f 3 在 2， 上 ，f x为增函数 f 3<f 4, f 2<f 1<f 4九、周期问题命题 1：如 a 是非零常数，对于函数y=fx定义域的一切x ，满意以下条件之一，就函数y=fx是周期函数 .函数 y=fx满意 fx+a= fx，就 fx是周期函数，且2a 是它的一个周期.1函数 y=f

12、x满 足 fx+a=f x，就 fx是周期函数，且2a 是它的一个周期.函数 y=fx满意 fx+a+fx=1，就 fx是周期函数，且2a 是它的一个周期.命题 2：如 a、b ab 是非零常数， 对于函数y=fx定义域的一切x，满意以下条件之一，就函数 y=fx是周期函数 .(1) 函数 y=fx满意 fx+a=fx+b，就 fx是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2) 函数图象关于两条直线x=a， x=b 对称，就函数y=fx是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点ma,0 和点 nb,0 对称， 就函数 y=fx是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周期

13、.(4) 函数图象关于直线x=a，及点 mb,0 对称，就函数y=fx是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期 .命题 3：如 a 是非零常数，对于函数y=fx定义域的一切x ，满意以下条件之一，就函数y=fx是周期函数.如 fx是定义在r 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，就fx是周期函数，且2a 是它的一个周期 .如 fx是定义在r 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，就fx是周期函数，且4a 是它的一个周期 .我们也可以把命题3 看成命题2 的特例 , 命题 3 中函数奇偶性、 对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题3（ 1），其他命题的证明基本类似

14、.设条件 a:定义在r上的函数fx是一个偶函数.条 件 b: fx关于 x=a 对称条 件 c: fx是周期函数 , 且 2a 是其一个周期.结论 :已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明 :已知 a、b c（ 2001 年全国高考第22 题其次问）fx是 r上的偶函数f-x=fx又 fx关于 x=a 对称 f-x=fx+2afx=fx+2a fx是周期函数 , 且 2a 是它的一个周期已知 a、c b定义在r上的函数fx是一个偶函数f-x=fx又 2a 是 fx一个周期 fx=fx+2af-x=fx+2a fx关于 x=a 对称已知 c、b afx关于 x=a 对称 f-x=fx+2a又

15、2a 是 fx一个周期 fx=fx+2af-x=fx fx是 r 上的偶函数t由命题 32 ，我们仍可以得到结论:fx是周期为t 的奇函数，就f2=0基于上述命题阐述，可以发觉，抽象函数具有某些关系. 依据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1. 求函数值例 1： fx是 r 上的奇函数fx= fx+4，x 0 ， 2 时 fx=x，求 f2007的值解：方法一 fx= fx+4 fx+8 = fx+4 =fx8 是 fx的一个周期f2007= f251×8-1=f-1= f1= 1方法二 fx= fx+4， fx是奇函数f-x=fx

16、+4 fx关 于 x=2 对称又 fx是奇函数8 是 fx的一个周期，以下与方法一相同.例 2：已知 fx是定义在r 上的函数，且满意fx+21 fx=1+fx， f1=2，求 f2021的值解：由条件知fx1，故f x21f x1f xf x41f x211f x2f x类比命题1 可知，函数fx的周期为8，故 f2021= f251× 8+1=f1=22. 求函数解析式例 3：已知 fx是定义在r 上的偶函数，fx= f4-x，且当 x2,0时， fx= 2x+1 ，就当 x4,6时求 fx的解析式解：当 x0,2时x2,0 f x=2x+1fx是偶函数 f x=fx fx=2x

17、+1当 x4,6时4x0,2 f 4+x=2 4+x+1=2x 7又函数 fx是定义在r 上的偶函数，fx= f4-x，类比命题3（ 1）知函数fx的周期为4故 f-4+x=fx 当 x4,6时求 fx=2x 73. 判定函数的奇偶性例 4：已知 fx是定义在r 上的函数，且满意fx+999=断函数 fx的奇偶性 .1f x，f999+x=f999 x ， 试 判解：由 fx+999=1f x，类比命题1 可知，函数fx的周期为1998 即 fx+1998=fx；由f999+x=f999 x 知 fx关于 x=999 对称，即f x=f1998+x故 fx=f xfx是偶函数4. 判定函数的单

18、调性例 5：已知 fx是定义在r 上的偶函数，fx=f4-x，且当 x2,0时， fx是减函数，求证 当 x4,6时 fx为增函数解：设 4x1x26 就2x24x140 fx在 -2 ， 0 上是减函数f x24f x14又函数 fx是定义在r 上的偶函数，fx= f4-x，类比命题3（ 1）知函数fx的周期为4故 fx+4=fx f x2 f x1 f-x=fxf x2 f x1 故 当 x4,6时 fx为增函数十. 四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数；例 15、已知函数f （x）对任意实数x，y，均有 f （ x y） f （ x） f

19、（ y），且当 x 0 时， f （ x） 0， f （ 1） 2，求 f （ x）在区间 2， 1 上的值域；分析：由题设可知，函数f （ x） 是 ykx k0 的抽象函数，因此求函数f （ x）的值域，关键在于讨论它的单调性；解：设 x1x2 就 x2x10 ， 当 x0时f（x0 ，f x2x10，即f x2f x1 ， f （ x）为增函数；在条件中，令y x，就，再令 x y 0，就 f （0） 2 f （0），f （ 0） 0，故 f （ x） f （ x）， f （ x）为奇函数，f （ 1） f （ 1） 2， 又 f （ 2） 2 f （ 1） 4，f （x）的值域为4，

20、2；例 16、已知函数f （ x）对任意x, yr ，满意条件f （x） f （ y） 2 + f （ xy）， 且当x 0时， f （ x） 2， f （ 3） 5，求不等式f a22a23 的解；分析：由题设条件可推测：f （ x）是 y x2 的抽象函数，且f （ x）为单调增函数，假如这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解；解：设，当，就，即， f （ x）为单调增函数；，又 f （ 3） 5， f （1） 3；， 即，解得不等式的解为 1 <a < 3 ；2、指数函数型抽象函数例 17、设函数 f （ x）的定义域是 （，），满意条件：存在，使

21、得，对 任 何 x 和 y，成立；求：（ 1） f （ 0）；（ 2）对任意值x，判定 f （x）值的正负；分析：由题设可推测f （x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （ 0） 1 且 f （x） 0；解：（ 1）令 y 0 代入，就，；如 f （x） 0，就对任意，有，这与题设冲突， f （ x） 0， f （ 0） 1；（ 2）令 y x 0，就，又由（ 1）知 f （ x） 0， f （ 2x） 0，即 f （x） 0，故对任意x， f （ x） 0 恒成立；例 18、是否存在函数f （ x），使以下三个条件：f （ x） 0，x n； f （ 2） 4；同时成立？如存在，求出f （

22、x）的解析式，如不存在，说明理由；分析：由题设可猜想存在数学归纳法证明如下：，又由f （ 2） 4 可得a 2故推测存在函数，用（ 1） x 1 时，又 x n时， f （ x） 0，结论正确；（ 2）假设时有，就 xk 1 时， x k 1 时，结论正确；综上所述， x 为一切自然数时；3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数；例 19、设 f （ x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满意，求：（ 1） f （ 1）；（ 2）如 f （ x） f （ x8） 2，求 x 的取值范畴；分析：由题设可推测f （x）是对数函数的抽象函数，f （ 1） 0， f （

23、9） 2；解：（ 1）， f （ 1） 0；（ 2），从而有f （ x） f （ x 8） f （9），即， f （ x）是（ 0，）上的增函数，故，解之得： 8 x 9；例 20、设函数yf （ x）的反函数是y g（ x）；假如f （ ab） f （ a） f （ b），那么g（ a b） g（ a）· g（ b）是否正确，试说明理由；分析 :由题设条件可推测y f （ x）是对数函数的抽象函数，又 y f （x）的反函数是y g（ x）， y g（ x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a b） g（ a）· g（ b）正确；解：设 f （ a） m， f （ b）

24、 n，由于 g（ x）是 f （ x）的反函数，g（m） a，g（ n） b，从而， g（ m）· g（n） g（ m n），以 a、b 分别代替上式中的m、n 即得 g（a b） g（ a）· g（ b）；4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数；例 21、已知函数f （ x）对任意实数x、y 都有 f （ xy） f （ x）· f （y），且 f （ 1） 1，f （ 27） 9，当时，；（ 1）判定 f （ x）的奇偶性；（ 2）判定 f （ x）在 0，）上的单调性，并给出证明；（ 3）如，求 a 的取值范畴；分析：由题设可知f

25、（ x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f （ x）是偶函数，且在0，）上是增函数；解：（ 1）令 y 1，就 f （ x） f （ x）· f （ 1）， f （ 1） 1，f （ x） f （ x）， f （ x）为偶函数；（ 2）设，时， f （ x1） f （ x2），故 f （ x）在 0，）上是增函数；（ 3） f （ 27） 9，又，又，故；巩固练习练习一1 给出四个函数，分别满意f xyf xf y ；g xyg x g y ； h xyh xh y； t xyt xt y ，又给出四个函数图象丁正确的匹配方案是（）（ a） 丁 乙 丙 甲（ b） 乙 丙 甲 丁（ c

26、） 丙 甲 乙 丁（ d） 丁 甲 乙 丙2 定义在r 上的函数fx 满意 f x + y = f x + f y x， y r，当 x<0 时， , f x>0 ，就函数 f x 在a,b 上aba 有最小值f ab 有最大值f bc 有最小值f bd 有最大值f 23 设函数fx的定义域为，且对x, yr, 恒有fxyfxfy ,如 f83,就f2（）1211244如偶函数f x 在3, 1 上是增函数，就以下关系式中成立的是（）3a f 2f 1f 23b f 1f 23f 2c f 2f 1f 2d f 2f 2f 15 定义在r 上的函数fx 满意：对任意实数m, n ，

27、总有fmnfmfn，且当 x0时， 0fx1（ 1）试举出一个满意条件的函数fx；（ 2）试求f0的值；（ 3）判定fx的单调性并证明你的结论；（ 4 ）如f 11 , 解不等式2f 2 x11 .81-4dccdx5 （ 1 ） 如fx1，（ 2 ） 在2fmnfmfn中 ， 令 m1,n0 得 ：f1f1f0 因 为 f10 ，所以， f01（ 3 ）要判定fx 的单调性，可任取x1 , x2r ，且 设 x1x2 在已知条件fmnfmfn中，如取mnx2 , mx1 ，就已知条件可化为：fx2fx1fx2x1由 于 x2x10 ，所以 1fx2x10 为比较fx2、fx1的大小，只需考虑

28、fx1的正负即可在fmnfmfn中，令mx ， nx ，就得fxfx1x0 时， 0fx1，1当 x0 时，fx10 又ffx01，所以，综上，可知，对于任意x1r ，均有fx10 fx2fx1fx1fx2x110 函数fx在 r 上单调递减，（ 4）如 f 11 , 就2f 31，就不等式8f 2 x118f 2 x1f 3 ，由函数fx 在 r 上 单 调递减，就2x13 ，就不等式的解集为 x | x2 ；练习二1.如奇函数f x xr ，满意f 21, f x2f xf 2 ，就f 1 等于（）11a 0b 1cd222 .设对任意实数x1 、x2 ，函数yf x xr, x0 满意f

29、 x1 f x f x1x2 ；（ 1）求证：f 1f 10 ；（ 2 ）求证：yf x 为偶函数；3.已知函数f x 是定义在0, 上的增函数，且满意对于任意的正实数x 、 y ，都有f xyf xf y ，且f 21.（1 ）求f 8 的值；（ 2 ）解不等式f xf x23.4. 已知函数f x对于任意的正实数x 、 y ，都有f xyf xf y ，如f 20 ，就以下结论中不正确选项（）a f10b f3f 4c f 2f 1 02d f4f 1 055. 设定义在r 上的函数f x对于任意x, y 都有f xyf xf y成立，且f 12 ，当x0 时 ， f x0 ；（ 1 ）判

30、定fx 的奇偶性，并加以证明；（ 2）试问：当 -3 x 3 时，出最值；假如没有，说明理由；f x是否有最值？假如有，求6. 如函数 fx 为奇函数， 且在（ 0，+）内是增函数， 又 f2=0 ，就f xf x x0 的解集为 （）a （ -2， 0）（ 0， 2）b （-，-2）（ 0， 2）c（ -， -2）（ 2，+）d （ -2， 0）（2， +）7. 设对满意x0, x1的全部实数x ，函数f x 满 足f x+ f x11xx ，求f x 的解析式；8. 已知函数f x xr, x0 对任意不等于零的实数x1 , x2 都有f x1 .x2 f x1f x2 ，试判定函数f x

31、的奇偶性；9. （ 09 年东城区示范校质检一）（本小题满分14 分）设函数yf x 的定义域为全体r ， 当 x0 时，f x1 ，且对任意的实数x, yr ，有f xyf x f y 成立，数列 an 满意 a1f 0 ， 且f an 1 1f annn 2an1（）求证：yf x 是 r 上的减函数；（）求数列 an的通项公式；10. （ 09 届华南师大附中综合测试题）设函数f x 满意f 01 ，且对任意x, yr ，都有f xy1f x. f yf yx2 .（）求f x的解析式；（）如数列 an 满意：an 13 fan 1,nn且 a11 ,求数列 an的通项；1. 解析： 对

32、于f x2f xf 2 ， 令 x1，得f 1f 1f 2 即f 1f 11 ，从 而 2 f11，所以f 11，选 d；22. 解析：（ 1）令x1x21 ，得f 1f 1f 11f 1 ，所以f 10 ；令 x1x21 ，得f 1f 1f 10 ，所以f 10 ；（2 ）令 x1x2x ，得2 f xf x2 ，令 x1x2x ，得2 f xf x2 ，从而我们有：f xf x ，所以，yf x 为偶函数；3.解析：（ 1）f 21f 42f 83（ 2 ）f xf x23f xf x2f 8f xf 8 x2由函数f x 是定义在0, 上的增函数，就x8 x2 即 x16 ，7依题设，有x0，x20x2 ，从而不等式的解集为2,16 ；74.解析：满意f xyf xf y 对一切正实数x 、y 都成立的函数模型是对数函数ylog a x ；由 f 20 ，可知 0a1，从而可知yf x 是减函数，所以f 3f 4 ，应选 b；5.解析： 令 x=y=0 ，可得 f0=0令 y=-x ， 就 f0=f x+fx ， f x= fx ， fx 为奇函数设